2026年高考数学二轮复习：专题4.1 导数与函数单调性、极值及最值常考类型全归纳（重难专练）（原卷版）

15/20专题4.1导数与函数单调性、极值及最值常考类型全归纳内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：聚焦含参函数核心，题型以分式、指数对数复合型为主，强调定义域优先原则，重点检验导数求导准确性与符号判断能力，易错点集中在复合函数求导、临界点遗漏。分类讨论为高频考点，多按参数对临界点位置的影响分层设问，覆盖导后一次、二次及类二次型场景。应对需规范“求导整理-找临界点-分类讨论”流程，专题突破区间单调性、不单调等题型，复盘真题错题以固化解题思路，适配命题核心要求。预测2026年：命题弱化复杂运算，强化逻辑推理与数形结合，注重导函数与原函数图像关联分析。跨知识点融合加深，常与不等式、极值、数列等结合命题，考查模型构建能力。考向01函数与导函数图象关系问题这类题核心就抓两点：符号定趋势，零点定极值。首先看导函数的正负，导数为正，原函数必增；导数为负，原函数必减。其次看导函数的零点，若该点两侧导数符号由正变负，则原函数在此取极大值；若由负变正，则取极小值。此外，导函数值的大小反映原函数图象的陡峭程度，导数值越大，图象越陡。解题时，先分析导函数图象的正负区间和零点特征，再对应推断原函数的升降趋势和极值点，从而选出正确图象。【经典例题】1．(2026·黑龙江齐齐哈尔·二模)已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（

）A．B．C．D．2．(2026·山东济南·模拟)已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上单调递减【变式训练】1．若函数的导函数是开口向上的二次函数，且满足，则函数的减区间可能是（

）A． B． C． D．2．(2025·陕西宝鸡·模拟)已知函数的图象如图所示，则（

）A．B．C．D．3．(2026·山东·模拟)函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则（

）

A．的解集是B．C．时，取得最大值D．解集是4．(2025·海南·模拟)在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（

）A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1考向02知函数单调区间求参此类问题需厘清“单调区间”与“在区间上单调”的区别。解题关键：先求导，根据导函数零点与原函数单调区间的对应关系，确定参数。若已知单调区间为，则通常是的根，且在该区间内外导数符号相反。通过列方程组求解参数，并代入验证是否满足单调性要求。核心是利用导函数的零点定理与符号变化法则。【经典例题】1．已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．2．函数（）的减区间为，则实数的值为（

）A．2 B． C．1 D．4【变式训练】1．(2026·吉林松原·模拟)若函数的减区间为，则的值为（

）A．3 B．1 C． D．2．(2026·湖北孝感·模拟)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则．3．若函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减．(1)求函数的解析式；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．考向03知函数在区间上的单调性求参此类问题关键在于转化与化归。核心技巧是将“函数在区间上单调”转化为“导数在该区间上恒非负或恒非正”。若已知增区间，令导数≥0恒成立；若已知减区间，令导数≤0恒成立。接着通过分离参数法或讨论导函数最值来求解。特别注意端点值的检验，确保等号成立时函数仍保持单调性。【经典例题】1．(2026·四川泸州·一模)若函数在单调递减，则的取值范围是（

）A．B．C．D．2．(2026·江西抚州·一模)函数在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．(2023·陕西西安·三模)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2025·陕西·模拟)已知函数是上的增函数，则（

）A． B． C． D．3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2026·福建漳州·三模)已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是减函数，求的取值范围；(3)当时，，求的最大值；考向04知函数在区间上不单调求参这类问题的解题核心在于“转化与化归”。函数在某区间上不单调，等价于其导函数在该区间内存在变号零点，即函数在该区间内存在极值点。解题时，通常将问题转化为导函数方程在该区间内有实根，且根两侧导数符号相反。常用方法有两种：一是直接求解导函数的零点，并使其落在给定区间内；二是利用零点存在性定理，结合导函数的图象，分析其在区间端点的函数值异号，进而求解参数范围。此过程常需分类讨论，注意数形结合思想的应用。【经典例题】1．(2025·江苏苏州·三模)若在上不单调，则实数的取值范围是．2．(2023·宁夏·三模)若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A．B．C．D．m>13．(2024·山东济南·模拟)已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【变式训练】1．(2026·陕西西安·模拟)若函数在上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2025·河北·模拟)已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2025·福建三明·模拟)已知函数．(1)当时，求证：单调递增；(2)若在上不单调，求的取值范围；(3)当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：）考向05知函数存在单调区间求参此类问题本质是“有解”问题。解题核心是将“存在单调区间”转化为“导数在该区间上能取到特定符号”，即不等式有解。若存在增区间，则在区间内有解，转化为导函数最大值大于0；若存在减区间，则有解，转化为导函数最小值小于0。求解时，常通过分离参数转化为求最值，或直接分析导函数图象与x轴有交点且在某处取相应符号，注意与“恒成立”问题区分。【经典例题】1．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为．2．(2024·福建泉州·模拟)若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知函数，，．(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．3．已知函数，，．(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．考向06求函数的极值及最值求极值抓“导数变号”：先求导，解f'(x)=0的根，再列表判断根左右导数符号是否变化，由正变负为极大值，由负变正为极小值。求最值则在闭区间[a,b]上进行：先求出区间内所有极值，再计算端点值f(a)、f(b)，比较所有极值与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值。注意：最值必在极值点或端点处取得。【经典例题】1．(2025·四川·模拟)函数的极小值是.2．(2026·河南开封·模拟)已知函数，且曲线在点处的切线斜率为．(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．【变式训练】1．(2026·河南·模拟)函数的极小值为（

）A． B． C． D．72．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为．3．(2026·四川·模拟)已知函数在处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)当时，求函数的极值．4．(2026·新疆·模拟)已知函数.(1)若，求在上的最大值与最小值；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.考向07由函数极值（或极值点）求参此类问题需紧扣极值存在的充要条件。已知极值点x₀，必有f'(x₀)=0，代入导函数方程可求参数值，但需验证该点两侧导数符号是否变号，以确认其为极值点。若已知极值（函数值），则需联立f(x₀)=极值与f'(x₀)=0构建方程组求解。对于含参函数存在极值点的问题，转化为导函数变号零点问题，常需结合判别式、分离参数或分类讨论，确保导函数图象穿过x轴。【经典例题】1．(2025·江苏徐州·模拟)若函数在处取得极小值，则a的值为．2．(2025·吉林长春·一模)已知函数的极大值为，则（

）A． B． C． D．3．(2026·江苏南通·调研)若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．4．(2026·陕西榆林·模拟)已知函数的极小值大于0，则的取值范围为.【变式训练】1．(2025·浙江桐乡·模拟)已知函数的极小值是，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2026·江苏丹阳·模拟)若函数在上有极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2025·重庆·模拟)已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数（且），当时，.(1)求；(2)若为的极小值，求的取值范围.5．(2026·四川绵阳·模拟)已知函数（，a为常数）(1)若，求的单调区间；(2)若是的极大值点，求a的取值范围考向08知函数极值个数求参此类问题本质是求解导函数变号零点的个数。解题核心是转化与数形结合。首先将原函数极值点个数转化为导函数f'(x)=0的变号零点个数。接着通过分离参数，化为a=g(x)的形式，利用导数研究新函数g(x)的单调性与极值，画出草图。最后根据图象交点个数确定参数范围，注意端点值和渐近线的分析，确保零点为变号零点而非重根。【经典例题】1．(2025·陕西咸阳·模拟)已知函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为.2．(2026·陕西榆林·模拟)函数在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是．【变式训练】1．(2026·甘肃·模拟)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为.2．(2026·四川乐山·模拟)已知曲线在点处的切线方程是．(1)求，的值；(2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围．3．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上只有一个极值，且该极值小于，求实数的取值范围.考向09由函数最值求参由函数最值求参数，本质是逆向思维问题。解题关键在于抓住最值取得的位置，列方程求解。首先求导，分析函数在区间内的单调性，确定最值点（可能在极值点或区间端点）。然后根据题目给定的最值，建立关于参数的方程（或方程组）。若含参需分类讨论，通过最值条件解出参数后，务必验证其是否符合该分类的条件，确保解的合理性。【经典例题】1．(2025·四川乐山·模拟)已知函数的最小值为0，则（

）A． B． C． D．2．(2026·河北唐山·模拟)已知函数的值域为，实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2025·重庆·模拟)函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．(2025·江苏扬州·模拟)若函数的最小值为2，则实数a的值是.2．(2025·上海·模拟)已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为.3．(2025·四川德阳·模拟)任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．4．(2026·四川德阳·模拟)已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.(1)求；(2)若的最小值是2，求.5．(2025·福建·模拟)已知函数.(1)求函数的极值点；(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.6．(2025·河北·模拟)已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.7．(2025·四川绵阳·模拟)已知函数.(1)若时，求曲线在处的切线方程；(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.考向10导函数为一次型的函数单调性问题导函数为一次型，说明原函数通常为二次或指数/对数型。解题核心是分析一次函数（直线）的图象。首先确定导函数的零点（令f'(x)=0），该点即为原函数单调性的分界点。若导函数斜率大于0，则导函数由负变正，原函数先减后增；若斜率小于0，则原函数先增后减。特别注意定义域限制，如对数函数需保证真数大于0，单调区间必须在定义域内讨论。【经典例题】1．已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的值．2．(2026·陕西西安·模拟)已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．【变式训练】1．(2024·江西·模拟)已知函数，其中(1)若，求函数的增区间；(2)若在上的最大值为0．求a的取值范围．2．(2026·广东肇庆·模拟)已知a，，，(1)当时，讨论的单调性；(2)设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b．3．(2026·云南·模拟)已知函数.(1)为的导数，讨论的单调性；(2)若函数在定义域内有两个极值点，，.（i）求的取值范围；（ii）证明：.考向11导函数为准一次型的函数单调性问题导函数为准一次型时，先整理为标准形式。令导数为0，求出对应参数条件。根据题目要求，分参数讨论单调性：若导数系数为正，参数小于该值时函数单调递减，大于时单调递增；若系数为负，则单调性相反。注意结合定义域判断，确保讨论全面无遗漏。【经典例题】1．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)证明：若，则存在唯一的极小值，且.2．(2026·云南·模拟)已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若，且，证明：．【变式训练】1．(2026·甘肃·模拟)已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．3．(2026·云南·一模)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在上存在唯一零点，求a的取值范围；(3)函数有两个极值点为，若，求的最大值．考向12导函数为二次型的函数单调性问题导函数为二次型时，需结合图象（抛物线）分析。首先确定开口方向（看二次项系数符号）。其次计算判别式Δ：若Δ≤0，导数恒正或恒负，原函数在定义域内单调；若Δ>0，求出两根x₁、x₂。在定义域内，当开口向上时，导数在两根之间为负，之外为正；开口向下则相反。最后写出原函数的增减区间，注意单调区间需用“逗号”或“和”分隔，不可用并集符号。【经典例题】1．(2026·吉林·一模)设函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若有极小值，且极小值小于，求的取值范围.2．(2026·湖南·一模)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值．【变式训练】1．(2026·四川内江·一模)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)记曲线的对称中心为，若存在，使得，求的取值范围.2．(2026·陕西汉中·一模)设函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，且，证明：．3．(2026·广东深圳·模拟)已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．考向13导函数为准二次型的函数单调性问题导函数为准二次型（如含x与1x、ex与x等混合）时，解题核心是化归。通常通过通分（处理分式）或因式分解（提取ex等恒正因子），将其转化为标准的二次型gx=ax【经典例题】1．(2026·陕西西安·三模)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在区间没有极值点，求的取值范围；(3)证明：当时，.2．(2026·山东·模拟)已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)讨论函数极值点的个数．【变式训练】1．(25-26高三上·广东广州荔湾区·调研)已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有三个零点，求的取值范围.2．(2026·安徽·模拟)已知函数．(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)若函数的图像关于点中心对称，求实数的值．（建议用时：80分钟）一、单选题1．(2025·河北·模拟)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（

）A．B．C． D．2．(2024·重庆南开·模拟)已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（

）A．B．C． D．3．(2026·安徽·模拟)设函数在区间上单调递减，则的最大值是（

）A． B． C． D．34．(2026·广西河池·三模)已知函数是上的增函数，则的值为（

）A． B． C． D．5．(2024·贵州