2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课标解读考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切))，并会简单应用.从近几年的高考来看，本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用．预计2026年高考可能会与三角恒等变换结合考查.必备知识—强基础1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：eq\x(\s\up1(01))sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：eq\x(\s\up1(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．弦切互化变形：sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)，cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1)，sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1).题组一走出误区——判一判(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)×题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册习题5.2T6改编)若sinα＝－eq\f(3,5)，α为第三象限角，则cosα＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)答案：A解析：由sinα＝－eq\f(3,5)，α为第三象限角，得cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(4,5).故选A.(2)(人教B必修第三册7.2.3练习BT2改编)已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A.eq\f(5,4) B．－eq\f(5,4)C.eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)答案：A解析：原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).故选A.(3)(多选)(人教A必修第一册5.3练习T2改编)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinx B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosxC．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx答案：CD解析：sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－cosx，故B不成立；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝－cosx，故D成立．(4)(人教A必修第一册5.3练习T3改编)化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的结果为________．答案：sinα解析：原式＝eq\f(sinα,cosα)·cosα＝sinα.考点探究—提素养同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题(2025·湖南岳阳高三模拟)已知cosα＝eq\f(1,3)，且α为第四象限角，则tanα＝()A．－2eq\r(2) B．±2eq\r(2)C．±eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),3)答案：A解析：∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).故选A.利用同角基本关系式“知一求二”的方法由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．1.已知角α的终边在第三象限，且tanα＝2，则sinα－cosα＝()A．－1 B．1C．－eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)答案：C解析：由角α的终边在第三象限，则sinα<0，cosα<0，由题设知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))解得cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5).故选C.考向2“弦切互化”问题已知tanθ＝2，则eq\f(1,sin2θ－cos2θ)的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,3) D．2答案：C解析：由题意，得eq\f(1,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋1,tan2θ－1)＝eq\f(22＋1,22－1)＝eq\f(5,3).故选C.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．2.(2025·福建龙岩高三模拟)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋sinαcosα＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3答案：A解析：由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).故选A.考向3sinα±cosα，sinαcosα之间关系的应用已知eq\f(π,2)<x<π，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，则sinx－cosx＝________．答案：eq\f(7,5)解析：由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，因为eq\f(π,2)<x<π，所以sinx>cosx，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f(（sinα＋cosα）2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－（sinα－cosα）2,2).因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．3.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，则tanα的值为________．答案：－eq\f(1,2)解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,5)，∴sinαcosα＝－eq\f(2,5)，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝eq\f(9,5)＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝eq\f(3\r(5),5)，∴sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝－eq\f(1,2).诱导公式的应用eq\a\vs4\al()(1)eq\f(tan（π－α）cos（2π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos（－α－π）sin（－π－α）)的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：B解析：原式＝eq\f(－tanαcosα（－cosα）,cos（π＋α）[－sin（π＋α）])＝eq\f(tanαcos2α,－cosαsinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.故选B.(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝________．答案：－eq\f(2,3)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－eq\f(2,3).1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角．(2)角中含有加减eq\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq\f(π,2)的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等．(2)互补的角：eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等．4.已知f(α)＝eq\f(sin（α－3π）cos（2π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(5π,2))),cos（－π－α）sin（－π－α）)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝________．答案：eq\f(1,2)解析：因为f(α)＝eq\f(sin（α－3π）cos（2π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(5π,2))),cos（－π－α）sin（－π－α）)＝eq\f(－sinαcosαcosα,－cosαsinα)＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用eq\a\vs4\al()(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值为()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案：C解析：由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，而α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，∴eq\f(5π,6)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)))＝eq\f(2\r(2),3).故选C.(2)若eq\f(sin（π－θ）＋cos（θ－2π）,sinθ＋cos（π＋θ）)＝eq\f(1,2)，则tanθ＝________．答案：－3解析：因为eq\f(sin（π－θ）＋cos（θ－2π）,sinθ＋cos（π＋θ）)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－3.利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．5.已知cos167°＝m，则tan193°＝()A.eq\r(1－m2) B.eq\f(\r(1－m2),m)C．－eq\f(\r(1－m2),m) D．－eq\f(m,\r(1－m2))答案：C解析：tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－eq\f(sin167°,cos167°)，因为cos167°＝m，所以sin167°＝eq\r(1－m2)，所以tan193°＝－eq\f(\r(1－m2),m).故选C.6．已知cosα＝－eq\f(5,13)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos（α＋π）)＝________．答案：eq\f(13,12)解析：∵cosα＝－eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos（α＋π）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(cosα,－cosα（－sinα）)＝eq\f(1,sinα)＝eq\f(13,12).课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考向诱导公式同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用诱导公式考点利用同角三角函数的基本关系式求值知一求二利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求值弦切互化；诱导公式利用同角三角函数的基本关系式求参数的值利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求角利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求角关联点三角函数值的符号根与系数的关系三角函数的定义；正切函数的单调性题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用诱导公式的应用同角三角函数的基本关系式诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用考点sinα±cosα与sinαcosα的转化利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求值变换角利用诱导公式求值弦切互化；“1”的变换诱导公式；弦切互化；sinα±cosα与sinαcosα的转化利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求值利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式化简、求值利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式化简、求值关联点新情景问题新定义问题三角函数值的符号三角函数值的符号一、单项选择题1．sin9330°的值为()A.eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(2),2)答案：B解析：sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).故选B.2．若角α的终边在第三象限，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝()A．3 B．－3C．1 D．－1答案：B解析：由角α的终边在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3.故选B.3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，则tanθ＝()A．2eq\r(2) B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2) D．－eq\f(\r(2),4)答案：C解析：依题意，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－cosθ＝eq\f(1,3)，则cosθ＝－eq\f(1,3).由于θ∈(0，π)，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－2eq\r(2).故选C.4．已知3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sinθ＝()A．－eq\f(3\r(10),10) B．－eq\f(\r(10),10)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(\r(10),10)答案：A解析：∵3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋sin(θ＋π)＝0，∴3cosθ－sinθ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－eq\f(3\r(10),10).故选A.5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值为()A.eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)答案：D解析：∵eq\f(π,4)＋α－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).故选D.6．(2025·河北张家口高三模拟)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(1,2)，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C．－3 D．3答案：D解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(1,2)，得eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)))＝eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,tanθ)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝2，所以eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝3.故选D.7．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为()A.eq\f(5,6) B．－eq\f(5,6)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)答案：B解析：由题意，得sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，sinαcosα＝eq\f(a,3)，所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝eq\f(4,9)－eq\f(2a,3)＝1，解得a＝－eq\f(5,6).故选B.8．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A．3－eq\f(π,2) B.eq\f(π,2)－3C．π－3 D.eq\f(3π,2)－3答案：A解析：tanα＝eq\f(－2cos3,2sin3)＝－eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(π,2)))，又0<3－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)，α为锐角，所以α＝3－eq\f(π,2).故选A.二、多项选择题9．已知eq\r(3)sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))，则θ的值可能是()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,6)答案：AD解析：∵eq\r(3)sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－eq\r(3)sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－eq\f(\r(3),3)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))，∴θ＝－eq\f(π,6)或θ＝eq\f(5π,6).故选AD.10．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案：ABC解析：在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．故选ABC.11．(2025·山东菏泽一中高三模拟)已知α为锐角，且cosα－sinα＝eq\f(1,5)，则下列结论中正确的是()A．α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．tanα＝eq\f(4,3)C．sinαcosα＝eq\f(12,25) D．sinα＋cosα＝eq\f(7,5)答案：ACD解析：因为cosα－sinα＝eq\f(1,5)>0，所以cosα>sinα，而α为锐角，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，故A正确；由cosα－sinα＝eq\f(1,5)，得cosαsinα＝eq\f(12,25)，故C正确；因为α为锐角，所以sinα＋cosα＝eq\r(（sinα＋cosα）2)＝eq\r(1＋\f(24,25))＝eq\f(7,5)，故D正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(7,5)，,cosα－sinα＝\f(1,5)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5)，))则tanα＝eq\f(3,4)，所以B不正确．故选ACD.三、填空题12．(2025·广东五校高三联考)已知cosθ＝eq\f(3,5)，0<θ<eq\f(π,2)，则sin(π＋θ)＝________．答案：－eq\f(4,5)解析：因为0<θ<eq\f(π,2)，cosθ＝eq\f(3,5)，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(4,5)，所以sin(π＋θ)＝－sinθ＝－eq\f(4,5).13．(2025·广东广州高三模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－x))＝________．答案：－eq\f(1,3)解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(1,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(1,3).14．(2025·河北衡水高三模拟)若sinα＝2cosα，则cos2α＋sinαcosα－sin2α＝________．答案：－eq\f(1,5)解析：由sinα＝2cosα，得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα－sin2α＝eq\f(cos2α＋sinαcosα－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2－4,4＋1)＝－eq\f(1,5).15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个反复出现的数字串设为a，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案：D解析：根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2026，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a＝123，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(123π,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).故选D.16．(多选)给出下列四个结论，其中正确的是()A．sin(π＋|α|)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosα＝eq\f(1,3)C．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)D．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1答案：CD解析：由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－sinα，α≥0，,sinα，α<0，))所以A错误．当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此时cosα＝eq\f(1,3)，当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此时cosα＝－eq\f(1,3)，所以B错误．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，所以C正确．将等式sinα＋cosα＝1两边平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，则cosα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，则sinα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确．故选CD.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)答案：AC解析：若α与β广义互余，则α＋β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即β＝eq\f(π,2)＋2kπ－α(k∈Z)．又由sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，可得sinα＝eq\f(1,4).若α与β广义互余，则sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ－α))＝cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(\r(15),4)(k∈Z)，故A正确；若α与β广义互余，则cosβ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ－α))＝sinα＝eq\f(1,4)(k∈Z)，而由cos(π＋β)＝eq\f(1,4)，可得cosβ＝－eq\f(1,4)，故B错误；由A，B可知sinβ＝±eq\f(\r(15),4)，cosβ＝eq\f(1,4)，所以tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝±eq\r(15)，故C正确，D错误．故选AC.18．(2025·山东德州高三校际联考)在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(3),2)))，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求出m的值和锐角α的大小；(2)求eq\f(4sin3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－4cos（α＋π）,2＋2cos2（5π＋α）＋cos（－α）)的值；(3)记点B的横坐标为f(θ)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(5π,6)))的值．解：(1)由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m>0，m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝1，则m＝eq\f(1,2)，所以cosα＝eq\f(1,2)，且α为锐角，可得α＝∠xOP＝eq\f(π,3).(2)eq\f(4sin3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－4cos（α＋π）,2＋2cos2（5π＋α）＋cos（－α）)＝eq\f(4cos3α＋2cos2α＋4cosα,2＋2cos2α＋cosα)＝2cosα＝1.(3)由(1)可知α＝∠xOP＝eq\f(π,3)，根据三角函数的定义，可得f(θ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝cos