2026年高考数学复习讲义专题04 指对幂等函数值的大小比较及构造函数（解析版）

专题04指对幂等函数值的大小比较及构造函数目录01析·考情精解 102构·知能框架 203破·题型攻坚 2考点一指对幂等函数值的大小比较 2真题动向必备知识知识1指数函数的性质知识2对数函数的性质知识3幂函数的性质命题预测题型1特殊值法比较大小题型2利用单调性比较大小题型3引入媒介值法题型4构造函数比较大小题型5指、对互化比较大小考点二构造函数 13真题动向必备知识知识1利用导数研究函数的单调性知识2利用导数研究函数的极值命题预测题型1利用与构造函数题型2利用与构造函数题型3利用与，构造函数题型4通过数值构造具体函数命题轨迹透视比较大小的问题，是高考命题中的热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序．这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答．从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造转化．考点频次总结考点2025年2024年2023年指对幂比较大小上海卷T14，4分构造函数上海卷T18，14分2026命题预测复习时，重点把握指数函数、对数函数、幂函数大小的比较，构造函数，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用.考点一指对幂等函数值的大小比较（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选：D知识点1幂函数1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.常见的五种幂函数的图象3.幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．知识点2指数函数1.指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．2.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1知识点3对数函数1．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数题型1特殊值法比较大小1.已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取，则，，，所以．故选B．2.实数a，b满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】取,满足,但,所以A错误；取,满足,但，所以B错误；若，则,,所以C正确；取,则,所以D错误.故选:C.题型2利用单调性比较大小3.三个数，，大小的顺序是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由为增函数，则，由为增函数，，所以，故选A4.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据函数在R上单调递减可知根据函数在R上单调递增可知，故，故选D.5.设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在上为增函数，所以，即．因为在上为增函数，所以，即，所以．故选C．6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在上单调递减，则，即；又因为在上单调递减，则，即；可得，且在上单调递增，则，即；综上所述：，故选D.7.（2025·云南保山·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由是定义在上的偶函数，则，由在上是增函数，则，即有.故选：C.8．（2025·江苏无锡·一模）已知函数．记，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则开口向下，对称轴为，所以函数在为增函数，又为增函数，所以函数在为增函数，由于，所以，故.故选：B.9.已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】D【解析】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，综上有.故选：D题型3引入媒介值法10.（2025·安徽铜陵·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，，，.故选：A.11．（2025·吉林长春·一模）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是奇函数，所以.因为函数是增函数，所以；因为函数是增函数，所以.所以.因为函数是定义在上的增函数，所以，即.故选：D.12．（2025·江苏南京·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为指数函数在上单调递减，且，所以，因为幂函数在上单调递减，，所以，又，所以.又，所以.故选：B13.（2025·甘肃兰州二模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，故选：D14.已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为，所以，因为，所以，所以，故选：A.15.已知，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，故选：C.题型4构造函数比较大小16.已知，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，则，当时，，函数在上单调递减，又，所以，所以，所以，故选B.17.设，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】构造函数，的定义域为，，令可得：，令可得：，所以在上单调递增，在上单调递减．故，即，变形可得，即，所以；又，所以，又因为，所以，综上，，故选：B．18.已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，，故c的值最大．下面比较a，b的大小．构造函数，显然在上单调递增．因为，所以，所以，所以．故选C．19．（2025·宁夏固原·三模）若，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，令，定义域为，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，又，所以，所以，即.故选：D.20．（2025·河北沧州·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】构造函数，，当时，，单调递增，所以，.故选：A.21．（2025·四川德阳·三模）已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，，显然函数在上都递增，则函数在上递增，而，，，又，因此所以.故选：C22．（2025·辽宁铁岭·三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，易得在上单调递增，∴，即，∴.故选：B.题型5指、对互化比较大小23.已知正数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】为正数，可设，则，，；对于AB，，，，又，，A错误，B错误；对于CD，，，，又，，C错误，D正确.故选D.24.(2025·广东茂名一模)已知x，y，z均为大于0的实数，且2x＝3y＝log5z，则x，y，z大小关系正确的是()A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【答案】C【解析】因为x，y，z均为大于0的实数，所以令2x＝3y＝log5z＝t>1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t>1的交点的横坐标的关系，故作出函数图象，如图，由图可知z>x>y.25．（2025·江苏盐城·三模）设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以．同理又因在定义域内为减函数，故，而，因，，且，故，即，所以．故选：D.26．（2025·广东肇庆·二模）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，，，．由于，且，因此，故，故选:B．27．（2025·黑龙江双鸭山·二模）若且，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，，所以，所以，又因为，所以等号不成立，所以，即，所以，所以，故选：B考点二构造函数（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.【答案】(1)不存在(2)且【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，假设为奇函数，则，而，则，此时无实数满足条件，所以不存在实数，使得函数为奇函数；（2）图像经过点，则代入得，解得，所以，定义域为，令，则的图像与轴负半轴有两个交点，所以，即，解得，若，即是方程的解，则代入可得，解得或.由题意得，所以实数的取值范团且.知识点1利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．知识点2利用导数研究函数的极值1.函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2.函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．题型1利用与构造函数1.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（－1，0）∪（0，1）B.（－1，0）C.（0，1） D.（－1，1）【答案】A【解析】构造F（x）＝f（x）x2，则F'当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.2.已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，对任意，，恒成立，即在上单调递减，由可得，，解得，即解集为，故选A3.已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设函数，则，所以函数在上为减函数，因此，即，所以．故选B4.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意可令，所以在上单调递增，则原不等式等价于，由，解之得．故选：B．5.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意可令，所以在上单调递减，则原不等式等价于，由，解之得.故选：B6.（2025·四川省眉山第一中学模拟）已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．【答案】【解析】设，则，因为，，所以，可得在上单调递减，不等式，即，即，所以，因为在上单调递减，所以，又因为，所以不等式的解集为：，题型2利用与构造函数7.已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，∴在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为，故选A.8.（2025·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，所以在上单调递减，因为，所以不等式可变为，即，所以，即，所以不等式的解集为，故选：D.9.已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】构造，则，因为导函数满足对于恒成立，所以，即函数在上单调递减，即，故选C.10.已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数因为，即，所以函数在上单调递减.可变形为，即，即.故选：C11.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意对任意的，都有，即，令，则，即为R上的增函数，而，故，又即，即，所以，即不等式的解集为，故选：D12.定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，即，令，则，在上单调递减，又，可化为，，即不等式的解集为.故选：A.题型3利用与，构造函数13.（2025·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以设，则，所以在上为增函数，又因为，，，，所以，即，故选C14.已知函数的定义域为，其导函