立体图形与平面图形（讲义）-2024华东师大版七年级数学上册（原卷版）

专题3.1立体图形与平面图形（举一反三讲义）

【华东师大版2024］

题型归纳

【题型1几何体及其构成】.......................................................................4

【题型2几何体中的点、棱、面】................................................................5

【题型3点、线、面、体间的关系】..............................................................5

【题型4平行投影］.............................................................................6

【题型5中心投影］.............................................................................7

【题型6正投影】...............................................................................7

【题型7立体图形的视图】.......................................................................8

【题型8由视图确定几何体】.....................................................................9

【题型9几何体的展开图】......................................................................10

【题型10正方体的展开图】......................................................................11

【题型11截一个几何体】.........................................................................12

:举一反三］

知识点1立体图般的相关概念

L定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面

内，这就是立体图形.

立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分:①有曲面：圆

柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.

2.棱柱的有关概念及其特征：

①在楂柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做恻棱，棱柱所有侧棱长都推篁，棱柱的

卜下底面的形状、大小相同,并且都是多边形:棱柱的侧面形状都是平行四边形.

②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是小棱柱，它有组个顶点，包

条棱，&条侧棱，有〃+2个面,2个侧面.

知识点2点、线、面、体的关系

定义：①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点.

②点动成线，线动成面，面动成体.

③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界.

知识点3投影、中心投影

1.投影：物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面

称为投影面.

2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为空必

投影.中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心.

3.中心投影的特征

（1）等高物体垂直于地面放置：

（离点光源越近，影子越短；

1离点光源越远，影子越叁

（2）等长物体平行于地面放置：

，离点光源越近，影子越箕；

、离点光源越远，影子越短，不会小于物体本身的长度

（3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上.

令t

知识点4平行投影

1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.常见的平行光源：太阳

光、X光.

2.正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影.正投影是特殊的平行投影（例：夏至FI北回归

线上中午12点时的投影）.

线段、平:面图形相对于投影面的位置不同时的正投影：

图形物体平行于投影面物体倾斜于投影面物体垂直于投影面

线段一条与它本身等长的线段与它本身不等长的线段一个点

平面图形形状大小不变（全等）的平面图形与它本身不全等的平面图形一条线段

3.平行投影的特点

（1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等；

（2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上.

知识点5三种视图

1.视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.

2.三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视

图叫做俯视图.

3.常见几何体的三种视图

几0何体主视图左视图俯视图

O

知识点6三种视图之间的关系及画法

1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方.主

视图反映物体的长和高,俯视图反映物体的卷和宽，左视图反映物体的高和宽.

0左视图

2.大小关系：主视图与俯视图的箕相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等.

3.三种视图的画法

（1）确定视图方向;

（2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）；

（3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图.

知识点7由三种视图还原几何体

1.有三种视图还原几何体的步骤

（1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面;

（2）根据实线和虚线综合考虑整体图形:

（3）画出图形后验证.

2.还原简单组合体示例

知识点8正方体的展开图

定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11

种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；二二二型有一种；三三型有1种.

拓展：

正方体展开图口诀：

①一线不过四;田凹应弃之；

②找相对面：相间，“Z”端是对面；

③找邻面：间二，拐角邻面知.

【题型1几何体及其构成】

【例】】（2425七年级上.宁夏银川.阶段练习）将下图中的立体图形分类.

柱体:锥体;球体.

【变式11】（2425七年级上•福建漳州♦期末）谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞（S6〃Ci）”

或“隐语谜语：“正看三条边；到看三条边；上看圆圈圈，就是没直边.“.（打一几何体）

【变式12】（2425七年级上•广东深圳•期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②-⑥

均由4个棱长为1的小正方体构成.现在从模块②-⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个

棱长为3的大正力体.下列四个力案中，符合上述要求的是（）

立田守

模块④模块⑤模块⑥

A.模块②，④，⑤B.模块③，④，⑥C.模块②，③，⑥D.模块③，⑤，⑥

【变式13】（2425七年级•福建漳州・期末）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的.

【题型2几何体中的点、棱、面】

【例2】（2425七年级上•山西晋中•期中）小华新买了一个如图所示的笔筒,下列关于这个笔筒的描述错误

的是（）

A.笔简可以近似的看成六棱柱B.它的所有侧棱长都相等

C.它有10个顶点D.侧面的形状都是长方形

【变式21】（2425六年级上•山东威海•期中）一个棱柱有10个面，且所有的侧楂长的和为64cm,底面边长

都为3cm,它的侧面积是cm2.

【变式22】（2425六年级上•山东淄博・期中）一个〃棱柱共有15条棱，则这个棱柱共有个面.

【变式23】（2425七年级上•河北石家庄•期中）如图，从一个棱长为4cm的正方体的一顶点处挖去一个棱长

为1cm的正方体，则第二个几何体有（）个面.

【题型3点、线、面、体间的关系】

【例3】（2425七年级上•广东深圳•期中）直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨

旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中.若

把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（）

A.面动成体B.线动成面C.点动成线D.面面相交成线

【变式31X2425七年级上•贵州贵阳•期中）笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母卬，用数学知识解释为

【变式32】（2425九年级上•广西南宁・期中）如图下面的图形绕直线/旋转一周后得到的立体图形是（）

AA

C.X7

【变式33】（2425七年级上•河南郑州•期中）如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形

玻理隔板组成.

（1）每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是，这体现了动成体；

（2）求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留冗）.

【题型4平行投影】

【例4】（2425九年级上•陕西西安•阶段练习）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳

光下的影子的图形可能是（）

【变式41】（2425九年级卜.・湖南长沙•期末）卜.列光源所形成的投影不是中心投影的是（）

A.手电筒B.蜡烛C.太阳D.台灯

【变式42】（2425九年级上•陕西榆林•阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影

形状不可能是（）

A.矩形B.正方形C.平行四边形D.圆

【变式43］如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序

是.

【题型5中心投影】

【例5】（2425九年级上•福建•期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在

该路灯下的影子（）

A.始终不变B.由长逐渐变短

C.由短逐渐变长D.先变短后变长

【变式51】（2425九年级下•湖南长沙•期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（）

A.手电筒B.蜡烛C.太阳D.台灯

【变式52］（2425七年级上•四川眉山•期末）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么

小球落在竖直墙面上的影子会（）

A.先变大后变小B.逐渐变小

C.逐渐变大D.先变小后变大

【变式53】一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是种样子.

【题型6正投影】

【例6】（2025•贵州六盘水•二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（）

C.

【变式61】（2425九年级下•全国期末）下列关于正投影的说法正确的是（）

A.如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球

B.不同物体的正投影可以相同

C.圆锥的正投影是等腰三角形

D.圆纸片的正投影是圆

【变式62］（2425九年级上•江西九江•阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六

棱柱时的正投影是（）

【变式63】（2425九年级下•全国•随堂练习）把•块正方形硬纸板尸放在三个不同位置:

（1）当纸板尸平行于投影面时，尸的正投影与尸的形状、大小..（填“相同〃或"不相同"）

<2）当纸板F倾斜于投影面时，尸的正投影与F的形状、大小.（填“相同〃或”不相同〃）

（3）当纸板P垂直于投影面时，尸的正投影成为

【题型7立体图形的视图】

【例7】（2425九年级下•湖南长沙•期中）鲁班锁起源于我国古代建筑中的样卯结构.图（2）是六根鲁班

锁图（1）中的一个构件，这个图形的主视图是（）

前面

（2）

【变式71】（2425七年级下•黑龙江哈尔滨•期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几

何体的俯视图是（）

【变式72］如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体.

从正面看左视图俯视图

⑴请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图;

（2）这个几何体的表面积（包括底部）是.

【变式73】按要求完成下列视图问题.（其中的棱长为1）

⑴如图1,它是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，请在

网格图中画出添加后所得的新几何体的主视图；

⑵如图1，无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的视图不变；

⑶如图2,它是由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个

数，请在网格图中画出这个几何体的左视图；

⑷如图2,若将数字1去掉，该几何体的视图不变.

【题型8由视图确定几何体】

【例8】（2425九年级上•陕西榆林•阶段练习）如图是小静画的一个几何体的三视图.

8cm

8cm

俯视图

⑴这个几何体是由，和，这两个立体图形组成的;

（2）求这个几何体的体积.（结果保留口）

【变式81】（2025•河南郑州•三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

/口

尸尸

A.正面B.正面C,正面D,正面

【变式82］如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（）

c.

【变式83】（2425九年级上•河南焦作•期末）某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如

图所示，则该儿何体木块数量是块.

上视图俯视图

【题型9几何体的展开图】

【例9】（2425七年级上•河南郑外•阶段练习）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是,

【变式91】（2425七年级上•贵州贵阳•期中）可以围成一个棱柱的是（）.

A.B.C.D.

【变式92】（2425七年级下•山东临沂・期中）如图是一个直三棱柱的展开图，其中三个面被标示为甲、乙、

丙.将此展开图折成直三棱柱后，判断卜.列叙述正确的是（）

A.甲与乙平行，甲与丙垂直B.甲与乙平行，甲与丙平行

C.甲与乙垂直，甲与丙垂直D.甲与乙垂直，甲与丙平行

【变式93】（2425七年级上•宁夏中卫•期中）如图是一个底面为卫方形的四棱柱的展开