2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课标解读考向预测1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．预计2026年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题．必备知识—强基础1．与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过eq\x(\s\up1(01))不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的eq\x(\s\up1(02))两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条eq\x(\s\up1(03))过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3．基本事实4和等角定理基本事实4：平行于同一条直线的两条直线eq\x(\s\up1(04))互相平行．等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角eq\x(\s\up1(05))相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3．2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．题组一走出误区——判一判(1)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(2)没有公共点的两条直线是异面直线．()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．()答案：(1)√(2)×(3)×题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册习题8．4T3改编)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两条直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案：C解析：两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，而DD1与B1C1是异面直线，故B错误；如图2，直线AB与CD是异面直线，若AC∥BD，则AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与直线AB与CD是异面直线矛盾，则直线AC与BD一定不平行，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．故选C．(2)(人教A必修第二册8．4．2练习T4改编)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面答案：D解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D．(3)(人教B必修第四册11．2例2改编)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案：C解析：由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD．故选C．(4)(人教A必修第二册8．6．1练习T4改编)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线 B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°答案：C解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，A错误；由于CC1⊂平面C1B1BC，而AE与平面C1B1BC交于点E，点E不在CC1上，故CC1与AE是异面直线，B错误；同理，AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．故选C．考点探究—提素养基本事实的应用已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示，连接B1D1．由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)记A1，C，C1三点确定的平面为平面α，平面BDEF为平面β．因为Q∈A1C1，所以Q∈α．又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1．又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1．所以DE，BF，CC1三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．1．(2025·山东烟台模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则不满足M，N，P，Q四点共面的是()答案：D解析：对于A，C，直线MN与PQ相交，则M，N，P，Q四点共面；对于B，直线MN与PQ平行，则M，N，P，Q四点共面；对于D，直线MN与PQ异面，不满足M，N，P，Q四点共面．故选D．2．(多选)下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是()A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C．直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线D．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面答案：ABC解析：对于A，当这三点共线时，两个平面可以不重合，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三个点在一条直线上，但平面ABCD与平面ADD1A1相交，不重合，故A不正确；对于B，如图，从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；对于C，如图，记直线AA1，B1C1分别为c，d，直线AB1，A1B1分别为a，b，可知AB1∩A1B1＝B1，则此时直线a，b相交，故C不正确；对于D，如图，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为A，M，O三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确．故选ABC．空间两条直线的位置关系(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交答案：D解析：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D．(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，与直线BC1异面的棱有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案：C解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C．空间两条直线位置关系的判定方法和技巧3．若空间中四条直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1，l4既不平行也不垂直 D．l1，l4的位置关系不确定答案：D解析：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1，BC为l4，则l1∥l4；取AD为l1，AB为l4，则l1⊥l4；取AD为l1，A1B1为l4，则l1与l4异面，因此l1，l4的位置关系不确定．故选D．4．(2025·福建龙岩模拟)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是()A．直线CD与直线GH异面 B．直线CD与直线EF共面C．直线AB与直线EF平行 D．直线GH与直线EF共面答案：B解析：如图，点C与点G重合，故A错误；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四边形CDBE是平行四边形，∴CD∥EF，∴CD与EF共面，故B正确；∵AB∩EF＝B，∴AB与EF相交，故C错误；∵GH与EF既不平行也不相交，∴GH与EF是异面直线，故D错误．故选B．异面直线所成的角(2025·山东威海模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，B1C1的中点，若平面DBB1D1与平面AEFA1的交线为l，则l与直线AD1所成角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)答案：C解析：因为E，F分别为棱BC，B1C1的中点，所以BB1∥EF，因为EF⊂平面AEFA1，BB1⊄平面AEFA1，所以BB1∥平面AEFA1，又平面DBB1D1∩平面AEFA1＝l，BB1⊂平面DBB1D1，所以BB1∥l，又AA1∥BB1，所以AA1∥l，所以l与直线AD1所成角的大小等于∠A1AD1＝eq\f(π,4)．求异面直线所成角的步骤(1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．5．(2025·福建南平模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，其体积为eq\f(28\r(2),3)，E为B1D1的中点，则异面直线AD1与BE所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),10) B．eq\f(\r(3),5)C．eq\f(3\r(3),10) D．eq\f(\r(30),10)答案：D解析：设正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为h，连接BD，作D1F∥BE交BD于点F，作D1G⊥BD交BD于点G，连接AG，AF，则∠AD1F为异面直线AD1与BE所成的角或其补角．因为AB＝2A1B1＝4，且正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\f(28\r(2),3)，所以eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))h＝eq\f(28\r(2),3)，解得h＝eq\r(2)，即D1G＝eq\r(2)，则DG＝eq\f(4\r(2)－2\r(2),2)＝BF＝eq\r(2)，BG＝3eq\r(2)，D1F＝eq\r(（\r(2)）2＋（2\r(2)）2)＝eq\r(10)，AF＝AG＝eq\r(（2\r(2)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2)－2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(10)，AD1＝eq\r(D1G2＋AG2)＝2eq\r(3)，所以cos∠AD1F＝eq\f(ADeq\o\al(2,1)＋D1F2－AF2,2AD1·D1F)＝eq\f(12＋10－10,2×2\r(3)×\r(10))＝eq\f(\r(30),10)．故选D．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★考向基本事实的应用空间点、直线、平面之间的位置关系基本事实的应用异面直线所成的角空间点、直线、平面之间的位置关系基本事实的应用异面直线所成的角空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系基本事实的应用考点基本事实1，2，3；推论2推论2；推论3空间中直线的位置关系基本事实3，4空间中直线的位置关系空间中直线的位置关系基本事实4；推论3；等角定理题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向空间点、直线、平面之间的位置关系异面直线所成的角基本事实的应用异面直线所成的角基本事实的应用空间点、直线、平面之间的位置关系；异面直线所成的角空间点、直线、平面之间的位置关系基本事实的应用空间点、直线、平面之间的位置关系基本事实的应用考点空间中直线的位置关系基本事实3基本事实3空间中直线的位置关系基本事实3，4；推论3一、单项选择题1．下列叙述错误的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案：C解析：对于A，点P是两平面的公共点，则点P在两平面的交线上，故A正确；对于B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故B正确；对于C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故C错误；对于D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故D正确．故选C．2．(2025·河南封丘模拟)下列命题是真命题的是()A．若四点不共面，则其中任意三点不共线B．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分答案：A解析：对于A，对于空间中的4个点，若其中3个点共线，则这4个点共面，此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以A正确；对于B，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B错误；对于C，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C错误；对于D，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，所以D错误．故选A．3．(2024·辽宁营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解析：空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l共面，则a，b，l两两相交或a，b，l有两个平行、另一直线与之相交或三条直线两两平行，所以若a，b，l共面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l共面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．故选A．4．(2025·辽宁沈阳模拟)如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与AB异面且所成的角为60°的直线是()A．CD B．DEC．EF D．CE答案：C解析：由题设，将展开图还原成正方体及各点的空间位置如图所示．结合选项及正方体的性质知，与AB异面的直线有EF，CE，其中只有EF与AB所成的角为60°．故选C．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN与EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN与EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN与EF异面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN与EF异面答案：D解析：设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，则MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)a，作点E在平面ABCD内的射影为点G，连接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故A，C错误；连接A1D，B1C，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C，又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN与EF异面，故B错误，D正确．6．在空间四边形ABCD中，若E，F分别为AB，BC的中点，G∈CD，H∈AD，且CG＝2GD，AH＝2HD，则()A．直线EH与FG平行 B．直线EH，FG，BD相交于一点C．直线EH与FG异面 D．直线EG，FH，AC相交于一点答案：B解析：因为CG＝2GD，AH＝2HD，且∠ADC＝∠HDG，所以△ADC∽△HDG，所以HG∥AC且HG＝eq\f(1,3)AC，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，所以HG∥EF且HG≠EF，故四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，所以EH，FG交于一点，设交点为P，则P∈EH，P∈FG，又因为EH⊂平面ABD，FG∈平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以点P是直线EH，BD，FG的公共点，故直线EH，FG，BD相交于一点．故选B．7．(2025·河北保定模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．eq\f(7,17) B．eq\f(14,17)C．eq\f(16,17) D．eq\f(8,17)答案：C解析：连接BC1，A1C1，如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则有BC1∥AD1，则∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则BC1＝A1B＝eq\r(17)，A1C1＝eq\r(2)，在△A1BC1中，由余弦定理，得cos∠A1BC1＝eq\f(BCeq\o\al(2,1)＋A1B2－A1Ceq\o\al(2,1),2BC1·A1B)＝eq\f(17＋17－2,2×17)＝eq\f(16,17)．8．(2025·山东济南模拟)如图，P是正方体ABCD－A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是()A．直线DD1 B．直线B1CC．直线AD1 D．直线AC答案：D解析：当P位于A1C1的中点时，易知P∈B1D1，由正方体的特征可知四边形BB1D1D为平行四边形，此时BP，DD1⊂平面BB1D1D，故A不符合题意；当P与C1重合时，BP，B1C⊂平面BB1C1C，故B不符合题意；当P与C1重合时，由正方体的特征可知四边形ABC1D1为平行四边形，此时BP∥AD1，故C不符合题意；由正方体的特征可知四边形ACC1A1为平行四边形，而B∉平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，AC∥A1C1，AC，A1C1⊂平面ACC1A1，BP∩A1C1＝P，所以AC与BP始终异面，故D符合题意．故选D．二、多项选择题9．(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊂平面ABB1A1，直线m⊂平面BCC1B1，直线n⊂平面ABCD，则直线l，m，n的位置关系可能是()A．l，m，n两两垂直 B．l，m，n两两平行C．l，m，n两两相交 D．l，m，n两两异面答案：ACD解析：对于A，当l为BB1，m为BC，n为AB时，l，m，n两两垂直，A正确；对于B，不妨假设l∥m，l，m和BB1不重合，因为l⊄平面BCC1B1，m⊂平面BCC1B1，则l∥平面BCC1B1，又l⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，故l∥BB1，则m∥BB1，又BB1⊥平面ABCD，n⊂平面ABCD，故BB1⊥n，则l⊥n，m⊥n，即l，m，n不可能两两平行，B错误；对于C，当l为BB1，m为BC，n为AB时，l，m，n两两相交，C正确；对于D，当l为AA1，m为B1C1，n为CD时，l，m，n两两异面，D正确．故选ACD．10．在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是()A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形答案：ABC解析：对于A，易知MQ∥BD，NP∥BD，则MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，易知MQ∥BD，MQ＝eq\f(1,2)BD，NP∥BD，NP＝eq\f(1,2)BD，所以MQ∥NP，MQ＝NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．故选ABC．三、填空题11．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．答案：0解析：若a⊥b，b⊥c，则a与c可能相交、平行、异面，故①为假命题；若a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②为假命题；若a，b相交，b，c相交，则a，c可能异面、相交、平行，故③为假命题；同理④为假命题．故真命题的个数为0．12．(2025·福建龙岩期末)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，若异面直线BD与AC1所成角的余弦值为eq\f(\r(7),10)，则CC1＝________．答案：2eq\r(3)解析：连接AC，交DB于点O，取CC1的中点E，连接OE，BE．因为AC1∥OE，所以BD与AC1所成的角为∠BOE(或其补角)．令EC＝x，由AB＝8，AD＝6，得OB＝5．在△BEO中，OE＝eq\r(x2＋25)，BE＝eq\r(x2＋36)，|cos∠BOE|＝eq\f(\r(7),10)，由余弦定理，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(OE2＋OB2－BE2,2OE·OB)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋25＋52－（x2＋36）,2\r(x2＋25)×5)))＝eq\f(\r(7),10)，解得x＝eq\r(3)，所以CC1＝2eq\r(3)．13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，点O为对角线AC，BD的交点，若平面EOF∩平面ABCD＝l，l∩AB＝G，且AG＝kGB，则实数k＝________．答案：eq\f(1,3)解析：延长EF，交DA的延长线于点H，连接OH，交AB于点G，∵H∈EF，EF⊂平面EOF，H∈AD，AD⊂平面ABCD，平面EOF∩平面ABCD＝l，∴H∈l，故直线OH即为直线l，取AD的中点M，连接MO，ME，又E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，∴AH＝A1E＝AM，∴AG＝eq\f(1,2)MO＝eq\f(1,4)AB，BG＝eq\f(3,4)AB，∴AG＝eq\f(1,3)GB，即k＝eq\f(1,3)．14．(2025·四川宜宾期末)如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB＝2，AD＝AF＝1，且二面角C－AB－F为60°，则异面直线AC与BF所成角的正弦值为________．答案：eq\f(\r(51),10)解析：连接CE，AE，AE∩BF＝O，取CE的中点M，连接OM，BM，∵四边形ABCD，ABEF为矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BE，平面ABC∩平面ABF＝AB，BC⊂平面ABC，BE⊂平面ABF，∴∠CBE即为二面角C－AB－F的平面角，∴∠CBE＝60°，又BC＝AD，BE＝AF，∴BC＝BE＝1，∴△BCE为等边三角形，∴BM＝eq\f(\r(3),2)．∵O，M分别为AE，CE的中点，∴OM∥AC，OM＝eq\f(1,2)AC，∴∠MOB(或其补角)即为异面直线AC与BF所成的角，∵AC＝BF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴OM＝OB＝eq\f(\r(5),2)，∴cos∠MOB＝eq\f(OM2＋OB2－BM2,2OM·OB)＝eq\f(\f(5,4)＋\f(5,4)－\f(3,4),\f(5,2))＝eq\f(7,10)，∴异面直线AC与BF所成角的正弦值为eq\f(\r(51),10)．四、解答题15．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．∴BD1⊂平面A1BCD1．同理BD1⊂平面ABC1D1．∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1，Q∈A1C．又A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1．∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．16．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则FG∥AC，FG＝eq\f(1,2)AC，EG∥BD，EG＝eq\f(1,2)BD，所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．因为AC⊥BD，所以FG⊥EG．因为AC＝BD，所以FG＝EG，所以∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．17．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点(包含0点，不包含12点)相邻两面钟上的时针相互垂直的次数为()A．0 B．12C．4 D．2答案：D解析：如图，根据题意，将两个相邻侧面上的时钟置于一个正方体的两个相邻侧面上，当时间在0点时，图中两面钟的时针分别位于线段OA，O′G上，由正方体的性质知它们是相互平行的；当时间在3点时，图中两面钟的时针分别位于线段OD，O′F上，它们是相互垂直的；当时间在6点时，图中两面钟的时针分别位于线段OC，O′E上，它们是相互平行的；当时间在9点时，图中两面钟的时针分别位于线段OB，O′D上，它们是相互垂直的；当时间为其他时间时，易知两面钟的时针所在直线异面，但不垂直．综上，每天0点到12点(包含0点，不包含12点)相邻两面钟上的时针能够相互垂直2次．故选D．18．(2025·黑龙江大庆实验中学月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是()A．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GHC．EG，FH，AA1三线共点 D．∠EGB1＝∠FHC1答案：D解析：对于A，B，如图，连接EF，GH，因为GH是