2026年高考数学专题专练专题15 排列组合、概率统计与实际应用（原卷版）

专题15排列组合、概率统计与实际应用目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01排列组合题型02二项式定理题型03概率初步题型04统计估计题型05条件概率与相关公式题型06随机变量的分布与特征题型07常用分布题型08成对数据的相关分析题型09一元线性规划分析题型102×2列联表第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件2.小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（

）A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数3．在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为.现有下列两个结论：①；②.则下列说法正确的是（

）

A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①、②都正确 D．①、②都错误4.标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（

）.A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼5．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）.信号灯状态正常绿波协调非正常绿波协调道路施工临时黄灯突发事故临时红灯对应数字01现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有种.6.北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为.7.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为.01排列组合1．现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有种（用数字作答）.2．上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有种（结果用数字表示）．3．已知关于正整数的方程，则该方程的解为.4．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色;b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有种。5．有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有种.02二项式定理6．的二项展开式中常数项为．7．在的二项展开式中，项的系数为.8．已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中的系数为.9．已知，则．10．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为.03概率初步11．已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（

）A．事件与一定是对立事件 B．C． D．若事件A，B互相独立，则12．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是．13．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是.（结果用数值表示）14．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为．15．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为.04统计估计16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（

）A． B．C． D．17．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（

）A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差18．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为（以下摘自随机数表第7行）．39832776

39918535

32591131

40469235

04982212

2067126319．某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为．20．在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示，(1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数；(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率．05条件概率与相关公式21．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（

）A．； B．；C．； D．.22．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是．23．已知随机事件满足，，，则24．某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为25．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为．（精确到0.01）06随机变量的分布与特征26．已知随机变量的分布是，则其方差．27．已知随机变量的分布列为：，若，且，则.28．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表：123尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，．29．以下命题中正确的有（填序号）①若是常数，则；②若，则是常数；③如果是随机变量，，那么；④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则．07常用分布30．设随机变量服从二项分布，则.31．已知随机变量，，且，，则．32．已知随机变量，且等式对恒成立，则..(结果保留四位小数)(参考数据:，，33．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：）34．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为.08成对数据的相关分析35．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（

）

A． B． C． D．36．如题图所示，有组数据的散点图，去掉组数据后，剩下的4组数据的相关程度可能最高．37．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示:价格（百元）444.655.25.666.6710需求量（千克）3.532.72.42.521.51.21.21那么线性相关系数．（精确到）线性相关系数公式09一元线性规划分析38．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数39．已知两个线性相关变量的统计数据如表所示，则其回归方程是.1234530-2-4-540．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示:广告费万元万元4235销售额万元万元49263954根据上表建立线性回归方程，预测当广告费投入6万元时，销售额约为万元.41．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（

）x3456y56.27.4mA．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本C． D．拟合误差42．根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号．月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月月份代号12345利润／万元86.35.13.22.4(1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由；(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．参考：，，102×2列联表43．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．）44．如下是一个列联表，则.y1y2总计x1a3545x27bn总计m73s45．某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个.(1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数）服务评分8.599.510订单数量3213114求这100个好评订单的第40百分位数.(2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关.好评订单非好评订单合计服务改进前1000服务改进后13501500合计附：，.46．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表：喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计女生10男生5总计50已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6.(1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；(2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值.附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.8281．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（

）A．与 B．与 C．与 D．与2．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（

）A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）3．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（

）A． B．C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则4．下列选项中，正确的是（

）A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是C．若事件、满足，且，则与相互独立D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为85．在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有个．6．已知随机变量服从正态分布，且，则.7．设随机变量服从正态分布，则的最小值为．8．已知随机变量，若，则.9．已知，则10．某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是11．已知事件与事件相互独立，若，则.12．已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有种.13．已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：x12345y4a9b11其回归方程为，则.14．已知随机变量，其密度函数为，则.15．已知两个随机事件，若，，，则.16．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（

）A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题17．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（

）①新的样本中心仍为；②新的样本中心为；③两个数值变量具有正相关关系；④.A．0 B．1 C．2 D．318．抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则．（结果用最简分数表示）19．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有人0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考数据及公式如下：参考公式：，其中.20．假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是．（精确到0.0001）21．若随机变量，且，，则的最小值为22．的展开式中含项的系数是．23．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．

24．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为.(附:相关系数25．班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.

(1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数；(2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示“人中至多名男生”，事件表示“人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由；(3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由．26．核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个．(1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？(2)小何以随机抽样的方