2026年高考数学专题专练专题03 导数与函数极值、单调性与及其综合应用（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题03导数与函数极值、单调性与及其综合应用目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01利用导数研究函数单调性题型02利用导数研究函数极值题型03利用导数研究函数最值题型04利用导数解决实际问题题型05导数综合应用第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.已知函数与它的导函数的定义域均为.若函数是偶函数且在上是严格增函数，则下列各表中，可能成为取值的是（

）A．12.818821.000030.364440.2468B．10.758021.000031.318841.7979C．12.413221.000031.588544.1116D．10.866421.000031.118841.2240【答案】B【解析】函数是偶函数，则，两边求导得：，所以可知导函数是奇函数，由于函数与它的导函数的定义域均为，所以，又因为在上是严格增函数，所以在上是严格增函数，由于是可导函数，所以它的图象是连续曲线，示意图如下：则在上恒为正数且递增，即在上单调递增，且变化率越来越大，故AC显然错误，而D的变化率越来越小，所以只能选B，故选：B.2.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为.【答案】【解析】依题意点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例常数，且，从而点处受污染程度，；因为，所以，则，当时，取得最小值，必是极小值，所以，解得，此时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以在时，取得极小值，也是的最小值，所以污染源的污染强度的值为．故答案为：3．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为．

【答案】/【解析】设圆的直径为，则，即，由题意可得：，则，令时，解得；令时，解得；可知在单调递增，在单调递减，则时，取最大值．此时．所以故答案为：.4．正方形区域由9块单位正方形区域拼成，记正中间的单位正方形区域为D．对于边界上的一点P，若点Q在中且线段PQ与D有公共点，则称Q是P的“盲点”，将P的所有“盲点”组成的区域称为P所对的“盲区”．对于边界上的一点M，若在边界上含M在内一共有k个点所对的“盲区”面积与相同，就称M是“k级点”；若在边界上有无数个点所对的“盲区”面积与相同，就称M是一个“极点”．对于命题：①边界正方形的顶点是“4级点”；②边界上存在“极点”．说法正确的是（

）A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①和②都是假命题【答案】D【解析】解：设每个小正方形的边长为，当点为区域的一个顶点时，此时，当点为一个小正方形的一顶点时，如图所示，此时，可得，所以边界正方形的顶点不是“4级点“，所以①是假命题；不妨设M为正方形一个顶点，根据正方形对称性不妨设T为过M的边上一点，设，其中，可得，设，可得，令，可得，当或时，；当时，，所以函数在，上单调递增，在单调递减，故不可能有x的无数个值使得相等，所以在边界上不存在有无数个点所对的“盲区”面积与相同，所以②是假命题．故选：D.5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，，令解得，又，所以的图象的对称中心为，即，所以，故选：B01利用导数研究函数单调性1．函数的单调减区间为．【答案】【解析】函数的定义域为，又，令，则，解得，所以函数的单调减区间为.故答案为：.2．若在上单调递增，则的取值范围是．【答案】【解析】∵，∴，

∵函数在区间上单调递增，∴在区间上恒成立，由于在区间上单调递增，∴必须且只需解得，故答案为：.3．已知为常数，函数．(1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间．【答案】(1)分类讨论，答案见解析，理由见解析；(2)函数在上严格单调递增，在上严格单调递减．【解析】（1）记，定义域为，①当时，，因为，故函数为偶函数，②当时，，取，因为且，即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2），因为，所以当时，，当时，，所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减．4．设.(1)求函数的极小值点.(2)若函数满足，求a的值.(3)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)(3)在和上严格增，在上严格减【解析】（1）因为函数，所以，令，解得：，列表如下：单调递减极小值单调递增所以极小值点为.（2）因为，所以，又因为，所以.（3）由（1）可知：，所以，令，解得：或，列表如下：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减.5．已知，函数．(1)若k，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在区间上是严格减函数，求实数k的最大值：(3)设，数列满足：，，且当时，若对一切正整数n成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)实数k的最大值(3)【解析】（1）当k时，，，，，曲线在点处的切线方程,即（2）若函数在区间上是严格减函数，在区间恒成立，由于在区间最大值为1，所以，即实数k的最大值（3）当，，（6），由时，,可得，易得，，，当时，（理由如图所示）所以,所以,，所以，由的导数为，可得在上递增，当，，可得当时，，所以，所以数列单调递增，且有上界，故必有极限，设极限为，则，，解得，可以知道，.02利用导数研究函数极值1．函数的极大值为.【答案】/【解析】由求导得，，则当时，；时，；时,.即函数在和上单调递减，在上单调递增.故函数在处取得极大值，为故答案为：.2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有个【答案】1【解析】由题图，时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点.故答案为：13．已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，又∵在恰有2个极大值点，∴由正弦函数图象可知，，解得：.故选：B.4．已知函数在上无极值，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意得，，故，因为函数在上无极值，所以在R上恒成立，当时，，设，则，当时，得，当时，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故，当时，，则.综上，.故答案为：5．已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】∵二次函数开口向下，是极大值，一次函数，当时，函数是单调函数，没有极值点，要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和，又∵函数在上单调递减，∴在上递增.∴，∴.故答案为：03利用导数研究函数最值1．已知函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】【解析】当时，的值域为，函数的值域为，当时，是的值域的子集，又，令，或(舍去)，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，取得极大值，故的值域为，，.故答案为：.2．已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于.【答案】3【解析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则，设，连接，则，平面，因为平面，所以.在中，，故，所以正四棱锥的体积，令，则，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时正四棱锥的体积取得最大值.故答案为：3.3．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为.【答案】【解析】，当时，在上严格单调递增，不符合题意;当时，令；.所以在上严格单调递增，在上严格单调递减，所以在处取得极大值.因为函数在区间上存在最大值，所以.故答案为：.4．已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为．【答案】3【解析】当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，取得最小值，解得，．故答案为：3．5.设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，即，即，即对任意恒成立，，即对任意恒成立，对任意恒成立，则，设，则，令，解得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，则，故答案为：.04利用导数解决实际问题1．某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）【答案】【解析】分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为，所以，令，即，解得或（舍），当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在单调递减，又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，，于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大.故答案为：9.2．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.【答案】【解析】连接CD，CE，由半圆半径为1得：.由对称性，可设，又，，所以，，易知，所以的长为.又，故，故，令且，则，，所以.当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以栈道总长度最小值.故答案为：.3．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为.（结果四舍五入精确到）【答案】【解析】因为，，故，故，设，则，又，设，则，，记，，因为，故，又当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，此时，故，用度表示后约等于，故答案为：.4．如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当时，栈道EG最短.【答案】/【解析】由题意，，设，则.在中，得，则.由于，解得.令，，则.令，则，当时，严格递增；当时，严格递减；所以，有最大值，则.故答案为：05导数综合应用1．已知，且关于的函数．(1)已知函数，且满足，解不等式；(2)若，为单位向量，讨论函数的单调性；(3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围．【答案】(1)或．(2)递增区间为和，递减区间为．(3)【解析】（1）由题意，又，所以的图像关于对称，则，即，得到，由，所以，解得或，故不等式的解集为或．（2）因为，所以，因为为单位向量，所以，，题意有，由，令，可得，令，可得，则在上单调递增，在上单调递减，故递增区间为和，递减区间为．（3）设与的夹角为θ．∵，∴，∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根，即，∴，又，∴，即，又，∴．2．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”．(1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）；(2)若是和的“区间”，证明：不是偶函数；(3)若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．【答案】(1)在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由题意和的定义域是，当时，满足“区间”的定义，故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集；（2）由题意，当时，，故，当时，，故，在任意区间上不恒为0，故，使得，又，显然，故不是偶函数；（3）当时，，因为，即，所以在上单调递增，当时，故且唯一，使，且当时，，当时，，当时，，故且存在，使得，当时，，故且存在，使得，由零点存在性定理知，，使，故在区间上存在零点.3．进入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为，且每人是否感染这种病毒相互独立．(1)记100个人中恰有5人感染病毒的概率是，求的最大值点；(2)为确保校园安全，某校组织该校的6000名师生做病毒检测，如果对每一名师生逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是按人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当p取时，求k的值，使得总检测次数的期望最少．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可知：100个人中恰有5人感染病毒的概率，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值点.（2）若，按人一组分组，共有组，每组阳性的概率为，可得每组检测次数的期望为，设总检验次数为，则，因为，则有：当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得；可知，当时，总检测次数的期望最少.4．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.【答案】(1)；(2)；(3)30万元.【解析】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型.（2）令，所以.，，所以y关于μ的线性回归方程，因此，关于x的回归方程为.（3）由（2）可知，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大.1．若是函数的驻点，则实数的值为.【答案】【解析】由题意知，,因为是函数的驻点，所以，解得.当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是函数的驻点.综上，.故答案为：2e.2．函数在上的极大值点为.【答案】【解析】由，时，，令，解得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则函数在上的极大值点为.故答案为：.3．函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为.【答案】【解析】根据图象可知，当时，；当时，；同时当或时，；当时，；所以的解集为.故答案为：4．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【答案】【解析】法一：，由题意可知在上有解，即有正实数解，当时，显然满足要求，当时，只需满足，即，综上：的取值范围为.故答案为：.法二：，由题意可知在上有解，即在上有解，即在上有解，所以，则的取值范围为.故答案为：.5．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数的定义域为R，且．当时，恒成立，故在R上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值．当时，令，得，解得，解得，在上单调递减，在上单调递增，从而时有极小值，函数没有极大值．依题意有，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．6．函数的最大值为．【答案】/【解析】，设，，令，得或，所以当时，，即在和上单调递减，当时，，即在上，单调递增，又因为，，所以的最大值为，故答案为：．7．设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．(1)求证：函数不具有性质；(2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)具有性质，的取值集合【解析】（1）假设具有性质，即对一切恒成立

化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误，因此函数不具有性质.（2）假设具有性质，即对一切恒成立，即对一切恒成立，则对一切恒成立，

由，所以当时，具有性质，所以具有性质，的取值集合.8．设函数的定义域为是的极大值点，则（

）A．是的极小值点 B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极大值点【答案】C【解析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误；BD选项，取，则是的极大值点，，故不是的极大值点，B错误；，其为偶函数，在上单调递减，不是的极大值点，D错误.C选项，的图象和的图象关于原点对称，因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确.故选：C9．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，当或时，，当时，，所以函数在，上递增函数，在上递减函数，故时函数有极大值，且，所以当函数在上有最大值，则且，即，解得.故选：B.10．定义在上的奇函数，满足，则不等式的解集为．【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，则.两边求导，得到.已知，可得.令，.由于，又，所以，这表明在上单调递增.不等式可化为.不等式即，即.因为单调递增，所以，解得.故不等式的解集为.故答案为：.11．已知是函数的极大值点，那么的取值范围是.【答案】【解析】，令，得或，①当，即时，则当时，，当或时，，所以在上单调递减，在和上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意；②当，即时，则，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；③当，即时，则当时，，当或时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上：的取值范围是.12．函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，则，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，因为函数在上存在极值，则，解得.故答案为：.13．已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为【答案】【解析】设函数，可得，根据题意，可得的解集为，可得且，解得，即设点是过点的直线与曲线的切点，则点处的切线方程为，即，因为切线过点，可得，又因为存在三条切线，所以方程有三个实根，设，只需函数有3个零点，又由，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，要使得函数有3个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14．已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得，则实数a的取值范围是【答案】【解析】，当或时，，当时，，所以函数在和上都是递减，在上递增，所以的极小值为的极大值为，由题意，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为:.15．已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】显然，若，当趋近于，趋近于，不合题意，可知，因为，可得，由，可得，令，可得，原题意等价于对任意的都成立，构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.16．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为百米.【答案】【解析】设半圆步道直径为百米，连接，显然，由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，则，又，则∽，有，即有，因此步道长，，求导得，由，得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，因此当时，，所以步道的最大长度为百米.故答案为：17．已知中，，且，则面积的最大值为.【答案】【解析】设角所对的边分别为，因为，则，由正弦定理可得，则面积，令，则，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可知当且仅当时，取得最大值，所以面积的最大值为.故答案为：.18．已知函数，若（），则的最大值为.【答案】【解析】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，则，可得，则，令，则，令，则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，故，故答案为：19．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为m．【答案】【解析】设底面短边长为，则长边长为，高为，则，解得，则容器的容积，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，所以要使该容器的容积最大，则容器的高为.故答案为：.20．已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．【答案】(1)(2)1【解析】（1）由题意，，由得，此时，所以切点为；（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，，时，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值，，，，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值为，由题意，，设，则，设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即，是减函数，又，因此是的唯一零点，所以由得．21．已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为(3)【解析】（1）由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处为驻点，可得：，即，解得：，所以，（2）可得，令，解得：或，当变化时，的变换情况如下：-1+0-0+递增2递减递增所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是；（3）依题意得：方程有3个不同的实数根，即，函数与函数的图象有3个不同的交点，由（1）（2）知需要满足，解得：，的取值范围是.22．已知函数是定义在上的函数，若满足对任意的，有，则称具有性质.(1)判断函数和是否具有性质，并说明理由；(2)函数具有性质，命题恒成立；命题是严格增函数；试判断命题是命题的什么条件？并说明理由；(3)若函数具有性质，求的最大值.【答案】(1)不具有，具有，理由见解析(2)充分非必要条件，理由见解析(3)【解析】（1）由可知不具有性质；由可知具有性质.（2）若恒成立，则对有，所以是严格增函数.对，有，所以，故具有性质.同时，是严格增函数，但.所以命题是命题的充分非必要条件.（3）若具有性质，则，即.所以对任意的，取，即得.此即，所以对任意的，都有.假设，考虑函数，则对有，所以在上递增.故，即，此即，从而对任意，有.但对，有，矛盾，所以.当时，，而对有.故，所以，这表明具有性质.综上，的最大值是.23．已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：．(1)若，求出函数的极值点，并判断的符号；(2