2026年高考数学复习讲义专题06 导数的综合应用（不等式的证明与不等式恒（能）成立问题）（原卷版）

专题06导数的综合应用(不等式的证明与不等式恒(能)成立问题)目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点导数的综合应用真题动向必备知识知识点1利用导数研究函数的单调性知识点2用导数研究函数的极值知识点3利用导数研究函数的最值命题预测题型1利用导数证明不等式题型2不等式恒成立问题题型3不等式能成立问题题型4导数中的零点问题题型5导数中的创新问题命题轨迹透视导数及其应用是上海高考数学的核心模块，占分约50分（占比33.3%），是压轴题的高频考点。题型涵盖选择题、填空题和解答题，其中解答题常综合考查单调性、极值、最值及实际应用考点频次总结考点2025年2024年2023年导数的综合应用上海卷T19，14分上海卷T21，18分上海卷T18，14分2026命题预测预计在2026年高考中，于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等.复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用.考点导数的综合应用4．（2025·上海·高考真题）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；5．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．6．（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.知识点1利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．知识点2利用导数研究函数的极值1.函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2.函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．知识点3利用导数研究函数的最值1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．题型1利用导数证明不等式1.（四川省元三维大联考2025届高三第三次诊断性测试节选）已知函数．当，时，求证：．（参考数据：）2．已知，曲线在处的切线方程为．(1)求；(2)证明．3.（2025·河南郑州·模拟）设函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：.4.（2025·河北邯郸·二模）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：.5．（2025·山东临沂·三模）已知，.(1)证明：；(2)证明：函数与的图象有两条公切线.题型2不等式恒成立问题6．已知在处有极小值.(1)求的值；(2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）.7．已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若，恒成立，求的取值范围．8．已知函数，．(1)求函数在点处的切线方程；(2)若恒成立，求正实数的取值范围．9．已知函数.(1)求函数的极值；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．10．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数．(1)若存在，使成立，求k的取值范围；(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．11.（浙江省宁波市“十校”2025届高三下学期3月联考节选）已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围．题型3不等式能成立问题12.（辽宁省名校联盟2025年高考模拟节选）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围.13.（2025·河北保定·一模）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.14.（2025·江苏南京二模）已知函数．(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围．15．已知函数.(1)设为的导函数，分析的单调性；(2)若存在，满足，求实数的取值范围.16．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.17．已知函数(1)求出函数的单调区间；(2)若方程在有解，求实数的取值范围.题型4导数中的零点问题18.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若只有一个零点，求的取值范围．19.（2025·河北秦皇岛·三模节选）设函数．记，若，试讨论在上的零点个数．20.（2025·广东湛江·一模节选）已知函数，当时，试判断的零点个数并证明．21.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)当时，求证：最大值小于；(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.22.（2025·江西南昌·二模）已知.(1)当时，求函数的单调区间：(2)当时，求证：；(3)当，试讨论函数的零点个数.题型5导数中的创新问题23．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点.(1)若，求的广义反曲点；(2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程.24．设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为.(1)求实数的值；(2)求的零点个数.25．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．26．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数.(1)设可导函数，证明：，；(2)若在上的最小值为，求a的取值范围.27．设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．(1)求实数m，n的值；(2)求的零点个数.28．设函数在区间上可导，为函数的