2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第七节 第1课时 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质

第七节抛物线第1课时抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质课标解读考向预测1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.近三年高考考查了抛物线的定义和标准方程以及抛物线的准线，以选择题、填空题为主．预计2026年高考本部分内容仍以基础知识为考点，注意几何性质的应用.必备知识—强基础1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq\x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的eq\x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq\x(\s\up1(03))准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围eq\x(\s\up1(04))x≥0，y∈Req\x(\s\up1(05))x≤0，y∈Req\x(\s\up1(06))y≥0，x∈Req\x(\s\up1(07))y≤0，x∈R焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程eq\x(\s\up1(11))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(12))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(13))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(14))y＝eq\f(p,2)开口方向向eq\x(\s\up1(15))右向eq\x(\s\up1(16))左向eq\x(\s\up1(17))上向eq\x(\s\up1(18))下对称轴eq\x(\s\up1(19))x轴eq\x(\s\up1(20))y轴顶点eq\x(\s\up1(21))(0，0)离心率e＝eq\x(\s\up1(22))11．抛物线方程一般首先转化为标准形式．2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．题组一走出误区——判一判(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．()(2)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．()(3)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)．()(4)顶点在原点，以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题3.3T1改编)抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案：A解析：由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,8).故选A.(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3T31改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案：B解析：由题意，可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，则3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.3T4改编)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．答案：y2＝±4eq\r(2)x解析：由题意可知双曲线的焦点为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以抛物线C的方程为y2＝±4eq\r(2)x.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.3T8改编)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案：2eq\r(6)解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x0，－3)，代入x2＝－2y中，得x0＝eq\r(6)，故水位下降1米后，水面宽2eq\r(6)米．考点探究—提素养抛物线的定义及其应用(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案：D解析：设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1，又点(－2，0)不在直线x＝2上，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4答案：D解析：因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．1.动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹方程是()A．y2＝16x B．y2＝－16xC．x2＝16y D．x2＝－16y答案：B解析：依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离与它到点M(－4，0)的距离相等，所以点P的轨迹是以M为焦点，直线x＝4为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝－16x.故选B.2．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则点M到y轴的距离为________．答案：2eq\r(2)解析：设点M的坐标为(xM，yM)，由x2＝4y，得p＝2，根据抛物线的定义，知|MF|＝yM＋eq\f(p,2)＝yM＋1＝3，解得yM＝2，代入x2＝4y，得xM＝±2eq\r(2)，所以点M到y轴的距离为2eq\r(2).抛物线的标准方程与简单几何性质(1)(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝eq\f(9,2)x B．x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,2)x D．x2＝－eq\f(4,3)y答案：BC解析：设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.(2)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案：x＝－eq\f(3,2)解析：解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq\f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq\f(5,2)p.所以|FQ|＝eq\f(5,2)p－eq\f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－eq\f(3,2).解法二：由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).1．求抛物线标准方程的方法定义法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可待定系数法若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．3.(2025·山东烟台模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线x＝－2的距离为4，则p的值为()A．1 B．2C．4 D．8答案：C解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则有eq\f(p,2)＋2＝4，解得p＝4.4．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．答案：x2＝4y解析：因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，△FPM是边长为4的等边三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))\s\up12(2))＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线的方程为x2＝4y.与抛物线有关的最值问题(多考向探究)考向1到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题若点A在焦点为F的抛物线y2＝4x上，且|AF|＝2，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．2eq\r(5) B．2＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(2) D．4答案：A解析：设点A的坐标为(xA，yA)，抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，|AF|＝xA＋1＝2，xA＝1，则yeq\o\al(2,A)＝4，yA＝±2，不妨设A(1，2)，F(1，0)关于直线x＝－1的对称点为F′(－3，0)，由于|PF|＝|PF′|，所以当A，P，F′三点共线时，|PA|＋|PF|最小，所以|PA|＋|PF|的最小值为|AF′|＝eq\r(（1＋3）2＋（2－0）2)＝2eq\r(5).故选A.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决．5.(2025·广东深圳期末)P，Q分别是抛物线x2＝2y和x轴上的动点，M(2，－1)，则|PM|＋|PQ|的最小值为()A．5 B.eq\f(5,2)C.eq\r(5) D．2答案：D解析：设抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，无论P在何处，|PQ|的最小值都是P到x轴的距离，所以|PM|＋|PQ|最小⇔|PM|和P到x轴的距离之和最小⇔|PM|和P到准线的距离之和减去eq\f(1,2)最小，根据抛物线的定义，问题转化为求|PM|＋|PF|－eq\f(1,2)的最小值，显然当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PF|－eq\f(1,2)最小，最小值为|MF|－eq\f(1,2)＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))－eq\f(1,2)＝2.故选D.考向2到定直线的距离最小问题已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是()A．2 B．3C.eq\f(11,5) D.eq\f(37,16)答案：B解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3，则d3＝eq\f(|3×0－4×1－6|,\r(32＋（－4）2))＝2，d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当点P在过点F作直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，即动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．6.(2025·河南驻马店期末)已知M是抛物线C：y2＝4x上的一点，直线l：x－y＋5＝0，过点M作与l的夹角为30°的直线且与l交于点A，设d为点M到y轴的距离，则|AM|＋2d的最小值为()A．6eq\r(2)－1 B．6eq\r(2)－2C．4eq\r(2)－1 D．4eq\r(2)－2答案：B解析：设F(1，0)为抛物线C的焦点，点M到直线l的距离为d1，如图，过M作MH⊥l于点H，在Rt△AHM中，∠HAM＝30°，则d1＝eq\f(1,2)|AM|，所以|AM|＝2d1，|AM|＋2d＝2d1＋2(|MF|－1)＝2(d1＋|MF|)－2，又d1＋|MF|的最小值为点F到直线l的距离，即d1＋|MF|的最小值为eq\f(|1－0＋5|,\r(12＋（－1）2))＝3eq\r(2)，所以|AM|＋2d的最小值为6eq\r(2)－2.故选B.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考向抛物线的标准方程与简单几何性质抛物线的标准方程与简单几何性质抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用与抛物线有关的最值问题抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用与抛物线有关的最值问题抛物线的标准方程与简单几何性质考点求焦点坐标求距离已知距离求参数求距离到定直线的距离最小问题求距离已知距离求参数到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题利用几何性质求参数题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考向抛物线的标准方程与简单几何性质抛物线的标准方程与简单几何性质与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的轨迹问题与抛物线有关的最值问题抛物线的标准方程与简单几何性质抛物线的标准方程与简单几何性质抛物线的标准方程与简单几何性质抛物线的标准方程与简单几何性质；与抛物线有关的最值问题考点求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程；抛物线性质的应用到定点(动点)距离最小问题线段长比值最小问题求抛物线的标准方程利用抛物线的几何性质求三角形的面积求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程；利用抛物线的方程求正方形面积的最值一、单项选择题1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是()A．(0，1) B．(1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))答案：C解析：抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝eq\f(1,4)y，其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).故选C.2．已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则C的焦点到其准线的距离为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案：B解析：由点(1，1)在抛物线上，易知1＝2p，p＝eq\f(1,2)，故焦点到其准线的距离为eq\f(1,2).故选B.3．已知抛物线x2＝my(m>0)上的点(x0，1)到该抛物线的焦点F的距离为2，则m＝()A．1 B．2C．4 D．6答案：C解析：由x2＝my(m>0)，可得其焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,4)))，准线方程为y＝－eq\f(m,4)，因为点(x0，1)到该抛物线的焦点F的距离为2，所以点(x0，1)到抛物线准线的距离为2，则1＋eq\f(m,4)＝2，解得m＝4.故选C.4．(2025·湖北武汉调研)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(3),2)答案：A解析：如图所示，M为准线与x轴的交点，因为∠PQF＝30°，且|PF|＝|PQ|，所以∠PFQ＝30°，∠QPF＝120°，因为FM∥PQ，所以∠QFM＝30°，而tan30°＝eq\f(|QM|,|MF|)＝eq\f(|QM|,1)＝|QM|＝eq\f(\r(3),3)，所以|QF|＝eq\f(2\r(3),3)，所以|PF|＝|PQ|＝eq\f(|QF|,2)÷cos30°＝eq\f(\r(3),3)÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2,3).5．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)是抛物线C上一点，且|MF|＝3，点P在抛物线C上运动，则点P到直线l：y＝x－2的最小距离是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1 D.eq\r(2)答案：B解析：因为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)是抛物线C上一点，且|MF|＝3，所以2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2，所以抛物线C：x2＝4y，设P(2x，x2)，则点P到直线l：y＝x－2的距离为eq\f(|2x－x2－2|,\r(2))＝eq\f(x2－2x＋2,\r(2))，所以当x＝1时距离最小，最小值为eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故选B.6．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．3 B．4C．5 D．6答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线y2＝2x，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，焦点F恰好是△ABC的重心，则x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故|FA|＋|FB|＋|FC|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝x1＋x2＋x3＋eq\f(3,2)＝3.故选A.7．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则p＝()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．6答案：C解析：过点M作MA⊥y轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2,2p)，n))，由抛物线的定义可知，|MF|＝|MB|＝eq\f(n2,2p)＋eq\f(p,2)＝3，因为M为线段FN的中点，所以|AM|＝eq\f(1,2)|OF|，所以eq\f(n2,2p)＝eq\f(p,4)，将其代入eq\f(n2,2p)＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝4.故选C.8．(2025·福建莆田模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上．若点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MQ|的最小值为()A．5 B．4C．3 D．2答案：C解析：如图所示，由题意，抛物线y2＝4x的准线为直线x＝－1，它与x轴的交点为(－1，0)，焦点为F(1，0)，过点M向抛物线的准线引垂线，垂足为N，设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为P(3，0)，圆与x轴的左交点为点E，抛物线的准线与x轴的交点为D，|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－|PQ|＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1＝3，且|MF|＋|MQ|＝3成立的条件是M，O重合且Q，E重合．所以|MF|＋|MQ|的最小值为3.二、多项选择题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2eq\r(2)，则p的值可以是()A．2 B．6C．4 D．8答案：AC解析：设点M的横坐标为x，由题意，得x＋eq\f(p,2)＝3，2px＝8，解得p＝2或p＝4.故选AC.10．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程是()A．y2＝16x B．x2＝－8yC．x2＝16y D．x2＝8y答案：AB解析：对于A，抛物线y2＝16x，开口向右，焦点坐标为(4，0)，在直线x－2y－4＝0上；对于B，抛物线x2＝－8y，开口向下，焦点坐标为(0，－2)，在直线x－2y－4＝0上；对于C，抛物线x2＝16y，开口向上，焦点坐标为(0，4)，不在直线x－2y－4＝0上；对于D，抛物线x2＝8y，开口向上，焦点坐标为(0，2)，不在直线x－2y－4＝0上．故选AB.11．(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则()A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2eq\r(3)答案：ABC解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以eq\f(p,2)＝2，即得p＝4，A正确；设M(x0，y0)在y2＝8x上，所以x0≥0，所以|MF|＝x0＋eq\f(p,2)≥eq\f(p,2)＝|OF|，B正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|＝x0＋2，等于M到C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；当∠OFM＝120°时，x0>2，不妨设点M在第一象限，则y0>0，eq\f(y0,x0－2)＝tan60°＝eq\r(3)，又yeq\o\al(2,0)＝8x0，所以eq\r(3)yeq\o\al(2,0)－8y0－16eq\r(3)＝0，y0＝4eq\r(3)或y0＝－eq\f(4\r(3),3)(舍去)，所以S△OFM＝eq\f(1,2)|OF|×|y0|＝4eq\r(3)，D错误．故选ABC.三、填空题12．已知抛物线y2＝4x上有一动点M，则点M与点N(4，0)之间距离的最小值为________．答案：2eq\r(3)解析：设M(x，y)，则|MN|2＝(x－4)2＋y2＝(x－4)2＋4x＝(x－2)2＋12(x≥0)，当x＝2时，|MN|2取得最小值12，故|MN|min＝2eq\r(3).13．已知点A(2，0)，B，C在y轴上，且|BC|＝4，则△ABC的外心的轨迹方程为________．答案：y2＝4x解析：设△ABC的外心为G，且G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)，由点G在BC的垂直平分线上，知y＝a＋2.由|GA|2＝|GB|2，得(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2，故(x－2)2＋y2＝x2＋22，整理，得y2＝4x，即△ABC的外心的轨迹方程为y2＝4x.14．(2025·陕西西安模拟)已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F，准线为l，A，B是C上异于点O的两点(O为坐标原点)，若∠AFB＝60°，过AB的中点D作DE⊥l于点E，则eq\f(|AB|,|DE|)的最小值为________．答案：1解析：过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设|AF|＝m，|BF|＝n，所以|DE|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq\f(m＋n,2)，因为|AB|2＝m2＋n2－2mncos∠AFB＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn≥(m＋n)2－eq\f(3（m＋n）2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))eq\s\up12(2)＝|DE|2，所以|AB|≥|DE|，当且仅当m＝n时，等号成立．故eq\f(|AB|,|DE|)的最小值为1.15．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，点N(0，3)，若|MF|＝10，且NM⊥NF，则抛物线C的方程可以为()A．y2＝3x B．y2＝4xC．y2＝36x D．y2＝18x答案：BC解析：设M(x1，y1)，因为|MF|＝10，所以x1＋eq\f(p,2)＝10，因为NM⊥NF，所以eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，即(x1，y1－3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－3))＝0，所以eq\f(p,2)x1－3(y1－3)＝0，所以eq\f(yeq\o\al(2,1),4)－3(y1－3)＝0，解得y1＝6，所以36＝2px1＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝18，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝36x.故选BC.16．(2025·江苏南京模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，点Q在l上．若|PF|＝2|QF|，PF⊥QF，则△PFQ的面积为________．答案：25解析：如图所示，过点P作PM⊥x轴于点M，准线l与x轴交于点N，抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，设P(x0，y0)，Q(－2，t)，则|PF|＝x0＋2，|PM|＝|y0|，|FM|＝x0－2，|FN|＝4，|QN|＝|t|，因为|PF|＝2|QF|，所以eq\f(|PF|,|QF|)＝2，因为PF⊥QF，所以△PFM∽△FQN，则eq\f(|PF|,|QF|)＝eq\f(|FM|,|QN|)＝eq\f(|PM|,|FN|)＝2，所以eq\f(x0－2,|t|)＝eq\f(|y0|,4)＝2，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝8，,y0＝8，,t＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝8，,y0＝－8，,t＝－3，))所以|PF|＝x0＋2＝10，|QF|＝5，所以S△PFQ＝eq\f(1,2)|PF|·|QF|＝eq\f(1,2)×10×5＝25.17.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝4x1，,yeq\o\al(2,2)＝4x2，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))所以eq\f(y1－2,\f(1,4)yeq\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)yeq\o\al(2,2)－1)，所以y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.由①－②，得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋