平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示（六类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题5.1平面向量的线性运算、基本定理与坐标表示

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................7

【课程标准】......................................................7

【考情分析】......................................................7

【2026考向预测】..................................................7

三、知识点•逐点夯实......................................7

知识点1、向量的有关概念..........................................7

知识点2、平面向量的线性运算与共线定理............................8

知识点3、平面向量的基本定理与性质................................8

知识点4、平面向量的坐标表示与坐标运算............................9

知识点5、平面向量的直角坐标运算..................................9

四、重点难点■分类突破...................................10

考点1平面向量的有关概念.......................................10

考点2平面向量的线性运算.......................................12

考点3共线与平行................................................14

考点4平面向量基本定理的应用....................................16

考点5平面向量的坐标运算.......................................18

考点6平面向量共线的坐标表示....................................19

五、必考题型・分层训练...................................21

A、基础保分........................................................22

B、综合提升........................................................25

一、5年高考•真题感悟

1.(2023•全国甲卷•高考真题)已知向量满足闷=M=lJc|=夜，且〃+;>+[=(),则cos(a-c〉=

()

44

A.一BD.一

5--t5

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】向量加法法则的几何应用、向量夹角的计算、二倍角的余弦公式、数量积的运算律

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为〃+方+c：=0,所以。+匕=-2,

即a~+b2+2ab=c~，夙1+I+2±•/?=2,所以a=0.

如图，设OA=a,O8="OC=c,

由题知,。4=OB=1,OC=上，/Q4B是等腰百角三角形，

A3边上的高0。二息,AD=&,

22

所以。。=。。+。。=&+@=述，

22

tanZACD=—=-,cosZACD=-^=

CD3加

cos{a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

2.(2024•全国甲卷•高考真题)设向量。=(x+l,x),〃=(x,2),则()

A."x=-3"是〃”的必要条件B."x=l+G"是"〃//〃"的必要条件

C."x=0"是"a_Lb"的充分条件D."x=-l+G"是““//〃”的充分条件

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线(平行)求参数

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当时，则〃力=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=()时，a=(l,0)力=(Q2),故°4=0，

所以alb，即充分性成立，故C止确；

对B,当〃/必时，则2(x+l)=d,解得＞1±百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+G时，不满足23+1)=/，所以〃//不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.(2024・新课标团卷•高考真题)已知向量a=(()/),〃=(2,X),若力(〃-4“)，则x=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为。一间，所以岳仅一甸=。，

所以广一4a.Z?=0即4+f-4x=0,故x=2,

故选：D.

4.(2023・新课标团卷•高考真题)已知向量。=(1,1),〃=(1,一1),若(。+助)工(，+〃〃)，则()

A.2+〃=1B.义+〃=-1

C.办=1D.加=-1

【答案】D

【难度】0.85

【知央点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数

【分析】根据向量的坐标运算求出。+/IA，a+曲，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为a=(l,l),〃=(1,T),所以4+%〃=(1+41—4),〃+〃。=(1+〃,1一〃)，

由(a+/Z?)_L(a+〃Z?)■得，(a+/1/?)♦(a+)=0,

即(1+/1)(1+〃)+(1_4)(1-4)=0,整理得：2;/=-1,

故选：D.

5.(2023•全国乙卷•高考真题)正方形人4C。的边长是2,E是A3的中点，则上。£。=()

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律、数量积的坐标表示

(-----------IRB1ULM1

【分析】方法一：以为基底向量表示ECED，再结合数量积的运算律运算求解：方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数最积的定义运算求解.

uuuuunuuu

【详解】方法一：以｛AB)。｝为基底向量，可知卜8AD=2,ABAD=0

umuiriimiuuiamLIIIDmruuuiumHim

\)]l]EC=EB+BC=-AI3+AD,ED=EA+AD=--AB+AD,

uimuuu(iumuuu\(iuiouiiuIuinuuffl2

=--AB2+AD=-1+4=3；

4

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系,

则E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),E£>=(-1,2),

I1I1UI1IB1

^rUEC-ED=-l+4=3;

方法三：由题意可得：ED=EC=45,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-4_3

在©COE中由余弦定理可得cos/。比=

2DECE2x^x7^-5

uimuuu1mu11mm

所以平qEOcosZDEC=x/5x^x1=3,

故选：B.

6.（2025•天津•高考真题）V/1AC中，。为A8边中点，CE=gcD,AB=a,AC=b,则月£=（用。，

人表示），若|AE|=5,AE1CB,则A£-CO=

I-2-

【答案】-67+—/?;-15

o3

【难度】0.65

【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量减法的法则

【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.

【详解】如图,

II1Q

因为C£=—C£>,所以4E—AC=—（AO—AC）,所以AE=—AO+二4c.

3333

1-2-12-

因为。为线段A8的中点，所以力E=zA8+zAC=za+彳人：

6363

2

又因为卜目=5,AE1CB,所以人石2=仕〃+2BI,22I4172y

=——+—ab+—b~=25,

（63）3699

AECB=所以1+3。小=4/；

所以7+4。/=180,

所以A£・CD=>+京）（一〃1J-2

+—a=—（。~+2。•b—Sb2）

2126312V

=^(d2+2a/?-2«2-6a/?)=^(-a2-4a/?)=-15.

1-2

故答案为：—«+—/?；-15.

o3

7.(2025•全国二卷•高考真题)已知平面向量a=(x,1),〃=(x-l,2x),若。，(吁万)，则|。|=

【答案】a

【难度】0.94

【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示

【分析】根据向量坐标化运算得=(l,1-2x),再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】«-/7=(1,1-2X),因为a_L(a-“，贝ij〃•(〃-/4=0,

则工+1-2彳=0,解得x=l.

则a=(l,D,则|〃|-痣.

故答案为：V2.

8.(2024・上海•高考真题)已知AwR4=(2,5),〃=(6M),且则A的值为.

【答案】15

【难度】0.94

【知识点】由向量共线(平行)求参数

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】•・•〃///?,...2k=5x6,解得々=15.

故答案为:15.

9.(2021・全国乙卷•高考真题)已知向量。=0,3)/=(3,4),若(a—M)_L力，则4=.

【答案】|3

【难度】0.94

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为〃一加=(1,3)-〃3,4)=(1—343—44),所以由(a-训_Lh可得，

3(1-3/1)+4(3-44)=0,解得4

3

故答案为：-

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设〃=（5,）1）为=（七,为），

力=（）<=>M%+），1%=（），注意与平面向量平行的坐标表示区分.

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.

（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.

（3）了解平面向量基本定理及其意义.

（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）

2025年新n卷，第12题,5分复数的四则运算及概念简单

2024年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示简单

2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示简单

2022年新n卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示简单

2021年新II卷，第1。题,5分坐标计算向量的模简单

【2026考向预测】

通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为

平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化.

三、知识点•逐点夯实

知识点1.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量A3的大小，也就是向量A8的长度，记作|AB|.

（3）特殊向量:

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任•向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点2.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

①交换律

h

求两个向量和的a+b=。+a

加法

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求。与6的相反/X

向策外的和的

减法a-b=a+(-b)

运算叫做。与〃a

的差三角形法则

（1）\Aa\=4A\\a\

l(W)=

求实数4与向量（2）当义＞（）时，而与。的方向相同；当

(冗+ju)a=+jua

数乘

a的积的运算几＜0时，相与。的方向相同；

A(a+Z?)=Au+Ab

当7=0时，初=0

知识点3.平面向量基本定理和性质

（1）、共线向量基本定理

如果〃=劝（2©/0，则4/必；反之，如果4/必且人。0,则一定存在唯一的实数义，使〃=劝.（口

诀：数乘即得平行，平行必杓数乘）.

（2）、平面向量基本定理

如果4和6是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量4,都存在唯一的一对

实数4,4,使得。=4q+4s，我们把不共线向量q,6叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

{56},4“叫做向量。关于基底{6勺}的分解式.

(3)、线段定比分点的向量表达式

AB+AAC

如图所示，在△43。中，若点D是边BC上的点，且=工-1),则向量40=.在

1+A

向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练学

握.

B

(4)、三点共线定理

平面内三点4B,C央线的充要条件是：存在实数大〃，使0C=HO4+〃0B,其中4+"=1,。为平

面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A、8、C三点共线

。存在唯一的实数％,使得AC=%A8；

o存在唯一的实数力,使得。。=(1一㈤。4+/10B；

知识点4.平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与x轴，.y轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量〃，有且只有一对实数使。=3+0，我们把有序实数对(x,y)

叫做向量。的坐标，记作。=(X,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是---对应的,即有

向量(x,y);向量OA.，对'"'一.点A(X,),).

(3)设4=(.3凹),b=(xz,y2),plljfl+b=(x,+x2fy,+y2),a-b=(x,~.r2,y,-y2),即两个向量的和与差

的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

(4)设A(芭,y),B(x2,y2),则48=08-04=(%-占，》-8),即一个向量的坐标等于该向量的有向线段

的终点的坐标减去始点坐标.

知识点5.平面向量的直角坐标运算

2

①已知点A(K，y),B(X2,y2),则A4=(占一为，%一Y)，I-81=Q®-%)+(%-yG

②已知4=（5,X）,b=（x2,y2）,则=（与±*2，y±y?），义。=（%工］,义弘），

③〃•。=x（x2+y{y2，|a|=旧+y：.

®a//boX|y2-x,y1=0>a_boxix2+yty2=0

四、重点难点・分类突破

考点1平面向量的有关概念

例1、（24-25高三下•浙江•期中）给出下列命题，正确的是（）

A.〃=/?的充要条件是,卜W旦a//。

B.若a=〃，则它们的起点和终点均相同

C.若存在实数义，使得a=/lb，则〃//

D.若是平面内的四点，且A8=OC，则A3,C,。四点一定能构成平行四边形

【答案】C

【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、平面向量的概念与表示

【分析】由〃=b，可得K|=W且向量£与-同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可

判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据AB,CD可能在同一条直线上，可判定D错误.

【详解】对于A中，由“=》，可得,卜W且向量a与8同向，

所以〃=力的必要不充分条件是卜忖且£//儿所以A错误：

对于B中，若〃=人则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误；

对于C中，若存在实数；I,使得°=4人根据向量的共线定理，可得a/加，所以C正确；

对于D中，若4&CD是平面内的四点，且A4=OC，则A8,C,。可能在同一条直线上，不一定构成平行

四边形，所以D错误.

故选：C.

例2、以下说法中，正确的是（）

A.两个具有公共终点的向量一定是共线向量

B.零向量的长度为0,没有方向

C.单位向量都是共线向量

D.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

【答案】D

【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示

【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断.

【详解】对于A,如果两个向量的起点，终点不在同一•直线上，它们不是共线向量，故A错；

对于B,零向量的长度（大小）为0,方向是任意的，B错，

对干C,单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错；

对于D,向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，

而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确；

故选：D.

【变式训练1】、（23-24高二下,福建福州•期中）（多选题）已知〃、/八°是任意的非零向量，则下列结

论正确的是（）

A.非零向量a、b，满足,卜W且a与同向，则

B.4力业阐

C.若a.c=bc，贝—〃不与c垂宜

D.卜+闿第+恸

【答案】BD

【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、川定义求向量的数量积、平面向量的概念与表示

【分析】根据向晟的概念，可判定A错误；根据向最的数最积的定义，以及-1与8$.为£1,可判定3正确；

根据向量的运算律，得到（a-b）・c=0,可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确.

【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；

对于B中，由向量的数量积的定义，可得。力=|G|Wcosd,b,

因为可得一1Wcosa，6W1,所以4功引4卜同，所以B正确；

对于C中，由〃.c=4c，可得（。-力七=0,所以（a-力JLc,所以C错误：

对于D中，由卜+力一二同？+|/?+2ah=\a[+|/?|'+2pz||/?|cos«,/?,

又（I司+阳=附+怀+2|,

因为-lKcos“,bKI,所以卜+〃卜同+忖，所以D正确.

故选:BD.

【变式训练2】、（2024•全国•模拟预测）（多选题）有关平面向量的说法，下列错误的是（）

A.若aHb，bile，则a〃c

B.若〃与〃共线且模长相等，则.=力

C.若〃卜M且〃与人方向相同，则

D.£恒成立

【答案】ABC

【知识点】数量积的运算律、平行向量（共线向量）、相等向量、平面向量的概念与表示

【分析】取力=0，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项;

利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，取〃=0,满足7/力，b//c，但a、c不一定共线，A错；

对十B选项，若〃与力共线且模长相等，则“=〃或4=-匕，B错；

对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；

对于D选项，（甸/力）=（圳七恒成立，D对.

故选：ABC.

考点2平面向量的线性运算

例3、（2024•河北•模拟预测）在平行四边形A8S中，E是C。的中点，AE与BD交于点F,PHAF=（）

31122113

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

44333344

【答案】B

【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用

［分析］利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示AF即可.

【详解】因为在平行四边形ABCD中，AB//CD,所以一DEFBAF,

因为E是。。的中点，所以£=学=；，即班'=2。尸，BF=：BD,

BFAn23

HITuinuutun7111rmu2lUQULIT1uu7111r

根据向最的加法法则，AF=AB+BF=AB+-BD=AB+-（BA-^AD）=-AB+-AD,

3333

故选：B.

AB

例4、平行四边形A3CO中，点E是。C的中点，点尸是6c的一个三等分点（靠近K）,则EF=（）

A.-AB——ADB.-AB+-AD

2342

1.1.

C.-AB+-ADD.-AB--AD.

3223

【答案】D

【知以点】向量的线性运算的几何应用

【分析】用向量的加法和数乘法则运算.

【详解】

由题意：E是。。的中点，点尸是8C的一个三等分点，

^EF=ED+DA+AB+BF=--AB-AD+AB+-AD=-AB--AD.

2323

故选：D,

IHUl（1111

【变式训练3】、（2025•山东泰安・模拟预测）在平行四边形48CZ）中，已知EC=BE，DF=2FC，则庄=

（）

A.--AB+-ADB.--AB--AD

3232

C.-AB+-ADD.-AB--AD

3232

【答案】D

【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用

【分析】法-，在-/中分别利用向最加法的三用形法则表示尸石，AE,AF,再根据平面向

量共线定理及向量相等转化即可表示出五E；

法二，在中利用向量加法的三角形法则表示正，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示

出FE-

【详解】在平行四边形48C£>中，有AB=QC,AQ=BC.

UUU1UUI—

已知EC=BE，DF=2FC，

法一：

uuruunuun,ULUuur、.uuuuua../ULKIuua\(uuu7uua\

FE=AE-AF=^AB^BEyyAD^DF^=\AB+-BC\-\AD+-DC\

/mm1uunA(uuu2岫、iim1uun

=-4«——

=IAR+-2AD)-[AD+3-AR)32AD.

1in.ni1uur1uiu1uuu

法二：FE=FC+CE=-DC+-CB=-AB--AD.

故选：D

【变式训练4】（2025•甘肃甘南•三模）VA/3C中，若A3=〃，AC=b，BD=3OC，则向量">可用。，b

表示为()

13,c-3,

AA.—a\—bB.a1—b

444

I131

C.—a+—rbD.—a+—b

4444

【答案】A

【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量

【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可.

UUUUUU

【详解】在V4BC中，BD=3DC，

则AO=A8+8O=AB+j4C=AB+

3313

=AI3+-AC--AB=-AI3+-AC.

4444

—13-

又因为A8=a,AC=b,所以AO=-a+—〃.

44

故选：A

考点3共线与平行

例5、(2024高三•上海•周测)已知向量q,e2不共线,实数1,了满足(.x-y鸠+(x+y)e2=et+3e2,则x+2y=

()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【知识点】利用平面向量基本定理求参数、相等向量

【分析】由已知结合平面向量基本定理可求X,进而求出答案.

【详解】由《，0不共线，实数y满足（x-y）q+（*+佻=。+3/,

得「一）'='解得x=2,y=l,

所以x+2y=4.

故选：A

例6、（24-25高三下•陕西渭南•期中）设e是单位向量，/^=3d（7。=-3公卜力卜3,则四边形A4C。一定

是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【知识点】向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量）、向量的模

【分析】根据给定条件，利用共线向量及向量模的意义判断即得.

【详解】由A8=3e,CO=—3c,得A8//CD,|A8|=|CD|=3=MO|,

所以四边形ABC。一定是菱形.

故选：B

【变式训练5】、（2025・湖南永州•模拟预测）已知非零向量〃满足（4-〃）・（。-3份=0,且|小3闻,

则”与Z?的关系是（）

A.垂直B.共线C.夹角为£D.夹角为丁

30

【答案】B

【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的运算律、向量夹角的计算

【分析】由题意结合数最积定义直接计算得cosO=l即可得解.

【详解】设已知两个向量的夹角为仇

由题（4一0）・（4-3））=〃2_4〃・8+3方之=|t/|'-4|«||/?|cos^+3|/?p

=9|/?|2-12|/?|2COS6>+3|/?|2=0,

..8S6=1,所以d,匕共线.

故选:B.

【变式训练6】、已知向量.62是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是

【答案】C

【解析】对于A,假设与e；-e；共线，则存在2eR,使得4=4%-62),

因为不.不共线，所以没有任何•个能使该等式成立,

即假设不成立，也即用,-6不关线，则能作为基底；

对于B,假设6-女2共线，则存在％eR,使得4+/=2&-36卜

1/1=1

即门।无解，所以没有任何一个2eR能使该等式成立，

1,一”=1

即假设不成立，也即q+64-3弓不共线，则能作为基底：

对于C,因为-3/+&2=-3(6-生)，所以两向量共线，

不能作为一组基底，C错误；

对于D,假设么+%2,26一用共线，则存在hR，

使得24十-3&2),

1'24=2

即,；。无解•，所以没有任何一个/wR能使该等式成立，

[T/t=J

即假设不成立，也即2q+362,2.-3%不共线，则能作为基底，

故选:C.

考点4平面向量基本定理的应用

例7、己知。为VA8C的边8c的中点，。为4。上一点，且满足OD=2Q4,设A8=q,AC=e2,则CO=

()

12151721

A.-e--f,B.-e--eC.+-e,D.-e

3l3-6i6-366-3i3-

【答案】B

【知识点】用基底表示向量

【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可.

【详解】如图所示，因为。为V的边8C的中点，所以呜AC,

因为。£>=2。4,所以40=14。，

CO=-AC+AO=-AC+-（AB+AC]=-e'--e^

6、,6।6一

例8、（2025•海南三亚•一模）已知/14C。为平行四边形，E为CO的中点，记=，则8E=（）

A.a+—bB.a--bC.--a+bD.---a-b

2222

【答案】C

【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为£为CO的中点，所以CE=；CO,

—.一—--.1——|一1

所以BE=BC+CE=BC+-CD=AD一一AB=一一a+b.

222

故选:C

【变式训练7】如图，在平行四边形A38中，E为。。的中点,比与对角线AC相交于点尸，记八B=a,

AD=b，则BF=（）

【答案】A

【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则

【分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断.

EFEC1

【详解】由题意得，EC0BAF,所以二厂七），

FBAB2

所以3/二三BE,所以8/=_（4C+CE）=_AD――AB\=-AD――AB=――a+-h.

33312）3333

故选：A.

【变式训练8】、(2025•四川自贡•三模)在VA8C中，。是AB边上的中点，则()

A.2CD-CBB.CD-2CBC.2CD+CBD.CD+2CR

【答案】A

【知识点】平面向量的混合运算

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】因为。是A8边上的中点.，

所以C4+C8=2CO，即C4=2CQ-5.

故选：A.

考点5平面向量的坐标运算

例9、(24-25高三下•福建南平・期末)已知向量：=(1,2)»=(3,4),则4.(〃+4=()

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【知识点】数量积的坐标表示

【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为二(1,2))=(3,4),所以a+b=(4,6),

则G(a+/>)=lx4+2x6=16,故二正确.

故选:C

例10、已知。=(2,1),/?=(-1,1),若S+「=(x,2),则户()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示

【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可.

【详解】已知向量a=(zi),6=(T,I),

则〃+匕=(l,2)=(x,2),解得x=l.

故选：B.

【变式训练9]、已知向量：=(1,-2)与力=(2,〃?)，且)=2a，则〃?=()

A.-4B.-IC.1D.4

【答案】A

【知识点】由向量线性运算结果求参数

【分析】根据平面向最线性运算:的坐标表示及平面向量基本定理计算可得.

【详解】因为)=(1,-2)与〃=(2,〃。，

又b=2a，所以(2»雨)=2。,-2)=(2,-4),所以m=Y.

故选：A

【变式训练10】、(24・25高三上•河北邢台♦开学考试)已知向量d=03，b=(-Zx),c=(y,y),若方+〃=[,

贝Ubc=•

【答案】6

【知识点】数量积的坐标表示、由向量线性运算结果求参数

【分析】先由向量的坐标运算及相等求参，再根据数量积坐标公式计算即可.

【详解】因为c=〃+b,所以(1,3)-(-2㈤=(T,x+3)=(y,)，)，

所以y=T，x=-4,

所以〃=(T,-1),〃=(-2,Y),

/>c=(-2)x(-l)+(^)x(-l)=6.

故答案为：6.

考点6平面向量共线的坐标表示

例11、(2025•天津红桥•模拟预测)已知向量。=(1,2),/>=(—.)，)，若。//人则.V的值为()

I1

A.-B.——C.2D.-2

22

【答案】D

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.

【详解】由a/lb，则lxy=2x（-l）,解得y=-2.

故选：D.

例12、（2025•江苏盐城•模拟预测）已知平面向量＜二（㈤,b=（x-\,2）,则“x=2"是"〃//”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量平行的坐标表示以及充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】因为4=（匕），

若4//力，则lx2-x（x-l）=0,解得：x,=2,X2=-1,

所以"x=2〃可得出“”//广，

由不一定得出工=2,

所以“x=2〃是"d//〃〃充分不必要条件，

故选:A.

【变式训练11】、（2025•辽宁辽际二模）已知向量〃=（—2,1）功=（1,力，若〃〃力，则〃•（〃—力卜.

【答案】y/7.5

【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律、由向量共线（平行）求参数

【分析】由a〃可解得大的值，即可写出匕的坐标，从而得到的坐标，再由数量枳的坐标形式即可得

出答案.

【详解】由。|力，可得一2・1=（）,解得x=g,

则“=1,一弓］,4—5=—3,—\所以==.

故答案为：y.

【变式训练12】、（多选题）已知向量。=（-6,3）力二（2/），则下列说法不正确的是（）

A.当a+Z?=（T4）时，r=-l

B.当a工b时，r=4

C.。与》夹角为钝角时，则/的取值范围为（-8,4）

D.当，=2时，，在人上的投影向量为（-3夜,-3夜）

【答案】ACD

【知识点】求投影向量、己知向量垂直求参数、由坐标判断向量是否共线、由向量线性运算结果求参数

【分析】利用向量线性运算坐标表示列方程判断A；向量垂门的坐标表示列方程判断B；注意f=-l有向量

反向共线判断C；根据投影向量定义求投影向量的坐标判断D.

【详解】A：由d+/=（-6,3）+（2j）=（Y,3+r）=（Y,4）,则1=1,不正确;

B.由题意=（一6,3）＜2,/）=-12+3/=0,则£=4,正确;

C：当/=-1时4=-3%，即向量反向共线，此时夹角不为钝角，不正确；

ahh（33}

D：7=2时）=（2,2）,4在8上的投影向量为1厂面=[-5，-51,不正确.

故选：ACD

五、分层训练

基础保分

一、单选题

1.下列说法中，正确的是（）

A.模为。的向量与任意向量共线

B.单位向量只有一个

C.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

D.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

【答案】A

【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）

【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判

断C选项；利用向量的定义可判断D选项.

【详解】对A,模为。的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确；

对B,单位向量的模为1,但方向为任意方向，故B错误；

对C,向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误；

对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误.

故选:A.

2.（2025•甘肃甘南•模拟预测）如图，在VABC中，BM=2MC,N为线段上一点，且AN=（1-2）AB+[AC,

则实数4的值为（）

56

二6