2026年高考数学专题专练专题09 数列的单调性与不等式恒成立专题6大题型（解析版）

专题09数列的单调性与不等式恒成立专题目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01等差数列函数特征题型02等比数列函数特征题型03数列中与通项有关的恒成立与能成立题型04数列中与求和有关的恒成立、能成立题型05证明不等式恒成立第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.（等差数列函数特征）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是.【答案】【解析】若数列是严格增数列，则恒成立，即恒成立，又，所以，所以的公差取值范围是，2.（等比数列函数特征）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，．【答案】3【解析】，设数列公比为，则，解得，即或（舍去）∴，∴，∴，设，则，当时，，当时，，故当时，取最大值，3.（数列中与通项有关的恒成立与能成立）．（24-25高三下·上海闵行·期末）已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．（1）求数列的通项公式；（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解】（1）设，得，．所以；（2），若存在，满足恒成立即：，恒成立

当为奇数时，当为偶数时，所以，故：.4.（数列中与求和有关的恒成立、能成立）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.(1)求的通项公式；(2)对于任意，求实数的取值范围.【解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，因为，解得，又，得，所以.（2）由（1）可知，则，由可得，令，，当时，，当时，，则数列的最大项为，故，即实数的取值范围为.5.（证明不等式恒成立）已知对于任意的，数列都满足.(1)求数列的通项公式；(2)求证：时，.【解】（1）由题设有①，当时，②，①－②得，所以.又当时，由得，不符合上式，综上，数列的通项公式为.（2）由（1）可知：当时，，所以，所以当时，.、01等差数列函数特征1．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是.【答案】8【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列是严格递增数列，于是公差，因此为正整数，因为关于单调递减，而，则当时，取得最小值为.2．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为．【答案】20【解析】因为，所以和异号，又数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，又，所以，，当时，的最大值为20．3．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令公差为且的无穷等差数列，且，若为递减数列，则，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立；若存在正整数，当时，由于，即不为常数列，故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立；所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C4．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值【答案】C【解析】由于，，所以，，，所以，与均为的最大值．而，所以，所以C选项结论错误．故选:C．02等比数列函数特征5．已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】若是严格递减数列，显然能推出，所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件；若对任意的正整数都成立，则中不可能同时含正项和负项，故，所以，，即，，或，，即，.当，时，有，即，是严格递减数列；当，时，有，即，是严格递减数列，所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件，综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件.故选：C.6．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【解析】当时，取，则，显然不是严格增数列，所以“”不能推出“数列是严格增数列”；当数列是严格增数列时，设，当时，是摆动数列，不符合要求，所以，若，则，若，则，所以“数列是严格增数列”不能推出“”；综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件，故选：D.7．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列【答案】D【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：D.8．设无穷等比数列的前项和为，若，则（

）A．为递减数列 B．为递增数列C．数列有最大项 D．数列有最小项【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由已知，则，由可得且，对于AB选项，若，，当为奇数时，，此时，则，当为偶数时，，此时，则，此时数列不单调，AB都错；对于CD选项，，当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；当时，若为正奇数时，，则，此时单调递减，则；当为正偶数时，，则，此时单调递增，则.故当时，的最大值为，最小值为.综上所述，有最小项.故选：D.03数列中与通项有关的恒成立与能成立9．已知数列是等差数列，其前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值．【解】（1）因为，所以，因为，所以公差，，故；（2）因为，且时，恒成立，所以，因为时，，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.10.已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.【解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以.又.所以.（2）由.所以.所以，所以，两式相减得：，所以.（3）由.所以数列从第2项开始，单调递减.所以.由或.所以实数的取值范围是：.11．已知数列的前项和为．(1)证明：是等比数列．(2)求数列的前项和．(3)若，求的取值范围．【解】（1）因，则即，从而是等比数列；（2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列.则，从而，两式相减可得：则；（3）由（2），，又，则.，当时，易得，当时，，.即，当时，，则为递增数列，则.即.数列中与求和有关的恒成立、能成立12．已知为等差数列，前项和为，且．(1)求；(2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围．【解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为.所以，解得.所以.（2）.所以.因为不等式对任意恒成立，则有对任意恒成立，又，所以.13．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，．(1)证明：是等差数列；(2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．【解】（1）在正项数列中，，则，所以是等差数列.（2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，，，于是，而满足上式，因此，，则，，显然，且数列单调递增，，因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则，所以实数的取值范围是.14．数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值【解】（1）设数列，则，由，得，所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，所以，因此，解得，所以满足题意的最小正整数.05证明不等式恒成立15．设函数，（其中常数，），.无穷数列满足：首项．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列．【解】（1）任取，都有，因此函数是奇函数．（2）反证法：假设当时，数列是等差数列，公差为，由数列是严格增数列可知．因为，所以，即，为非零常数.因为，所以（其中是正整数）．因为，，所以．方程无解，矛盾．假设不成立，即当时，数列不是等差数列．16．已知数列的前n项和为，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，求证：．【解】（1）由，则（n≥2），两式左右分别相减得，即．得，则，，…，，，将以上个式子相乘得．上式对仍成立，所以．（2），∴．故命题得证．17．记为正项数列的前项和，已知.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求证：.【解】（1）当时，可得，当时，，.作差可得，因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以.（2）由题可得，所以，又，所以，又也满足上式，所以，18．已知数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)记，数列的前项和为，证明：.【解】（1）由，得，又，所以，所以，即是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，当时，.当时，也成立，所以的通项公式为；（3）由（2）得，所以，所以，显然是递增数列，所以.因为，所以，所以.1．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是．【答案】【解析】在等比数列中，，所以，，当时，，数列递增，所以当时，恒成立.2．已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是【答案】4【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，故为正整数，关于d单减，，则当时，故取得最小值为4，3．已知是首项为，公差为的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】由题可知：当和，该数列单调递减.若，则该数列在时，单调递减，不可能满足题意；若，要满足题意，只需：解得：.4．已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是.【答案】【解析】∵是递增的等比数列，且，，且，，∵是递增的等比数列，，同理，，即，即，，当时，有，由，得：，得：，矛盾，舍去；当时，有，由，得：，得：符合.故当时，单调增，取值为，，∴的取值范围为.5．已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由，，，，则，由函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以当时，取最小值的取值范围是.6．设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取，则有，因此数列是首项，公比的等比数列，则，而恒成立，于是，所以实数的取值范围为.7．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为.【答案】13【解析】由.当为奇数时，；当为偶数时，.所以当为奇数时，，由.当为偶数时，，由.又为偶数，所以综上可知：的最小值为13.8．已知数列满足：，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为当时，，，所以数列为首项为，公比为的等比数列，所以，所以不等式，可化为，当为正奇数时，，由已知，当为正偶数时，，由已知，所以的取值范围为，9．已知等比数列的公比为，是的前项和.则“数列单调递减”是“，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为是等比数列且公比为，可得若数列单调递减，则或，若可得，所以，或，由可得，即，所以或，所以由，可得，若，可得为单调递减函数，若是递减数列，则，或，所以充分性不成立必要性成立，所以“数列单调递减”是“，”的必要而不充分条件故选：B.10．已知数列满足，且．(1)证明：数列是等差数列；(2)求的通项公式；(3)设，数列的前项和为，证明：．【解】（1）证明：因为，所以，则，即，所以是以为首项，4为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以．（3）证明：因为．所以，因为，所以．11．已知数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由.【解】（1）当时，，当时，.又注意到，符合上式，则；（2）即判断是否成立，由（1）可得，，则，则当时，；时，.则在时，取最大值，则，因，则不存在正整数m，使得成立.12．已知函数.(1)当时，求的严格增区间;(2)若恒成立，求a的值；(3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.【解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，由，得，所以的严格增区间为.（2）函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，在上单调递增，当时，，不符合题意；当时，由，得，，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，，由恒成立，得恒成立，令，求导得，当时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，因此，所以.（3）由（2）知当时，，即，则恒成立，当且仅当时取等号，当，时，，因此，则，即，当时，，即当时，，所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立，则的最小值为3.13．已知数列满足，，数列满足，．(1)求证：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【解】（1）因为，，两边同时除以可得：，从而，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则；（2）由，，所以，则，所以，所以则，因为中的每一项，所以为递增数列，所以，因为，所以，即实数的取值范围为.14．已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)令，记为数列前n项和，若，求正整数n的最小值．【解】（1）由题设，所以，而，所以.（2）由题设，则，所以，显然在上递增，时，，时，，所以成立，正整数n的最小值为6.15．已知数列满足是正整数(1)求数列的通项公式；(2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围．【解】（1），时，．两式相减得，，又，，从而，所以等比数列，公比为，所以，；（2）由（1）知，，，，，当时，，，当时，，，即时，递减，所以的最大值是，对于任意正整数，都有，则，解得或，所以的取值范围是．16．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有.(1)求数列的通项公式；(2)若（n为正整数），求数列的前n项和；(3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.【解】（1）因为，则有：当时，则，解得；当时，则，两式相减得，整理得；且，可知数列是以首项，公比为的等比数列，所以，即.（2）由（1）可得：，所以，所以数列的前n项和.（3）由（1）可得：，令，即，解得，可得数列的最大项为，因为等式对任意正整数n都成立，即，可得，解得或，所以实数t的取值范围.17．设数列的前项和是，且满足.(1)求的值；(2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(3)若数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值.【解】（1），解得.（2），时，，两式作差得到，即，由于，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以.（3），由题意，，，所以时，，单调递增；时，，单调递减，，，由题意只需，即，所以整数的最小值为14.18．各项不为0的数列满足，且.(1)求证：数列为等差数列；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解】（1）因为各项不为0的数列满足，两边同时取倒数，可得，所以，，，解得.数列为等差数列，且公差为3，首项为.（2）由（1）可得，，对任意恒成立，对任意恒成立，令，当时，；当时，；当时，单调递增，,所以，实数的取值范围为.19．已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)记，若对任何正整数，都有成立，求实数的取值范围.【解】（1）由得，两式相减得，即得，又，即，所以数列是等比数列，且首项，公比.则；（2），由恒成立，得，令，当为偶数时，，当为奇数时，，因为为偶数时的值恒大于为奇数时的值，且为偶数，