平面向量（讲义江苏专用）-高中数学学业水平考试合格考试总复习（原卷版）

专题05平面向量

目录

学考要求速览

必备知识梳理

高频考点精讲

考点一：平面向量的线性运算与坐标运算

考点二：平面向量基本定理

考点三：平面向量的垂直与平行

考点四：平面向量的夹角与数量积

战能力训练y

■学考要求速览1

1、通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，了解平面向量的意义.理解平面向量

共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素.

2、掌握平面向量的加法运算、三角形和平行四边形法则及加法运算律.借助实例和平面向量的几何表示,

理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义.

3、掌握平面向量的减法运算、三角形和平行四边形法则及减法运算律.

4、理解两个平面向量共线的含义，了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

5、了解向量的一组基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理.

6、借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

7、掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算.能用坐标表示平面向量共线的条

件，并会应用向量的共线条件解决问题.

8、掌握平面向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.

9、能利用坐标求向量的模、夹角及两个向量垂直的条件，并能应用它们解决相关问题.

■必备知识梳理

1、向量中的基本概念

B

a

A

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模.

2.句量的表示:向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模莅而;同,|而|晌量几何表示（有向线段）;

向量符号表示（箭头+字母）;向量坐标表示（实数对）.

3.零向量:长度为0的向量叫做零向量，记为6.当有向线段的起点/与终点R重合时，而=0.

4.单位向量:长度为1的向量叫做单位向量.（在坐标系中）与&共线的单位向量为:土持（即±高）.

5.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量.附加了二府,规定6〃2

6.相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量.

7.相反向晟:与向最a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量,记为-秋6的相反向量仍是0）若五是为相

反向量，则d=-b,b=-ata+b=0-,AB=-BA,AB+BA=G.

2、平面向量的线性运算（加、减运算，数乘运算）

1.向量加法运算及其几何意义：

（1）三角形法则+b=AB+BC=衣（首尾相接、首尾连）.规定G+0=5.

（2）平行四边形法则:以向量荏=a,AD=E为邻边作平行四边形/BCD,则m=a+b.

2.向量减法运算及其几何意义：

（1）三角形法则G-5=AB-AD=而（共起点、连终点，指向被减向量终点）.

（2）平行四边形法则:以向量屈=atAD=加为邻边作平行四边形力BCD,则万万=a-b.

3.向量数乘运算及其几何意义：

（1）规定实数十与向最a的积是一个向品，这种运算叫做向最的数乘运算，记作aa

①I①=W|a|

②当4>0时/G与五方向相同;当a<0时，入d与G方向相反;当入=0时,Ad=0.

LAa中的人对立起到同向或反向、伸K或缩短的作用.】

3、平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理:如果31、备是同一平面内的两个不共线向氨那么对于这一平面内的任意向量人有且只

有一对实数4、22,使d=友31+A2e2.

①不共线的向量心、多叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

②向量的夹角:已知非零向量五,瓦作万5=d,OB=bM^AOB=0(00<0<180。)叫做向量I与另的夹角.

显然，当8=0°时疝与6同向;当6=180。时,五与不反向;当。=90。时,21b.

2.平面向量的坐标运算:设2=(功力)范=(如力)，则

(1)5+1=(石+如丫1+丫2)，

(2)d-S=(x1-x2,y1-y2X

(3)25=(入石,2月),

(4)设点4(3力),8(如力)，则而=(Q-%1/2-%)，

3.共线定理的坐标表示:若G=Cq,yi),B=(%2，，2)，则d〃9<=>d=Ab<=>=0.

xry2-x2yx

四、向量的数量积:已知两个非零向量五与3,它们的夹角为何是)=仇则五不二@问cose.规定=o.

5.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：

(1)设非零向量d=族=(%2，乃)，则

①&-b=xx+%丫2,②aJ•加o@i=0oxx+yiy=0,@cos(a,b)=盘j=xix，+Viy?

x2t22+及卜什光’

(2)设G=(%y),则|d『=x2+y?,或同=^x2+y2;

设点力(%1，%),8(孙,丫2)，则而=-7尸+(为一为产

^2-x1,y2-yl),\AB\=JCQ

高频考点精讲

考点一：平面向量的线性运算与坐标运算

典型例题•

例题1(2024高二上.江苏•学业考试)在△力8c中，。为边的中点.若前=扇冠=G,则而=()

A.一：d+BB.^a+b

22

c1En1TH

c--2a-bD.-a-b

例题2.(19-20高一下•江苏•期中)已知向量,=(1,2)1=(一3,1),则26一3等于()

A.(5,3)B.(5,1)

C.(-1,3)D.(-5,-3)

例题3.(2023•江苏徐州•模拟预测)荏+北一前+瓦i化简后等于()

A.ABB.3ABC.BAD.CA

即时演练・

1.如图，已知向量G,上3那么下列结论正确的是

A.a+b=cB.a+b=—cC.a-b=­cD.b+c=d

2.已知向量丽=(2,1),点4(1,-1),则点B的坐标为()

A.(0,3)B.(3,0)C.(-1,-2)D.(-2,-1)

3.在平行四边形48C0中，。为定角线的交点，则而一2前二（）

A.~BDB.而C.~BCD.CB

考点二：平面向量基本定理

典型例题•

例题1（2023高三・江苏•学业考试）已知△A8C是边长为2的等边三角形，。，瓦户分别是边48,BC,C4的

中点，则（）

A.AB+AC=AEB.AB-AC=BC

C.EP=-ABD.D^-DP=-

22

例题2.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）在△ABC中，已知而=d，元=3,M为48的中点，N为CM的

中点，则丽为（）

41-3工r»l工3T

A.-a——bB.-b——a

2424

例题3.（2024高二下.福建.学业考试）如图，已知平行四边形"CD,AB=afAD=b,E为C。中

点、,则荏=（）

DEC

A.a+bB.d—bC.“物D.7+G

即时演练・

2.如图，在△ABC中，M,N分别是48,AC的中点，若而=d,而=%则向量而可表示为()

典型例题•

例题1(2024高二・江苏•学业考试)已知两点4(2,-1),8(3,1),与南平行，且方向相反的向量五可能是

()

A.Q=(-1,-2)B.a=(9,3)

C.a=(-1,2)D.a=(-4,8)

例题2.(2023高三・江苏•学业考试)已知向量五=(2,0)5=(1,百),0+无)1(ka-b),则实数Z=()

A.-1B.0C.1D.-1或1

例题3.(21-22高一下•江苏南京•期中)已知向量65=(2,3),OB=(%,5),若。则x=()

A.—B.1C.-D.-1

32

即时演练・

1.已知沅=(l,x),n=(x,2),若沅〃落则》=()

A.IB.V2C.±V2D.-V2

2.已知向量句=(1,2)3=(1,1)工=(3,4).若(五一花)113则实数；1=()

A.-2B.2C.--D.-

22

3.向量2=(k,-2),族二(一2,1).若可/床则实数攵的值是()

A.4B.-4C.1D.-1

考点四：平面向量的夹角与数量积

典型例题•

例题1(2023高三匕江苏徐州•学业考试)在平行四边形A3CD中，AB=2,AD=a/BAD=畜E是

线段CD的中点，则荏・元=()

A.IB.4C.6D.7

例题2.(2024高三上•江苏南京・学业考试)若单位向量日了满足回力=120。，向量不满足仁-6)1(c-5),

则五々的最小值为()

A>/3-1nl-x/3c口-1、1一百

A・----D----------C.--------

4422

例题3.(2024高二上.江苏•学业考试)已知向量2=(-1,0),3=(1,迎)，则2与3的夹角是()

A.-B.-C.—D.—

6336

即时演练・

1.已知在△ABC中，48=2,AC=3,^BAC=三点。为边BC上靠近8的三等分点，则而•近的值为()

A.--B.--C.-D.-

3333

2.已知向量,，加满足⑷=2,西=1,且五与B的夹角为手，则向量五+加与G的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

3.已知向量满足回=返同=2,忖+同=75,则向量五石夹角的余弦值为（）

A.聋B.系C.智D•当

1、在平行四边形48co中，E为DC上的点，且历=2沅，设而=G,AD=b,则荏=（）

工C-2H

AA.-2ar—zbBc.-2ar+,1-7o*C_.2-ar+,bD.a-V-b

33333

2、已知向量五=（1,2）,B=（2,2）,则.+同的值（）

A.2B.3C.4D.5

3、若向量d,b满足|G|=l,\b\=2，且（五一B）1日,则向量d和向量b的夹角为（）

A.-B.-C.-D.—

6433

4、在正六边形48CDEF中，设65二乙则下列向量中与，不共线的是（）

5,若向量而=(1,1),~CD=ABLCD,则租=()

A.-1B.0C.1D.2

6、已知向量日=(2,x),b=(-2,1),若a"b,则―=()

A.-1B.1C.-4D.4

7、已知彳5=(4,2),CD=(2,y),若荏〃而，则、=()

A.1B.2