2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 第2课时 一元二次不等式

第2课时一元二次不等式课标解读考向预测1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，二次函数是解决“二次问题”的核心灵魂．对于一元二次不等式，主要考查利用二次函数求解一元二次不等式、借助二次函数的图象利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围．预计2026年高考对于一元二次不等式的考查还是以解不等式为主，与集合、利用导数研究函数的单调性结合，难度不会太大.必备知识—强基础1．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\x(\s\up1(01)){x|x>x2，或x<x1}eq\x(\s\up1(02))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))eq\x(\s\up1(03))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集eq\x(\s\up1(04)){x|x1＜x＜x2}eq\x(\s\up1(05))∅eq\x(\s\up1(06))∅2.分式不等式(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔eq\x(\s\up1(07))f(x)g(x)>0(<0)．(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔eq\x(\s\up1(08))f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为eq\x(\s\up1(09))(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为eq\x(\s\up1(10))(－a，a)．(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))题组一走出误区——判一判(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3，或x＞2}．()(2)不等式eq\f(x－1,x＋3)≥2等价于x－1≥2x＋6.()(3)不等式x2－a≤0的解集是[－eq\r(a)，eq\r(a)]．()(4)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)<0的解集为(－1，3)，则f(4)>f(0)>f(1)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第一册2.2.3练习BT1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4}C．{0，1} D．{2，4}答案：D解析：由题意，得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，所以A∩B＝{2，4}．故选D.(2)(人教B必修第一册练习AT1(2)改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A．{x|x<－n，或x>m}B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m，或x>n}D．{x|－m<x<n}答案：B解析：原不等式可变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0，得m>－n，所以原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选B.(3)(人教B必修第一册习题2－2BT7改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b的值是________．答案：－14解析：由题意，知－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－b,a)＝－\f(1,6)，,\f(2,a)＝－\f(1,6)，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))所以a＋b＝－14.(4)(人教A必修第一册复习参考题2T6改编)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________．答案：(－2，2]解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－m＞0，,（4－2m）2－4×4（2－m）＜0，))解得－2＜m＜2.综上可知，实数m的取值范围是(－2，2]．考点探究—提素养一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1不含参数的一元二次不等式的解法eq\a\vs4\al()已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∪B＝()A．{x|－2<x<1}B．{x|1<x<2}C．{x|－2<x<3}D．{x|－2<x<2}答案：C解析：因为A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<3}．故选C.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}，则M∩N＝()A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}答案：B解析：因为N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选B.考向2含参数的一元二次不等式的解法eq\a\vs4\al()解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0，当a＞0时，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得eq\f(1,a)＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解得1＜x＜eq\f(1,a)；当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1；当a＜0时，eq\f(1,a)＜1，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＞1或x＜eq\f(1,a).综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＞1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞1}；当a＜0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)，或x>1)))).解含参数的一元二次不等式的一般步骤求对应方程的根优先考虑用因式分解法确定，不能因式分解时再用求根公式计算．2.解关于x的不等式ax2＋x＋1>0，a∈R.解：当a＝0时，原不等式为x＋1>0，解得x>－1.当a<0时，Δ＝1－4a>0，ax2＋x＋1＝0的两个根分别为x1＝eq\f(－1＋\r(1－4a),2a)，x2＝eq\f(－1－\r(1－4a),2a)，且x1<x2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(1－4a),2a)<x<\f(－1－\r(1－4a),2a))))).当a>0时，若Δ＝1－4a<0，即a>eq\f(1,4)，此时不等式的解集为R；若Δ＝1－4a＝0，即a＝eq\f(1,4)，此时不等式的解集为{x|x≠－2}；若Δ＝1－4a>0，即0<a<eq\f(1,4)，ax2＋x＋1＝0的两个根分别为x1＝eq\f(－1＋\r(1－4a),2a)，x2＝eq\f(－1－\r(1－4a),2a)，x1>x2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(－1－\r(1－4a),2a)，或x>\f(－1＋\r(1－4a),2a))))).综上可知，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>－1}；当a<0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(1－4a),2a)<x<\f(－1－\r(1－4a),2a)))))；当a>eq\f(1,4)时，不等式的解集为R；当a＝eq\f(1,4)时，不等式的解集为{x|x≠－2}；当0<a<eq\f(1,4)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(－1－\r(1－4a),2a)，或x>\f(－1＋\r(1－4a),2a))))).考向3可化为一元二次不等式的分式不等式的解法eq\a\vs4\al()求下列不等式的解集：(1)eq\f(x＋2,x－3)>0；(2)eq\f(5－x,x2－2x－3)<－1.解：(1)eq\f(x＋2,x－3)>0⇔(x＋2)(x－3)>0，解得x<－2或x>3.故不等式eq\f(x＋2,x－3)>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)eq\f(5－x,x2－2x－3)<－1⇔eq\f(x2－3x＋2,x2－2x－3)<0⇔(x＋1)·(x－1)(x－2)(x－3)<0，由数轴标根法，得不等式eq\f(5－x,x2－2x－3)<－1的解集为(－1，1)∪(2，3)．分式不等式的求解策略分式不等式的求解策略是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如eq\f(f（x）,g（x）)>m的分式不等式，一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．解不等式eq\f(f（x）,g（x）)>m时，不能直接在不等式两边同乘以分母g(x)，因为g(x)的符号不确定．3.求下列不等式的解集：(1)eq\f(2x－3,x＋1)<1；(2)eq\f(3x,2x＋1)≤1.解：(1)eq\f(2x－3,x＋1)<1⇔eq\f(x－4,x＋1)<0⇔(x＋1)(x－4)<0，解得－1<x<4，所以不等式eq\f(2x－3,x＋1)<1的解集为(－1，4)．(2)eq\f(3x,2x＋1)≤1⇔eq\f(3x,2x＋1)－1≤0，则eq\f(3x－2x－1,2x＋1)≤0，即eq\f(x－1,2x＋1)≤0，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）（2x＋1）≤0，,2x＋1≠0，))解得－eq\f(1,2)<x≤1，所以不等式eq\f(3x,2x＋1)≤1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤1)))).三个“二次”之间的关系eq\a\vs4\al()若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集是()A．{x|0<x<3} B．{x|x<0，或x>3}C．{x|1<x<3} D．{x|－1<x<3}答案：A解析：由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0①.又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，所以a<0，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1）＋2＝－\f(b,a)，,（－1）×2＝\f(c,a)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,\f(c,a)＝－2))②.将①两边同除以a，得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－2))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,a)－\f(b,a)))<0③.将②代入③，得x2－3x<0，解得0<x<3.故选A.三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者之间具有密切的联系．一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函数的一种特殊情况：当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为二次方程ax2＋bx＋c＝0；当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，所以解决问题需要三者相互联系．4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|m<x<m＋4}，则实数c的值为()A．9 B．8C．6 D．4答案：D解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象开口向上，最小值为0，∴Δ＝a2－4b＝0，∴b＝eq\f(a2,4)，则f(x)＝x2＋ax＋eq\f(a2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)，∵f(x)<c的解集为{x|m＜x＜m＋4}，∴m，m＋4是方程f(x)－c＝0的两个不等实根，即m，m＋4是x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＝0的两个不等实根，∴m＋m＋4＝－a，解得m＝eq\f(－a－4,2)，∴c＝f(m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－4,2)＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝4.故选D.一元二次不等式恒成立问题eq\a\vs4\al()已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)因为当x∈R时，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]．(2)由题意，原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则当x∈[－2，2]时，(x2＋ax＋3－a)min≥0.令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则该函数图象的对称轴方程为x＝－eq\f(a,2).由题意，得当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，g(x)在x∈[－2，2]上的最小值g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，舍去；当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(x)在x∈[－2，2]上的最小值g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，g(x)在x∈[－2，2]上的最小值g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a<－4.综上可得，实数a的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（4）≥0，,h（6）≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6)，所以实数x的取值范围是(－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)．恒成立问题求参数范围的解题策略(1)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ解决，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ解决，一般用分类讨论求最值或分离参数求最值解决．(2)解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．5.若关于x的不等式(a2－16)x2－(a－4)x－1≥0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，4))解析：当a＝4时，不等式化为－1≥0，无解，满足题意；当a＝－4时，不等式化为8x－1≥0，解得x≥eq\f(1,8)，不符合题意，舍去；当a≠±4时，要使得不等式(a2－16)x2－(a－4)x－1≥0的解集为∅，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－16<0，,Δ＝（a－4）2＋4（a2－16）<0，))解得－eq\f(12,5)<a<4.综上所述，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，4)).6．若对于任意x∈[－2，3]，不等式x2－a|x|＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，2)解析：若x＝0，则易知a∈R；若x∈[－2，0)∪(0，3]，当a＝0时，不等式x2＋1>0恒成立，当a≠0时，不等式可变形为a<eq\f(x2＋1,|x|)，0<|x|≤3，设t＝|x|，t∈(0，3]，则y＝eq\f(x2＋1,|x|)＝eq\f(t2＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)，由对勾函数的性质，知该函数在(0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以当t＝1时，y＝t＋eq\f(1,t)取得最小值2，所以a<2.故实数a的取值范围是(－∞，2)．7．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对任意x∈[1，3]，f(x)>－m＋2恒成立，则实数m的取值范围为________．答案：(3，＋∞)解析：由f(x)>－m＋2，得mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3，当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>eq\f(3,x2－x＋1)在[1，3]上恒成立，只需m>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x2－x＋1)))eq\s\do7(max)，当x＝1时，x2－x＋1有最小值，为1，则eq\f(3,x2－x＋1)有最大值，为3，则m>3，故实数m的取值范围为(3，＋∞)．8．若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则x的取值范围为________．答案：[－1，0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4))解析：由题意知“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3，则由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－1）≥0，,g（3）≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋3x＋4≥0，,3x2－5x≥0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤4，,x≥\f(5,3)或x≤0，))所以x的取值范围为[－1，0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4)).课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考向一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法三个二次之间的关系一元二次不等式有解问题一元二次不等式恒成立问题三个二次之间的关系三个二次之间的关系考点不含参数的一元二次不等式的解法分式不等式的解法在R上的恒成立问题关联点充分、必要条件的判断利用基本不等式求最值题号891011121314难度★★★★★★★★★★考向一元二次不等式有解问题一元二次不等式的解法三个二次之间的关系一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式的解法三个二次之间的关系一元二次不等式恒成立问题考点有整数解问题含参数的一元二次不等式的解法在给定区间上的恒成立问题分式不等式的解法给定参数范围的恒成立问题关联点充分、必要条件的判断对数函数的定义域题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★考向一元二次不等式恒成立问题三个二次之间的关系三个二次之间的关系一元二次不等式的解法一元二次不等式有解问题一元二次不等式恒成立问题考点在给定区间上的恒成立问题一元二次不等式的实际应用有整数解问题在给定区间上的恒成立问题关联点根的分布根的分布用不等式的性质求代数式的取值范围一、单项选择题1．不等式x2－3x－10<0的解集为()A．(－2，5)B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)C．(－5，2)D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)答案：A解析：由x2－3x－10<0，得(x＋2)(x－5)<0，解得－2<x<5.故选A.2．若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,1－x)≥0))))，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩(∁RB)＝()A．[1，2]B．(1，2]C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．∅答案：B解析：eq\f(x－2,1－x)≥0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x－1）≤0，,x≠1，))解得1<x≤2，则A＝(1，2]．由x2－x－2＝(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，则B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故∁RB＝[－1，2]，则A∩(∁RB)＝(1，2]．故选B.3．已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为()A．RB．∅C．{x|－1<x<3}D．{x|x<－1，或x>3}答案：D解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－1＋2，,－\f(2,a)＝－1×2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))故不等式ax2＋(b－1)x－3>0可化为x2－2x－3>0，即(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>3.故选D.4．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是()A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4，或a≤－1}D．{a|－4≤a≤1}答案：A解析：因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．故选A.5．(2025·北京景山中学模拟)使得命题“∀x∈R，kx2＋2kx－3<0”为真命题的k的取值范围是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－3，1) D．(3，＋∞)答案：B解析：根据题意可知，关于x的不等式kx2＋2kx－3<0的解集为R，当k＝0时，－3<0恒成立；当k≠0时，则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4k2＋12k<0，))解得－3<k<0.综上，k的取值范围为(－3，0]．故选B.6．(2025·广东燕博园联考)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意，二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}，则等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(b,2a)＝1，,Δ＝b2－4ac＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝c>0，,b＝－2a，))则a＋b＋c＝0，当a＋b＋c＝0时，不能推出a＝c>0，b＝－2a，所以“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的充分不必要条件．故选A.7．(2025·江苏无锡长泾中学模拟)若关于x的不等式mx2－x＋1<0的解集为{x|a<x<b}，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)的最小值为()A．3＋2eq\r(6) B．4C．5＋2eq\r(2) D．8答案：B解析：由题意知，a，b是方程mx2－x＋1＝0(m>0)的两根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,m)>0，,ab＝\f(1,m)>0，))则a＋b＝ab且a>0，b>0，则b＝eq\f(a,a－1)＝1＋eq\f(1,a－1)，由b>0，得eq\f(a,a－1)>0⇒a(a－1)>0⇒a>1，所以eq\f(1,b－1)＝a－1>0，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)＝eq\f(1,a－1)＋4(a－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)·4（a－1）)＝4，当且仅当eq\f(1,a－1)＝4(a－1)，即a＝eq\f(3,2)时，等号成立，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)的最小值为4.故选B.8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多有2个整数，则实数a的取值范围是()A．(－3，5) B．(－2，4)C．[－3，5] D．[－2，4]答案：D解析：x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，不等式的解集为1<x<a，要使得解集中至多有2个整数，则1<a≤4；当a＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a<1时，不等式的解集为a<x<1，要使得解集中至多有2个整数，则－2≤a<1.综上，实数a的取值范围是[－2，4]．故选D.二、多项选择题9．已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是()A．∅B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,a)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,a)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，2))答案：ABD解析：不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0，又a<0，所以(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))<0.当a＝－eq\f(1,2)时，不等式的解集为∅；当a<－eq\f(1,2)时，－eq\f(1,a)<x<2；当－eq\f(1,2)<a<0时，2<x<－eq\f(1,a).故选ABD.10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则()A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}C．a＋b＋c>0D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案：ABD解析：显然a>0，A正确；又－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－\f(b,a)，,－2×3＝\f(c,a)，))即b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，D正确．故选ABD.11．命题“∀x∈[1，2]，ax2－x＋a>0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥eq\f(1,2) B．a>eq\f(1,2)C．a≥1 D．a＝2答案：CD解析：解法一：由题意，得a>0，设函数f(x)＝ax2－x＋a，其图象的对称轴为直线x＝eq\f(1,2a).当eq\f(1,2a)≤1，即a≥eq\f(1,2)时，f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝2a－1>0，即a>eq\f(1,2)，符合题意；当1<eq\f(1,2a)<2，即eq\f(1,4)<a<eq\f(1,2)时，可知Δ＝1－4a2<0无解，不符合题意；当eq\f(1,2a)≥2，即0<a≤eq\f(1,4)时，f(x)在[1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝5a－2>0无解，不符合题意．综上，命题为真命题的充要条件为a>eq\f(1,2)，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a≥1或a＝2.故选CD.解法二：因为∀x∈[1，2]，ax2－x＋a>0等价于∀x∈[1，2]，a>eq\f(x,x2＋1)恒成立，设h(x)＝eq\f(x,x2＋1)，则h(x)＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,2))).所以命题为真命题的充要条件为a>eq\f(1,2)，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a≥1或a＝2.故选CD.三、填空题12．不等式eq\f(x2＋2x－3,x＋1)≥0的解集为________．答案：[－3，－1)∪[1，＋∞)解析：原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3≥0，,x＋1>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3≤0，,x＋1<0，))解得x≥1或－3≤x<－1.13．若函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．答案：3解析：依题意，得－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋m＋4＝2，,m（m＋4）＝－c，))解得m＝－1，c＝3.14．若对任意m∈[－1，1]，x2＋(3－m)x－6<2恒成立，则实数x的取值范围是________．答案：(－4，2eq\r(3)－2)解析：x2＋(3－m)x－6<2，即x2＋(3－m)x－8<0，设g(m)＝x2＋(3－m)x－8＝－mx＋x2＋3x－8，因为对任意m∈[－1，1]，g(m)＝－mx＋x2＋3x－8<0恒成立，所以由一次函数的性质，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）＝－x＋x2＋3x－8<0，,g（－1）＝x＋x2＋3x－8<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－8<0，,x2＋4x－8<0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4<x<2，,－2－2\r(3)<x<2\r(3)－2.))故实数x的取值范围是(－4，2eq\r(3)－2)．15．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是()A．(－∞，1] B．[－2，1]C．[－1，2] D．[－1，＋∞)答案：B解析：解法一：当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax－2a2，x≥a，,－x2＋ax－2a2，2<x<a，))当2<x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当0<a≤2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得a≤1，所以0<a≤1；当a＝0，x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得a≥－2，所以－2≤a<0.综上，a的取值范围是[－2，1]．故选B.解法二：f(x)＝x|x－a|－2a2(x>2)．当x≥a时，f(x)＝x2－ax－2a2，令g(a)＝－2a2－xa＋x2，因为Δ＝x2＋8x2＝9x2>0，所以－2a2－xa＋x2>0，解得－x<a<eq\f(x,2)，因为x>2，所以－2≤a≤1；当x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，g(a)＝－2a2＋xa－x2，因为Δ＝x2－8x2＝－7x2<0，所以g(a)>0不成立，不符合题意．综上，a的取值范围为[－2，1]．故选B.16．(多选)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＋2＝0B．－3<x1<x2<1C．|x1－x2|>4D．x1x2＋3<0答案：ACD解析：由题意，a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)，所以a<0，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2，,x1x2＝\f(2,a)－3，))所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝eq\f(2,a)<0，故A，D正确；设f(x)＝a(x－1)(x＋3)，则原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1且f(x)的图象开口向下，又x1<x2，如图所示，由图可知，x1<－3<1<x2，|x1－x2|>4，故B错误，C正确．故选ACD.17．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|α<x<β}，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不等实根，则()A．a<0B．β－x1＝x2－αC．|x1－x2|<1D．|β2－xeq\o\al(2,2)|>|α2－xeq\o\al(2,1)|答案：BC解析：由题意，得a>0，A错误；因为将二次函数y＝ax2＋bx＋c－1图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，所以α＋β＝x1＋x2，即β－x1＝x2－α，B正确；如图，因为0<β－α<1，所以|x1－x2|<|β－α|<1，C正确；当α<β<0，x1<x2<