函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（解析版）

曲线在y=ex-2在点(x1,ex-2)处的切线方程为y-ex-2=ex-2(x-x1)，即y=ex-2x+(1-x1)ex-2，曲线y=lnx在点(x2,lnx2)处的切线方程为y-lnx代入得y=x-1或y=x.2.(恒成立问题)已知不等式aex≤sinx在区间上恒成立，则实数a的取值范围为()B.-∞,2C.-∞,2B.-∞,2C.-∞,2D.-∞,3e-4e-3e-4| |值即可.上恒成立. 上恒成立. |设f(x(= 22sinx-x设f(x(= 22sinx-x=--2=sinx-π=-sinx-cosxx4x.,∴-2 sin,∴-2 sinx-x(≤0在区间 ||3∴函数f(x(在区间|322e-3e-3e-3|..3A.ln(2b-a+1(<0B.ln(2b-a+1(>0C.ln|a-2b|>0D.ln|a-2b|<0易知函数y=2x与y=log2x在(0,+∞(上均 ->0-lnb=-ln=ln=ln(1+，-lnc=-lne-=．令f(x(=ln(x+1(-x，其中x>-1，则f,(x,(x(<0．所以f(x(在(-1,0(上单调递增，在(0,+∞(上单调递减．因为f(x(在(0,+∞(上单调递减，且>0，所以f<f(0(=0，所以ln<，即-lnb<-lnc，5.(隐零点问题)(2025·江苏镇江二模节选)已知函数f(x(=xlnx-mx(其中m∈R)，当xf(x(+2x+m=xlnx-mx+m+2x≥0可化为m(x-1(≤xlnx+2x，可得g,(x，令h(x(=x-lnx-3，x∈(1,+∞(，则h,(x>0在(1,+∞(上恒成立，22,(x(<0，g(x(单调递减；,(x(>0，g(x(单调递增；6.(以函数与导数为载体的创新题)已知函数y=f(x(在闭区间[a,b[上连续，在开区间f(b(-f(a(=f,(x0((b-a(，其中x=x0称为函A.0B.1C.2D.3x0(=f(1(-f(-1(，即可得出结论.由题意可得2f/(x0(=f(1(-f(-1(=-2，可得f/(x0(=3x-2=-1，解得x0=±,0A.三条B.二条C.一条D.0条【解析】设公切线与f(x(和g(x(分别相切于点(m,f(m((,(n,f(n((,f/(x(=2x-4，g/(x(=-x-2,g/(n(f(x(=8x3-8x2f<0A.-34B.-14C.-4D.14 A.0B.2C.D.A.sinα=sinβB.tanα+tx与y=lnx-lna互为反函数，x同理可得y=lnx的斜率为2的切线方程为y=2x-ln2-1，故曲线y=lnx-lna的斜率为2的切线方程为y=2x-ln2-1-lna，令f，则fl(x易知f(x(在(0,1(单调递减，在(1,+∞(上单调递增，13.已知函数f(x(=ex-e-x-2sinx，若f(aex(+f(1-x(>0恒成立，则a的取值范围是()A.B.C.D.解.【详解】因为f(-x(=e-x-ex-2sin(-x(=-f(x(，所以f(x(为R上的奇函数．所以f(x(在R上单调递增.又f(aex(+f(1-x(>0恒成立，所以f(aex(>f(x-1(，则aex>x-1， ,(x(>0，g(x(单调递增；AB.,+∞(C.,+∞(D.[e,+∞)数最值即可.令g(x(=xex+x(x>0(，g,(x(=(x+1(ex+1>0，∴a≥max，令h(x(=(x>0(，x∈(e,+∞(时，h,(x(<0，h(x(单调递减，A.(-∞,1[B.(-∞,2-2ln2[C.(-∞,2ln2[D.(-∞,2+2ln2[f(t(=et-2t,t∈-,+∞(，求导f,(t(=et-2，f(t(单调性，当x>0时，ex.lnx-2xlnx≥a恒成立，求,(x(<0,g(x(单调递减；,(x(>0,g(x(单调递增，所以g(x)min=ln=-，又x→+∞,g(x(→+∞,所以g(x(的值域为-,+∞(，令f(t(=et-2t,t，则f,(t(=et-2，当t∈(ln2,+∞(时，f,(t(>0，f(t(单调递增，所以f(t(min=f(ln2(=eln2-2ln2=2-2ln2，所以(exlnx-2xlnx(min=2-2ln2，x.lnx-2xlnx≥a恒成立，所以(exlnx-2xlnx(min≥a，故实数a的取值范围为(-∞,2-2ln2[．A.BC.[e,+∞(D.[2e,+∞(2mx≥lnx，,(x(>0，g(x(单调递增， ,(x(>0，h(x(单调递增；,(x(<0，h(x(单调递减，A.eB.1C.e-1D.e2x-lna≥lna+lnx⇒ex-lna-lna≥lnx⇒ex-lna+x-lna≥x+lnx x-lna+x-lna≥elnx+lnx.令f(x(=ex+x，则易知f(x(在R上单调递增，f(x-lna(≥f(lnx(⇒x-lna≥lnx⇒x-lnx≥lna，令g(x(=x-lnx，问题转化为求g(x(=x-lnx在[1,2[的最小值.A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>bm=m-11m-9m>9，得m>1.设f(x)=xm-x-1，x>1，则当m>1时，f'(x)=mxm-1-1>x1-1-1=0，A.ey-x>1B.ey-x<1C.ey-x-1>1D.ey-x-1<1又y-x-1无法确定与0的关系，故C、D不正确.f/(x(<0，故函数f(x(在(1,e(上单调递增，在(e,+∞(上单调递减，则f(3(>f(4(，即c>b，23.(24-25高三下·安徽·月考)已知函数f(x(=xex-2+a,g(x(=x+lnx，若f(x(与g(x(的图象有两个A.(-∞,1[B.(-∞,0[C.(-∞,0(D.(-∞,1(即a-2=x+lnx-xex在(0,+∞)上有两个实根，所以y=a-2与h(x)=x+lnx-xex在(0,+∞)上有两个交点，=--(x+2)ex<0，0=-lnx0，且h(x0)=x0+lnx0-x0ex0=-lnx0+lnx0-x0.=-1， ()A.(e,+∞(B.(1,e(C.(2e,+∞(D.(e,2e(af(x(有最小值，而f(x(=axlna-ex=x，2<25.(24-25高三上·辽宁·期中)已知函数f(x(=ax2-(2a-1(x+a-1-xlnx，若f(x(≥0在区间(1,+∞(答案.【详解】解：因为f(x(=ax2-(2a-1(x+a-1-xlnx,x>0，所以f/(x(=2ax-(2a-1(-lnx-1=2a(x-1)-lnx，x(<0，f(x(在(1,+∞(上单调递减，令g(x)=f/(x)=2a(x-1)-lnx,x>1，,(x)≥0在(1,+∞(上恒成立，所以g(x)，即f,(x)在(1,+∞(上单调递增，所以f,(x)>f,(1)=0，所以f(x)在(1,+∞(上单调递增，,,,,又因为f,(1)=0，时，f,时，f,φ(x)=x3,(x)=lnx-(x>0(为单调递增函数，(3)=-1<0， 27.设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f,(x)，f,(x)在区间D上的导函数为g(x)，若在区间D上，g(x)A.4B.3C.2D.1【分析】利用题意得到g(x)=x2-mx-3，则可转化成-2≤m≤2时，关于设f,(x)在区间(a,b)上的导函数为g(x)，g(x)=x2-mx-3，当|m|≤2时，g(x)=x2-mx-3<0恒成立等价于|m|≤2即-2≤m≤2时，关于m的一次函数h(m)=x2-mx-3<0恒成立，,e2[时，f,(x(<0；∴f(x(max=f(e(=+m，又f=-2e2+m，f(e2(=+m，∴f(x(min=-2e2+m，x>0x<0x>0x<0A.(-,0(B.(0,+∞)C.-,1(D.(-2,0)【详解】设P(x,y)是函数f(x)=x3-x(x<0)的图象关于原点对称的图象上任意一点，则Q(-x,-y)在函数f(x)=x3-x(x<0)的图象上，所以-y=(-x)3-(-x)，即y=x3-x，所以φ(x)=x3-x-2x-3a=x3-3x-3a(x>0)有两个零点．x)=3x2-3A.3B.0C.2D.1I似看作函数y=e-x-,y=ln-x(的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为() A.且y=e-x-、y=ln-x(相切的切点坐标可得答案.-x-与y=ln-x(的图象关于直线y=-x对称，设与直线y=-x平行，且y=e-x相切的直线方程为y=-x+m，切点为A(x1,y1(，(-,.则f/(x(==>0，故f(x)在(-33.已知函数f(x(=(x-b((ex-a((a>0(，若f(x(≥0，则的最大值为()A.e-2B.e-1C.eD.e2则函数y=x-b和y=ex-a的零点相同，34.若函数f(x(=|ex-a|-alnx≥0，则实数a的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,e)C.[0,e]D.[0,+∞)范围即可.x-a-alnx，显然在(0,+∞(上是增函数，-a|-alnx≥0恒成立，-a|-alnx≥0恒成立． 则f,(x)=ex->f,(1)-e-a≥0，故函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，A.-1B.0C.1D.2而不等式(ex-a([ln(x+1)-b]≥0恒成立，x-a,y=ln(x+1)-b有公共零点，设为x0,x故a-b=ex-ln(x0+1(,(x0>-1(，令f(x(=ex-ln(x+1(,(x>-1(，则f,(x(=ex-，f,(0(=1，由于y=ex,y=-在(-1,+∞)故f,(x(=ex-在(-1,+∞)上单调递增，时，f,(x(>0；故f(x(在(-1,0(上单调递减，在(0,+∞(上单调递增，令f(x(=ex-x，则f(a(>f(lnb(.因为f(x(=ex-x，求导得f,(x(=ex-1，易得f(x(在(-∞,0(上递减，在(0,+∞(上递增，[0,+∞(>e(1-a)，-+(1-a)-2-(e-1)a.D.4 设切点为(x0,f(x0((，切线方程为y=f/(x0((x-x0(+f(x0(，将原点代入切线方程可得0=f/(x0((0-x0(+f(x0(，[(-x0(+2x0sin(2x0(=0，0=|f(x1(-f(x2(|>|g(x1(-g(x2(|恒成立，则实数m的取值范围是()A.[-1,2-2ln2[B.[-e2-4,1[C.[-1,e-2[D.[-1,1[【分析】由f(x)单调性及|g(x1(-g(x2(|<f(x2(-f(x1(推出f(x1(-f(x2(<g(x1(-g(x2(<f(x2(-f(x1(.<x2，因为f(x(=ex在R上单调递增，所以|g(x1(-g(x2(|<f(x2(-f(x1(，(f所以f(x1(-f(x2(<g(x1(-g(x2(<f(x2(-f(x1(，所以{L(f(x1(-g(x1(<f(x2(-g(x2(,(x1(+g(x1(<f(x2(+g(x2(,令F(x(=f(x(-g(x(=ex+x2+mx，则F(x(在区间[0,1[内单调递增，所以F/(x(=ex+2x+m≥0，令G(x(=f(x(+g(x(=ex-x2-mx，则G(x(在区间[0,1[内单调递增，所以G/(x(=ex-2x-m≥x-2x，f(x(无零点；,(x(=ex-a>0对任意的x∈R恒成立，函数f(x(在R上单调递增，,(x(=ex-a=0可得x=lna，由f,(x(<0可得x<lna，由f,(x(>0可得x>lna，所以函数f(x(的单调减区间为(-∞,lna(，单调增区间为(lna,+∞(，所以f(x)min=f(lna(=elna-alna=a(1-lna(，因为函数f(x(=ex-ax不存在零点，f,(x(的实数根x叫做函数设m(x(=lnx-,x>0，则m,(x所以m(x)在(0,+∞(单调递增，又m(1)=-1<m(e(=1->0，()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<c作出函数f(x)的大致图象如图所示. A.B.1