2026年高考数学复习讲义专题02 等式与不等式（解析版）

专题02等式与不等式目录01析·考情精解 202构·知能框架 203破·题型攻坚 3考点一不等式性质 3真题动向必备知识知识点1等式的性质知识点2比较两个实数大小知识点3不等式的性质命题预测题型1：解不等式题型2：不等式的基本性质题型3：不等式性质的应用考点二基本不等式 10真题动向必备知识知识1基本不等式知识2利用基本不等式求最值命题预测题型1：基本不等式的理解题型2：利用基本不等式求最值题型2：基本不等式的综合运用命题轨迹透视从近三年高考试题来看，在高考题中多作为载体考查其他知识,结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等;或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题,本章考题以中低档题为主,主要以选择题或填空题的形式出现,分值为5分.对于不等式及其性质内容的复习,需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握考点频次总结考点2025年2024年2023年等式与不等式的性质不等式解法上海卷T2，4分上海卷T3，4分上海卷T1，4分2026命题预测预计在2026年高考中，解不等式仍为必考基础考点，大概率以4分填空题形式出现，用基本不等式解决最值问题或恒成立问题,则重在以解题工具体现在解答题中。考点一等式与不等式的性质（2022·上海·高考真题），，则的最小值是.【答案】【解析】设，则，解得，所以，，因此，的最小值是.【方法技巧】利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点知识1两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))知识2等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.知识3不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).题型1：比较两个数（式）的大小1．已知，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，故选C2．（2025·浙江宁波一模）若，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，下面比较与：作商法比较：，，，故，即所以，故选C3.若a＝，b＝，c＝，则A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【答案】B【解析】所以（作商法）显然，，所以4．（2025·浙江嘉兴·三模）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；对于B中，例如，此时，所以B不正确；对于C中，由函数在上为单调递减函数，因为，所以，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时，所以D不正确，故选C.5.若正实数，，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】是正实数，且，，由，得，，，，，，，即，综上可知，，故选C.6.（2025·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故，故，由对勾函数性质可得，，且，综上所述，有，故选C.题型2：不等式的基本性质7.（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错；对于B选项，不妨设，，，则，B错；对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；对于D选项，不妨设，，，则，D错.故选：C.8.（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，因，则，，则，等号成立时，故B错误；对于C，因且，则，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选C9.如果，那么下列不等式中成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A：因为，所以，则，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误，故选：C10.若，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，对于A选项，，A错；对于B选项，不妨取，，，，则，B错；对于C选项，取，则，C错；对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对，故选D.11．（2025·湖南岳阳模拟）已知为实数，则下列命题成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】对于A，若，当时，不满足，即A错误；对于B，若，则，所以B错误；对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确；对于D，若，不妨取，则，可得D错误，故选：C12.（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若（巧用结论2）可知充分性成立；若，则，即且，故，即必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故选C.13．（创新考法）（2025·重庆·模拟预测）设为均不为零的实数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为为均不为零的实数，且，所以，对于A，由，当时，得，故A错误；对于B，由，当时，得，故B错误；对于C，因为，所以，即，故C正确；对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误.故选：C.题型3：不等式性质的应用14.（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，得，，所以．故选B．15.（2025·福建泉州一模）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，所以，故选D.16．（2025·山东泰安·模拟预测）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，，，，解得，，，或，或，所以，故选.17．（2025·河南洛阳期末）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为.【答案】【解析】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本，则提价后销售的总收入为万元，所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为：.18.（2025·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，故，由得，解得，故.考点二不等式的解法1．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为．【答案】【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.【详解】原不等式转化为，解得，则其解集为.故答案为：.2．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.3．（2023·上海·高考真题）不等式的解集为．【答案】【分析】利用绝对值不等式的解法求解.【详解】由得，解得，故不等式的解集为.故答案为：.知识1三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅知识2(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}知识3分式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.知识4绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．题型1分式不等式的解法1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，即，转化为，解得，所以不等式的解集为.故选：A2．（2025高三上·江苏南通·专题练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，可得，即为，且，可得故选：C3．（25-26高一上·甘肃·期末）不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，，所以，所以，解得或，所以不等式的解集是.故选：D.4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【解析】，即为，即，故或，故解集为或．故选D．5．（25-26高一上·天津河西·月考）不等式的解集为．【答案】【解析】由可得，即，等价于，解得，所以不等式的解集为.6．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）不等式的解集是【答案】【解析】因为恒成立，所以等价于或，解得或，所以不等式的解集是；7．（25-26高一上·上海·月考）关于的不等式的解集为.【答案】【解析】由；移项得：；同分得：；化简得：；等价于，解得：或者；题型2绝对值不等式的解法8．（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误；对于A：因为能推出，不能推出，所以是不等式的充分不必要条件，正确；对于C：因为不能推出，能推出，所以是不等式的必要不充分条件，错误；对于D：因为不能推出，不能推出，所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误.故选：A.9．（25-26高一上·河北·期中）的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不等式，转化为，且，解得，且，所以的解集为，故选：D10．（25-26高一上·河北·期中）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以不等式的解集为.故选：A11．（24-25高二下·云南昆明·月考）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式，解得，所以原不等式的解集为.故选：C12．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，即，可得，解得.故选：.13．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是.【答案】或【解析】由，得或，解得或.故不等式的解集是或.故答案为：或.14．（2025·上海普陀·三模）不等式的解集为.【答案】【解析】由.所以原不等式的解集为.题型3不含参数的一元二次不等式的解法15．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·月考）不等式的解集是（）A． B．或C．或 D．【答案】A【解析】，，即不等式的解集为.故选：A.16．（2025高三上·广东·学业考试）不等式的解集为（）A． B． C． D．或【答案】A【解析】不等式可化为，则解集为，故选：A.17．（25-26高一上·云南红河·期中）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式的解为，所以解集为;故选：A18．（25-26高一上·福建泉州·期中）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】原不等式即为，即，解得或，故原不等式的解集为.故选：D.19．（25-26高一上·天津宝坻·月考）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得到或，所以推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.题型4含参数的一元二次不等式的解法20．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】因为，，所以，又不等式对应方程的根为：，且，所以不等式的解为或，故选：C．21．（25-26高一上·海南海口·期中）若，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，解，得，所以不等式的解集为.故选：D22．（24-25高一上·北京大兴·期末）关于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，，则不等式是一元二次不等式，由二次函数的对称性可知，不等式的解集不可能是.故选：D.23．（24-25高一上·山东泰安·月考）关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．或【答案】B【解析】因为，即为，令，解得或，且，若，不等式的解集为，由题意可得：；若，不等式的解集为，不合题意；若，不等式的解集为，由题意可得：，解得；综上所述：实数a的取值范围是或.故选：B.24．（24-25高三上·安徽·月考）设实数满足，则关于的不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】因为，所以不等式的解集为或.故选：A.25．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式【答案】答案见解析【解析】，即.当时，，原不等式的解集为或；当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为或.26．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）.【答案】答案见解析【解析】.当时，此时，，则不等式的解为；当0时，此时，，不等式的解为或；当时，此时，，不等式的解为；当时，此时，，不等式的解为或.综上，当时，不等式的解集为；当0时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.题型5三个“二次”间的关系27．（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（）A．或 B．C． D．或【答案】D【解析】不等式的解集为，且方程的两根分别为和，，即，，，又，，解得：或，的解集为或.故选：D.28．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知关于的不等式的解集为，则（

）A． B．4 C．6 D．9【答案】B【解析】由题意，是关于的方程的两个根，有，所以.故选：B29．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，解得，故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合.故选：A.30．（25-26高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】一元二次不等式的解为，所以的解为，且，由韦达定理得，代入得，故选：D.31．（25-26高一上·江苏苏州·月考）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（

）A． B．或C． D．【答案】D【解析】由题意得和1为方程的两个根且，则，解得，所以不等式，即，即，故选:D.32．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，则，解得，，所以不等式化为，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故选：A．33．（2025·安徽·二模）设集合，，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若的两个根分别为且，∴且，，∵，且，∴，综上，可得：.故选：A.34．（25-26高二上·广西北海·期末）“关于x的方程的两根为1，2”是“关于x的不等式的解集为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定，由的解集为可知相应二次方程的解为1，2，反之不然，故选：B题型6一元二次不等式（恒）能成立问题35．（25-26高一上·宁夏银川·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，可得，符合题意；当时，需使，解得；综