数学物理方法7数学物理方程的定解问题

想要探索自然界的奥秘就得解微分方程第二篇数学物理方程参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方程》（原书第四版），机械工业出版社，2026/3/61第1页第七章数学物理方程的定解问题在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。———拉普拉斯2026/3/62第2页一、数学物理方程(泛定方程):物理规律数学表示

物理现象物理量u

在空间和时间中改变规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取值之间联络。数学语言描述泛定方程反应是同一类物理现象共性，和详细条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出函数方程，尤其是偏微分方程和积分方程。重点讨论：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反应是力学现象普遍规律，跟详细条件无关。2026/3/63第3页三类经典数学物理方程三类经典数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程2026/3/64第4页51边界问题---边界条件表达边界状态数学方程称为边界条件2历史问题----初始条件表达历史状态数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不一样初始条件→不一样运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题

在给定边界条件和初始条件下，依据已知物理规律，在给定区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解条件：边界条件和初始条件总体。它反应了问题特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件方程称为泛定方程。它反应了问题共性。二、定解条件2026/3/6第5页6详细问题求解普通过程：1、依据系统内在规律列出泛定方程——客观规律．2、依据已知系统边界情况和初始情况列出边界条件和初始条件——求解所必须已知条件．3、求解方法——行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法2026/3/6第6页7.1数学模型（泛定方程）建立建模步骤：（1）明确要研究物理量是什么？从所研究系统中划出任一微元，分析邻近部分与它相互作用。（2）研究物理量遵照哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。2026/3/67第7页

(一）均匀弦横振动方程

现象描述（如图）

：沿x轴绷紧均匀柔软细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小横向振动

目标：建立与细弦上各点振动规律对应方程

设定:

(1)弦不振动时静止于x轴;

(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上横向位移（偏离）情况弦横振动2026/3/68第8页

选取不包含端点一微元[x,x+dx]弧B段作为研究对象.研究对象:(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：假设与近似：(1)弦是柔软(不抵抗弯曲),张力沿弦切线方向(2)振幅极小,

张力与水平方向夹角

1和

2

很小，仅考虑

1和

2一阶小量，略去二阶小量(3)弦重量与张力相比很小，能够忽略质量线密度

，u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxFB2026/3/69第9页B段弦原长近似为dx.振动拉伸后：u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxBFB段质量：弦长dx

，质量线密度

，则B段质量

m=

dx物理规律：用牛顿运动定律分析B段弦受力及运动状态：牛顿运动定律：2026/3/610第10页①沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点张力相等u(x)u+duu0

1

2T2T1xx+dxBF（1）（2）2026/3/611第11页波动方程：波速a受迫振动方程单位质量弦所受外力，线力密度令………一维波动方程2026/3/612第12页………一维波动方程------非齐次方程------齐次方程忽略重力和外力作用：如考虑弦重量：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF沿x-方向，不出现平移沿垂直于x-轴方向（1）（2）因为：所以有：讨论：2026/3/613第13页（二）输动问题--扩散问题扩散现象：系统浓度

不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移现象，称之为扩散。①扩散定律即裴克定律：这是一条试验定律数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)方程

物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积粒子数与流出这一体积粒子数之差等于此体积内单位时间内粒子数增加量处理方法：在浓度不均匀无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度改变规律。

2026/3/614第14页浓度不均匀:用浓度梯度

表示；扩散流强弱（强度）：用单位时间经过单位面积物质量表示；扩散（裴克）试验定律：扩散系数设定：处理方法：在浓度不均匀无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度改变规律。

扩散流强度与浓度梯度间关系：采取裴克试验定律确定体元Ｖ内粒子数：2026/3/615第15页考查沿x-方向扩散流情况：单位时间沿x-方向净流入量同理沿y和沿z方向净流入量由粒子数守恒定律，有负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反单位时间内向V净流入量下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数改变规律。单位时间内V内粒子数增加量2026/3/616第16页假如扩散是均匀,即D是一常数，则能够令D=a2，则有代入扩散定律三维扩散方程

假如所研究空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为假如所研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为讨论：2026/3/617第17页密度场：密度在空间分布组成一个标量场。有扩散源时系统密度场满足非齐次扩散方程稳定状态：密度u不随时间改变，则泊松方程无扩散源：

F=0拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:稳定场问题2026/3/618第18页例1

热传导所要研究物理量：温度物理规律：采取傅里叶试验定律热传导现象：当导热介质中各点温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。数学建模：傅里叶定律：温度不均匀:用温度梯度表示；传热强弱即热流强度：用单位时间内经过单位面积热量表示；设定：沿曲面法向流出热量：热传导系数2026/3/619第19页②有限时间内即时刻t1到t2经过闭曲面S流入V热量为

高斯公式（矢量散度体积分等于该矢量对包围该体积面积分）热场处理方法：在温度不均匀无源空间，划出任一封闭曲面S包围体积元V（如图）。①在S

上选取任一足够小微面元dS，在此面元范围内热流强度近似为常量。

那么在dt时间内从dS流入V热量为(向为正)：2026/3/620第20页③流入热量造成V内温度发生改变

流入热量：

④温度发生改变需要热量(c比热容，ρ质量密度)：热传导方程热场假如物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程总结：热传导：热量传递；扩散：粒子运动，两者本质不一样，但满足同一微分方程2026/3/621第21页例2

静电场电势问题。介质方程:其中:高斯定理:环路定理:

物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质方程。数学建模：建立电势u(x,y,z)与电荷密度ρ(x,y,z)关系。由电场高斯定理

物理问题：在介电常数为ε介质空间，存在电荷分布ρ(x,y,z)⇒激发电场⇒形成电势分布u(x,y,z)。2026/3/622第22页若空间无电荷，即电荷密度，上式成为称这个方程为拉普拉斯方程.由电场环路定理，可知静电场是一个保守场.由保守场性质，引入电势u,且电场是电势梯度负值，即：深入对电场取散度，有：泊松方程设电势为:u(x,y,z)。2026/3/623第23页§7.13.4.本讲作业2026/3/624第24页7.2定解条件

数学物理方程定解

在给定边界条件和初始条件下，依据已知物理规律，在给定区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。1数学物理方程：不带有边界和初始条件方程称为泛定方程。它反应了问题共性。2定解条件：边界条件和初始条件总体。它反应了问题特殊性，即个性。2026/3/625第25页初始时刻温度分布：B、热传导方程初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程初始条件A、波动方程初始条件——描述系统初始状态系统各点初位移系统各点初速度（一）初始条件波动方程含有时间二阶导数，所以需二个初始条件热传导方程含有时间一阶导数，所以需一个初始条件这类导方程不含时间导数，所以不需要有初始条件2026/3/626第26页和

是空间坐标函数注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量分布，而不是某一位置处情况。例１：一根长为l弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h

，如图所表示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

l

x

l/2h解：初始时刻就是放手那一瞬间，弦形状如图所表示,且弦处于静止状态，即有方程初始位移··初始速度2026/3/627第27页（二）边界条件定义：系统物理量在边界上含有情况。

A.第一类（狄利克雷）边界条件给出未知函数在边界上函数值。例2：两端固定弦振动时边界条件：和常见线性边界条件分为三类：2026/3/628第28页例3：细杆热传导细杆在x=l端温度随时间改变,设温度改变规律为f(t),边界数理方程细杆x=l端温度处于恒温状态,边界数理方程第一类边界条件基本形式：2026/3/629第29页B.第二类（诺伊曼）边界条件例4：细杆热传导我们用傅里叶(热传导)定律来建立边界数学物理方程.

傅里叶试验定律:单位时间内,经过单位面积热流为

给出未知函数在边界上法线方向导数之值。第二类边界条件基本形式：细杆x=a端点绝热边界条件：设细杆沿x轴方向,则一维傅里叶试验定律改写为其中u是所在位置处物体k是传热系数。细杆x=a端点有热流kf(t)流出边界条件：2026/3/630第30页（3）.第三类（混合）边界条件１牛顿冷却定律：单位时间内，经过物体单位表面流入周围介质热流（即流出热流）为式中u是物体表面温度，

是周围介质温度，h是热交换系数。在一维情况下，牛顿冷却定律简化为２一维傅里叶试验定律先引入两个基本物理定律：2026/3/631第31页例5：写出导热细杆l端“自由”冷却边界条件。依据热传导定律，在

x=l

处：负x方向正x方向在x=0处：流出热流强度由牛顿冷却定律，此流出热量与细杆和外界温度差成正比，即即：讨论：如图情况x2026/3/632第32页例6：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：弹性力：则在端点这些是最常见线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件

系统中可能出现物理性质急剧改变点(跃变点)。如两节含有不一样杨氏模量细杆在

x=0

处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边物理过程所以不一样。但在跃变点，一些物理量依然能够是连续，这就组成衔接条件。第三类边界条件基本形式：2026/3/633第33页这两个等式就是组成两段衔接是衔接条件。②折点处，横向力应与张力平衡：即

1

2①折点处位移极限值相同。弦在折点x0左右斜率不一样。即斜率有跃变，则uxx在折点x0不存在，也即此点处弦振动方程不成立。只能把弦以x0为界分为二段。例7横向力F(t)集中作用于弦上x0点,使x0点成为折点（如图）。但二段是同一根弦，它们间相互关连。所以要建立此关系：2026/3/634第34页例8

长为l弦在x=0端固定，另一端

x=l自由，且在初始时刻t=0时处于水平状态，初始速度为x(l-x)，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.[解]（1）确定泛定方程：取弦水平位置为轴，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程(2)确定边界条件

对于弦固定端，显然有u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0

另一端自由，意味着弦张力为零．则2026/3/635第35页(3)确定初始条件依据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零

初始速度

综上讨论，故定解问题为2026/3/636第36页例9

在均匀静电场E0

中置入半径为R0

导体球，若导体

球接有稳恒电池，使球与地保持电势差u0

。试写出电势u满足泛定方程与定解条件。

解：选z轴沿均匀外电场E0方向，见图1。

0z(a)0Z(b)（图1）2026/3/637第37页

设球内外电势分别用u0、u1

表示。（1）泛定方程。因为除球面上(R=R0)

有自由电荷分布外，球内外ρf=0

，故（2）定解条件

给出球面与无限远最势满足规律。

球面处：球面上电势连续，即有边界条件

0z(a)0Z(b)（图1）2026/3/638第38页

现在计算上式从

Ｒ＝０到∞

积分。因为在静电场中，上式积分与积分路线无关，故可取积分路线l为直线，如图(1)所表示。将E０cosθ作为常数提出积分号外，并将u(R0)=u0

代入，便有边界条件

无限远处：能够把导体表面有限电荷分布产生电势和电势u0看成点电荷和点电势源,因为点电荷在无限远处贡献能够忽略不计，故可把当前问题简化为点电势在空间分布问题。对于点电势，伴随离开点势源距离l增加,电势是降低,由图(1)可得2026/3/639第39页§7.21.3.5.7本讲作业2026/3/640第40页(一)线性二阶偏微分方程(1)

偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数方程，如其中是未知多元函数，而

是未知变量；为偏导数.有时为了书写方便，通常记7.3数学物理方程分类*2026/3/641第41页(2)方程阶偏微分方程中未知函数偏导数最高阶数称为方程阶．(3)方程次数偏微分方程中最高阶偏导数幂次数称为偏微分方程次数．(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数全部（组合）偏导数幂次数都是一次，就称为线性方程，高于一次以上方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，假如仅对方程中全部最高阶偏导数是线性，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数项称为自由项．2026/3/642第42页（7）方程通解如：二阶线性非齐次偏微分方程通解为其中是两个独立任意函数．若函数详细形式给定，则得到方程特解。（8）方程特解方程解含有任意元素（即任意常数或任意函数）2026/3/643第43页1.二阶线性偏微分方程普通形式a11,a12,a22,b1,b2,c,f

只是x,y

函数。f0

方程为齐次;不然,为非齐次.叠加原理定解问题解能够看作几个部分线性叠加，只要这些部分各自所满足泛定方程和定解条件对应线性叠加恰好是原来泛定方程和定解条件。泛定方程、定解条件都是线性(二)二阶线性偏微分方程分类2026/3/644第44页2.二阶偏微分方程化简作变换：为使变换非奇异，其雅克比行列式满足变换运算有即2026/3/645第45页采取新变量后方程其中2026/3/646第46页注意A11和A22形式相同，ξ和η用z表示，假如则有（或）注意到二阶线性偏微分方程特征方程特征方程根为：经过求解此微分方程能够得到变换函数（特征线），从而线性偏微分方程得以简化。2026/3/647第47页定义：1.当判别式以求得两个实函数解

时，从特征方程可也就是说，偏微分方程(1)有两条实特征线．于是取方程可化为：作为新自变量，此时有：2026/3/648第48页或者深入作变换于是有所以又能够深入将方程化为形式．我们前面建立波动方程就属于这类型．

这种类型方程称为双曲型方程，是双曲型方程标准2026/3/649第49页2．当判别式时：这时方程重根特征线为一条实特征线作变换任意选取另一个变换，只要它和彼此独立，即雅可比式2026/3/650第50页方程可化为：

这类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．2026/3/651第51页3.当判别式面讨论，只不过得到时：能够重复上和是一对共轭复函数，或者说，两条特征线是一对共轭复函数族:是一对共轭复变量．深入引进两个新实变量于是2026/3/652第52页所以

方程深入化为这种类型方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都属于这种类型．2026/3/653第53页小结：

=a212

－a11a22判别式>0双曲型

=0抛物线型

<0椭圆型波动方程（一维）例热传导方程（一维）拉普拉斯方程（二维）稳定场方程波动方程热传导方程2026/3/654第54页

例9

判断下面方程类型

解（1）因为判别式故方程为双曲型故方程为椭圆型(1)(2)（2）因为判别式2026/3/655第55页7.4达朗贝尔公式行波解这是一个类似于常微分方程方程求解方法，这种方法解波动方程基本思想是：先求出偏微分方程通解，然后用定解条件确定特解。

关键步骤：经过变量变换，将波动方程化为便于积分齐次二阶偏微分方程。（一）达朗贝尔公式思绪：2026/3/656第56页引入新变量：采取复合导数求导法类似地即：2026/3/657第57页(1)通解对积分：积分常数依赖于再积分：f2(x-at)

是以速度

a

沿

x

轴正方向运动行波,f1(x+at)是以速度

a

沿

x

轴反方向运动行波。2026/3/658第58页确定待定函数形式无限长，即无边界条件设初始条件为和(2)达朗贝尔公式2026/3/659第59页设初速度为零由达朗