2026年高考数学专题专练专题02 函数零点与方程根问题（解析版）

专题02函数零点与方程根问题目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01函数零点存在性问题题型02方程根与函数零点个数题型03利用零点求参数第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为．【答案】【解析】由“调日法”的计算方法可知：第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得，则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，故答案为：2．设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为．【答案】【解析】由画出函数图像，结合图像可知，方程恰有一解，的取值范围为.故答案为：3．已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为.【答案】【解析】，因为函数在内有且只有一个零点，所以在内有且只有一个实根，得，即，即函数在上的图象与直线只有一个交点，当时，，画出在上的图象如下，结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，所以，即的取值范围是．故答案为：4．设函数为常数，则下列命题中：命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解；命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（

）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】作的图象：

当，由函数图象知，即，当，由函数图象知，即，对命题（1），任取实数，总存在实数，使，命题（1）成立；对命题（2），若，当时，与的图象仅一个交点，若，当时，取，此时与的图象仅一个交点，若，当时显然不成立，故不存在满足条件的正实数，命题（2）为假命题；对命题（3），由函数图象知，对固定的实数，若，则，若，则，由于的图象在特定范围内与平行于轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命题；对命题（4），由函数图象知，对任意，只需取，都能使有两个解，故命题（4）成立.故选：B．5．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为.【答案】【解析】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为有四个不同的解，所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示根据二次函数的对称性可得，即，又，所以，解得，又，所以，当时，，解得，所以，则所求，因为在单调递减，则最小值为，所以的最小值为.故答案为：6.在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点.下面给出下列四个结论：①函数是偶函数；②存在常数使得函数是奇函数；③函数有无数个零点；④对任意恒成立.其中，所有正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】因为当，则，所以，当，则，所以，所以对，，所以函数是偶函数，故①正确；因为，所以，所以，所以不存在常数使得函数是奇函数，故②错误；由，即解得，即，所以函数有无数个零点，故③正确；当时，，所以；当时，，所以，所以对任意恒成立，故④正确.故选：C7.在平面直角坐标系中，对于函数的图象上不重合的两点、，若、关于原点对称，则称点对是函数的一组“奇点对”（规定与是相同的“奇点对”.设函数则函数的“奇点对”组数是【答案】【解析】设，满足，则，由、关于原点对称，可得，依题意，所以，即故函数的“奇点对”组数可转化为方程的正数解的个数，解得，，即方程有个正数解，即函数的“奇点对”组数为个.故答案为：.01函数零点存在性问题1．下列函数中，在区间上是严格增函数且在区间上存在零点的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，令，且使，解得，得到在区间上不存在零点，故A错误，对于B，令，而，，得到，则在区间上不可能是严格增函数，故B错误，对于C，令，且使，解得，得到在区间上不存在零点，故C错误，对于D，令，，由反比例函数性质得在区间上单调递增，则在区间上单调递增，可得在区间上是严格增函数，令，解得，符合题意，故D正确.故选：D2．有两个关于函数（为自然对数的底）的命题：①该函数在定义域上是单调函数；②该函数在区间上不存在零点，其中（

）A．①真､②真 B．①假､②假 C．①真､②假 D．①假､②真【答案】B【解析】因为函数，其定义域为，则恒成立，故函数在上是单调递增,在单调递增，当，，，故函数在定义域内不具有单调性；当时，，故该函数在区间上不存在零点，当时，，故时，，又，故存在，使得，所以①假，②假，故选：3．函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】由得，又函数的图象是连续不断的，且单调递增根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一，即方程的根所在的区间是，故选：B4．函数的零点为；【答案】【解析】令，解得，，又因为，所以，所以的零点为，故答案为：.5．已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：．(1)若，求出函数的极值点，并判断的符号；(2)若，，讨论方程解的个数；【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】（1），令，解得或，由或；由.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.所以是函数的极大值点；是函数的极小值点.又，当时，；当时，.（2）因为，所以，，则，令，，，令，即，因为，所以，当时，，所以在上严格递增，当时，，所以在上严格递减，所以函数在处取得最大值；当时，；当时，，时，的图象无交点；当时，的图象有1个交点；当时，的图象有2个交点，所以当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解；02方程根与函数零点个数6．若的值域为，则至多有个零点.【答案】【解析】令，则或，且，若，则，若，则，所以的零点只能从集合中选取，故的零点至多有个，故答案为：.7．函数的零点个数为【答案】3【解析】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，

时，函数取最大值，时函数的值为，又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.所以的零点个数为个.故答案为：.8．设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.【答案】【解析】∵是关于的奇函数，∴关于对称，∴关于对称；∴，又是关于的奇函数，∴关于对称，∴关于对称；∴，∴，∴，即的周期为.又易知，∴，∴，，即，的一个零点恰为．∵，令，解得，又，所以，所以在区间至少有个零点．故答案为：9．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论错误的是（

）A．当时， B．C．的图像关于点对称 D．函数有个零点【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且，则，即周期为4，对于选项A，因为时，，则时，，，又，所以时，，故A正确，对于选项B，，所以B正确，对于选项C，若的图像关于点对称，则，又，则与矛盾，所以C错误，对于选项D，令，得，由选项A知，，又的周期为，则同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示，由图可知，有个交点，所以函数有个零点，故D正确，故选：C.10．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，；若函数，则函数在上零点个数是【答案】6【解析】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数，又的定义域为，又，所以是周期为的周期函数，当时，，作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，同时作出，的图象，因为，，所以函数在上有三个交点，在上无交点，又，，则，则函数是偶函数，图象关于轴对称，所以结合图形知的图象的交点的个数为6.故答案为：6.03利用零点求参数11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数，其中，可得，因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点，由图象如图，由图可知，，解得，所以的取值范围为.故选：C.12．关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得，原方程可化为：，即，令，如要函数在有两个零点，则需：，解得，，故答案为：.13．已知函数，若方程有2个根，则的范围是．【答案】【解析】因为，当时，由单调递增，∴在上单调递增，∴当时，，当时，所以，综上，函数的值域为，作出函数的图象与直线如图所示：

函数有2个零点，即与有2个交点，所以，即.故答案为：.14．对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】依题意在上无实数根，即在上无实数根，即在上无实数根，令，，则在上单调递增，又，，即，所以或，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：15．设二次函数，且函数图象与轴交于.(1)求函数的解析式；(2)求的图象在点处的切线方程；(3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）由函数的图象与轴交于可得，由可得，解得，所以函数；（2）由（1）可知，求导可得，所以函数在点切线斜率为，故切线方程为；（3），在上有两个不同零点，需满足：①判别式；②对称轴在区间内；③区间端点函数值非负；所以，解得或；对称轴为，故，即；（恒成立）；，解得；综上，.

1．设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】因为函数为增函数且在区间内连续，又，所以方程的近似解在区间.故选：B.2．已知函数，则“”是“函数有零点”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要【答案】A【解析】函数，定义域为，当时，，当时，，根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立；当，时，，易知，所以函数有零点，此时，所以必要性不成立.故“”是“函数有零点”的充分不必要条件.故选：.3．函数，的零点是．【答案】，【解析】令，则，，当时，；当时，.函数，的零点是，.故答案为：4．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是.【答案】【解析】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆，直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，，当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去），要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足，故答案为：.

5．已知定义域为的奇函数，满足，且，则函数在区间上的零点个数的最小值为.【答案】【解析】依题意，奇函数的定义域为，所以.由，得，即，由奇函数的性质得，又，即，由奇函数的性质得，解得，由，得，所以函数是周期函数，且周期为，因此，，，，，，，，.这表明函数在上至少有这个零点.当时，函数在上的全部零点恰为.所以，函数在区间上的零点个数的最小值为.故答案为：.6．已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为.【答案】【解析】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增，所以有一解，解得：，有一解，解得：，所以，故答案为：.7．已知，已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】【解析】，又因为函数的最小正周期为，所以，解得，所以.令，所以，所以，或，解得，或，当时，有零点，，当时，有零点，，因为函数在上恰有2个零点，所以，所以实数的取值范围为.8．已知向量．若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【答案】【解析】由题设有在有两个不同的零点，而，故在有两个不同的解，故与的图象在上有两个不同的交点，而在为增函数，在为减函数，且，故，故.9．已知函数，已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围．【答案】【解析】由于是偶函数，则，代入化简得，解得，令，，则，所以在上有解，，因为函数在上严格增，所以，解得，故的取值范围为．10．如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．若方程存在实数解，求的取值范围．【答案】【解析】因为方程存在实数解，即方程存在实数解，则的取值范围即为函数的值域，由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为，所以，即，解得或，因此，实数的取值范围是.11．已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增，所以，在定义域上是单调减函数，当时，，又因为，，所以，当都为负值，则都大于，当，则都小于，大于.综合可得，不可能成立．故选：C12．设，满足的x的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【解析】由可得，即，其中，所以原方程化为，即，不妨令，因为，所以，易知时，成立，即满足题意；又的周期为，且，所以在区间上还有一个根，如图所示，故选：C13．设分别是函数与的零点，则当变化时，表达式（

）A．有最大值，但没有最小值 B．有最小值，但没有最大值C．既有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值【答案】B【解析】由题意知；由，设，则.因为函数（）在上单调递增，在上单调递减，如下图：所以方程在上只有1解.所以.所以，当且仅当即时取到等号，无最大值，故选：B14．已知函数，若函数在区间上恰有个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合为.【答案】【解析】，令，，可得，，记的两零点为、，则，不妨设，且，则，，，可知（舍去），，原题意等价于在区间上恰有2024个零点，可知在和（为正整数）内不同根的个数均为，所以.故答案为：.15．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点，设函数的零点为，又因为函数与互为“零点相邻函数”，所以，解得，所以函数在上有零点，所以或或，即或或，所以.故答案为：.16．已知，若关于的方程解集为，则的取值范围为.【答案】【解析】由，整理得，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当且时，方程无解，即无解，，解得，又，的取值范围为.故答案为：.17．若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是.【答案】【解析】方程化为，令，求导得，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，因此原方程等价于，令，依题意，方程在内有两个不同的实数解，即直线与函数在上的图象有两个交点，而函数在上单调递增，在上单调递减，，又，于是，所以实数的取值范围是.故答案为：18．设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为.【答案】或【解析】当时，在单调递减，在单调递增，作出的图像如下：又直线恒过定点，当时，直线的斜率，要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：当直线与相切时，只有一个交点，故，故，解得，当时，在单调递减，在单调递减，作出的图像如下：又直线恒过定点，当时，直线的斜率，要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：直线与始终有交点，综上可得：或故答案为：或.19．已知，，且，则的取值范围是.【答案】【解析】由已知，，则，所以，可视为方程的两个解，且满足，即，可视为函数的两个零点，且满足，则，解得，即，则，故答案为：.20．设，若时，均有成立，则实数a的值为【答案】【解析】令，则，①当，即时，在时恒有，要想成立，则恒成立，与是一个开口向上的二次函数矛盾，故舍去；②当，即时，则要想成立，则与有相同零点，即也是方程的一个根，∴设方程另一个根为，得，消元得，解得，∵，∴，故答案为：21．设，，其中表示中的较小值.若函数至少有3个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】设，，由可得．要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，则△，解得或．①当时，，作出函数、的图象如图所示：此时函数只有两个零点，不满足题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如图所示：由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则，可得，解得，此时．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．22．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】将函数向右平移1个单位得到，作出函数的图象如下：要关于的方程有两个不同的根，则函数和函数有两个不同的交点，当过点时，，所以当函数和函数有两个不同的交点时，.故答案为：.23．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】作出函数的图像，如图所示，

有，，由，得，当时，，不等式无解；当时，由得，此时不可能只有一个整数解．当时，由得，若不等式恰有一个整数解，则整数解为，又，，再结合图像知，综上所述，实数a的取值范围为．故答案为：24．对任意数集，满足表达式且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中的元素之和为.【答案】90【解析】，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图：

观察图象知，当与图象有一个公共点时，相应的有1种取法；当与图象有两个公共点时，相应的有种取法；当与图象有三个公共点时，相应的有种取法，直线与函数图象的交点个数可能的取值如下：，对应的函数个数为，.所以集合中元素之和为9