2026年高考数学复习讲义专题10 数列通项与求和专题（原卷版）

专题10数列通项与求和目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点一数列通项真题动向必备知识求数列通项公式的常用方法命题预测题型1累加法题型2累乘法题型3构造数列法题型4倒数变换法考点二数列求和真题动向必备知识数列求和常用方法命题预测题型1分组转化法题型2裂项相消法题型3错位相减法法题型4倒序相加法命题轨迹透视从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为一般;而对于等差、等比数列的证明以及求数列通项公式也是高考的热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度中档以下.2026命题预测预计在2026年高考中，高考对数列求和的考查主要以解答题形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度为中等偏下,有时也常与函数、不等式等交汇命题.考点一数列通项1.（2025·天津卷T6），则数列（

）2.（2022·北京卷T15节选）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．证明为递减数列1.累加法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．2.累乘法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．3.构造数列法（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．4.倒数变换法形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．题型1累加法1．已知数列满足，则=（

）A． B． C． D．2．在数列中，，，则.3．数列满足，且对任意的都有，则．4．已知数列满足，则.题型2累乘法5．若数列的首项，且，则数列的通项公式为.6．若数列满足，则.7．已知数列（）满足，且，则通项公式.8．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式.9．数列中，已知，，则通项等于（

）A． B． C． D．题型3构造数列法10．已知数列中，，，则．11．数列满足，则数列的通项公式为.12．在数列{an}中若对于任意的正整数恒成立，则实数k的最大值为13．数列的首项，且（为正整数），令，则.14．已知，，则的通项公式为15.已知数列满足，且，若，则（

）A．253 B．506 C．1012 D．202416.已知数列满足且，其前项和为，则_____．题型4倒数变换法17.已知数列满足，若，则．18．已知数列满足，则.19．数列中,,,则数列通项公式20．在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．考点二数列求和1．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为．2．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求；3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．题型1分组转化法1．已知数列中，，（n为正整数）．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．2．已知数列满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；写出的具体展开式，并求其值.3．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.(1)求和的通项公式；(2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.4．在等差数列中，，且，，构成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．题型2裂项相消法5．已知数列的前项和满足条件，其中是正整数．(1)求证：数列成等比数列；(2)设数列满足．若，求数列的前项和．6．已知数列满足.(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；(2)记，证明：.7．记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.8．已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585，(1)求数列的前项和；(2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值．题型3错位相减法法9．已知数列的前项和为，且.(1)证明:为等比数列(2)求数列的通项公式(3)求数列的前项和10．已知数列满足(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求的前项和11．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求使得成立的所有的值；(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．12．已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列.(1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式；(2)若，设，求数列的前项和；(3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.题型4倒序相加法13．已知函数，数列是正项等比数列，且，(1)计算的值；(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.14．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.15．已知函数.(1)求证为定值；(2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和；(3)设数列满足，.设.若（