2026年高考数学复习讲义专题14 空间中的角、距离与探究性问题（原卷版）

专题14空间中的角、距离与探究性问题目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点空间中的角、距离与探索性问题真题动向必备知识知识点1点到直线和平面的距离知识点2两异面直线所成的角知识点3直线与平面所成的角知识点4两个平面的夹角命题预测题型一点到直线的距离题型二点到平面的距离题型三直线到直线的距离题型四直线到平面的距离题型五平行面间的距离题型六线线角的向量求法题型八面面角的向量求法题型九向量法求距离的探索性问题题型十向量法求角度的探索性问题命题轨迹透视从近三年高考试题来看，在考查立体几何的高考题目中空间角、距离问题与探究性问题也是常考题型，考查热点为线线角、线面角、二面角、距离的计算，解题的关键是根据题目条件合理引入参数，利用方程的思想解题.高考题中一般以解答题为主，难度中等或较大.考点频次总结考点2025年2024年2023年空间角上海卷T18，14分上海卷T17，14分上海卷T17，14分2026命题预测近年命题趋势更注重动态几何问题和向量法的综合应用，如通过翻折情境分析空间角的变化，需灵活求解，备考时需强化坐标系建立技巧、法向量求解步骤及空间角公式的熟练应用，同时注重向量运算的严谨性，避免因计算失误失分，考点空间中的角、距离与探索性问题1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．2．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．3．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.4．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.知识点1点到直线和平面的距离1.点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=|AP|22.点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=|AP【注意点】实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.知识点2两异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ=|cos〈u，v〉|=u·v|【注意点】两异面直线所成角的范围是0，π当方向向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角相等；当方向向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角与方向向量的夹角互补.知识点3直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos〈u，n〉|=u·n|【注意点】(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.(2)线面角的范围为0，π(3)把斜线的方向向量与平面法向量的夹角记作α，当α为锐角时，直线和平面所成的角为π2-α；当α为钝角时，直线和平面所成的角为α-π知识点4两个平面的夹角1.两个平面的夹角的概念：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.2.求夹角的方法：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ=|cos〈n1，n2〉|=n1·n【注意点】(1)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角.(2)二面角与两平面的夹角是两个不同的概念，注意两者范围的不同.题型一点到直线的距离1．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是.2．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（

）A．2 B． C． D．3题型二点到平面的距离3．如图所示，在四棱锥中，平面；底面是矩形，且，，、分别是、的中点.若记直线与平面的交点为，则点到平面的距离为.

4．如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为．

5．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．题型三直线到直线的距离6．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是7．在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为.8．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为．题型四直线到平面的距离9.如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为.10．如图，在正方体中，，求：(1)证明：平面；(2)求直线到平面的距离．11.已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点.(1)求直线与直线所成的角；(2)求直线到平面的距离.题型五平行面间的距离12.已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为．13．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是．14．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为．15．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．16.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（

）A． B． C． D．题型六线线角的向量求法17．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，到平面的距离为.(1)求正四棱柱的高：(2)求异面直线与所成角的余弦值.18．在直三棱柱中，分别为的中点，．

(1)求证：平面；(2)求异面直线与的所成角．19．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成角的大小.(2)证明：面.20．如图，已知三棱柱的侧棱长和底面边长都是，在底面内的投影为底面的中心．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求三棱锥的体积题型七线面角的向量求法21．在直三棱柱中，若E为AC中点，求：(1)直三棱柱表面积和体积；(2)直线与平面所成角大小.22．如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．23．如图，在四棱锥中，为的中点，，点在线段上

(1)证明：平面；(2)已知四点均在球的球面上．若直线与平面所成角的正弦值为，求．24．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求二面角的大小（结果用反三角表示）；(2)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大.题型八面面角的向量求法25．如图，在四棱锥中，底面是正方形平面，，点是棱的中点，平面与棱交于点．(1)求证：；(2)求二面角的大小．26．如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点，.(1)证明：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值.27．如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点落在劣弧上．(1)求证：平面平面；(2)若点平分劣弧，过点分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小．28．如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.

(1)若，求异面直线与所成的角；(2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围.题型九向量法求距离的探索性问题29.如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点.(1)若点是的中点，证明：与、共面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小；(3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值.30．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.

(1)证明：平面；(2)若，，①求直线与平面所成角的大小；②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.31．如图，在梯形中，，，，，平面且.

(1)求直线到平面的距离；(2)求二面角的大小；(3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为?题型十向量法求角度的探索性问题32．如图，在直三棱柱中，，，，.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.33．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.(1)求证：平面；(2