山东省青岛市四区联考2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试卷（解析版）

山东省青岛市四区联考2025-2026学年高二上学期

期中考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.直线y=Gx+l的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.1500D.120°

【答案】B

【解析】设倾斜角为直线y=的斜率为G，所以tand=G，・・・。=60°，故

选B.

2.已知向量机=（2,a,-2）,〃=分别是直线〃Ln方向向量，若mHn,则

a+b=（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】D

2=2

【解析】因为血/〃，所以"2=4〃，可得，。二24,

-2=M

解得。=4,/?二-1,则。+8=3,故D正确.

故选：D.

3.已知椭圆+会=1的左右焦点分别为片，尸2,点P是c上的一点，的面

积为G，则点P的横坐标是（）

A.GB.oC.±y/3D.-V3

【答案】B

【解析】由题意得〃=2,b=G,c=l,则山段=2,设P（x,y）,

因为▲尸耳工的面积为所以gx2x3=6,解得区=6,即），2=3.

2

可得LX+±3=l,解得x=0,则点尸的横坐标是0,故B正确.

43

故选：B.

4,若0（0,0,0）,M（2,l,0）,N（l,0,l）,P（x,l,2）四点共面，则工=（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】A

【解析】因为0(0,0,0),A/(2,1,0),N(l,0,l),p(x,l,2),

所以OP=(x,l,2),0M=(2,1,0),ON=(1,0,1),

若四点共面，则OP=/IOM+〃ON,

x=24+〃

可得11=4,解得了=4,故选项A正确.

2=〃

故选：A.

5.圆C：(五一2『+(y+l)2=5关于直线x—y+l=0对称的圆的方程为()

A."+2『+()，-3)2=5B.(x+2)2+(y-3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=5D.(x-2)2+(y+3)2=25

【答案】A

【解析】由题意得圆。:(万一2『+()，+1『=5的圆心坐标为。(2,-1),半径为

设点C(2,-l)关于直线工一>+1=0对称的点C(m,n),

9=7

m-2

则解得m=-2»〃=3.

m+2-l+〃］八

------------+1=0

22

由轴对称的性质得新圆的半径为逐，

•••对称的圆的方程为。+2)2+(>—3)2=5,故A正确.

故选：A.

6.若点?(2/)在圆.12+/+办+2)，+1=0外，则。的取值范围为)

A.(-4,+8)B.(r,4)

C.(TO)U(0,+oo)D.(-oo,T)

【答案】C

［解析】因为方程f+)3+以+2)，+1=0表示圆，

所以〃2+4-4>0,解得。/(),

因为点P(2,l)在圆/+。」+如+28+1=0外,

所以22+1+为+2+1>0,解得。>-4,

则ac(-4,0)D(0,+8),故C正确.

故选：C.

7.正四棱锥尸-ABC。中，AB=叵,94=2,点E是的中点，则点4到直线CE

的距离为()

B.孚D.叵

r病

42

【答案】C

【解析】以底面中心为原点，取CO中点M，4。中点N,易知。用,ON,。尸两两垂

直，以OM,ON,O尸方向为％，y，N建立空间坐标系，如下图:

,。岗冬冬。］.

AB

T亍42222

由Q4=2,正方形对角线长度为2,可得PO=百，P(O,O,JJ),

E为「口中点，则杂，乎，*

C£|=V2,CB=(-x/2,0,0),|CB|=V2,

点0到直线CE的距离d二

故选：C.

8.已知椭圆C:鼻+方=l(〃>b>0)的左焦点为尸，直线y=与C相交于A,B

两点，且人尸_1斯，则C的离心率为()

A.73-1B.72-1C.立D.立

32

【答案】A

【解析】如图，作出符合题意图形，找到椭圆的右焦点/'，连接Ab',3/

由椭圆的对称性可得四边形AFRP是平行四边形.

因为A尸_L3b，所以四边形厂是矩形，可得|Q4|=|0「|=c,

因为)，二岛，所以NAOF'=60。，则AQA尸是等边三角形，

由矩形性质得NE4产=90。，由等边三角形性质得NAF'O=60。，|A/[=以

结合题意可得|A目=gc,由椭圆的定义得月=2〃，

可得c+J5c=2〃，化简得£=b—1,故A正确.

a

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知直线/:ar-y+2=0,则()

A./过定点(0,2)

B.当口=1时，/与直线尤+y=0垂直

C.当。=一1时，/与直线x+y=0平行

D.当。=1时，/在两坐标轴上的截距相等

【答案】ABC

【解析】对于A,令x=0,解得y=2,则/过定点(0,2),故A正确，

对于B,当。=1时，得到x—y+2=0,可得lxl+lx(-l)=o,

得到/与直线x+y=0垂直，故B正确，

对于C,当。=一1时，得到-x-y+2=0,

而一1x1」(—l)xl=0,—lx0—2xlw0,则/与直线m+y=0平行，故C正确，

对于D,当。=1时，得到x—y+2=0,令x=0,解得y=2,

令y=0,解得工=-2,可得/在两坐标轴上截距不利等，故D错误.

故选：ABC.

10.在正方体AACD-ASGQ中，E，F，G,，分别是QR,Aq，CD,BC

的中点，则（）

A./G〃平面A3。

B.E，F，G,“四点共面

C.在线段BD上存在一点M，使得1平面EFG

D.在线段48上存在一点N,使得8N在8Z）上的投影向量为

【答案】ABD

【解析】如图，作出符合题意的图形，以人为原点建立空间直角坐标系，连接4。,

由题意得所求结论与正方体边长无关，不妨设正方体边长为2，

则A（0,0,0）,8（2,0,0）,0（220），0（020）,4（2,0,2）,

£>,（0,2,2）,E（0,2,l）,尸（1,0,2）,“（2,1,0）,G（l,2,0）,人（0,0,2）,

对于A,由题意得A0=（0,2,—2）,FG=（0,2,-2）,

则4。〃〜G,因为AOu平面AB。，巾（z平面AB。，

所以尸G〃平面48。，枚A正确，

对于B,设A”=xAE+），Ab+zAG,

则（2,l,0）=M021）+），（l,0,2）+z（l,2,0）,

x=-1

y+z=2

所以《2x+2z=l,解得

JV+2），=0

z=—

故x+y+z=l,即E，F，G,“四点共面，故B正确；

对于C,假设在线段BO上存在点M，符合题意，

设BM=ABD（。W4<1）,则MC]=BC\-BM=BC1—ABD=（2A,2—24,2）,

若闻。1_1平面石尸6,则知£二七/=0,MC1EG=4,

因为E月=(1,一2,1),EG=(1,O,-1),

22—4+44+2=0

所以《,此方程组无解,

22-2=0

所以在线段BO上不存在点M，使得平面EFG,故C错误;

对于D,由投影向量公式得8V在8。上的投影向量为(吧%BD

\BD\

1.BDBN1

若在8。上的投影向量为78。，则----丁二，，

3BDJ

2444.

令N。。?，可得BN=(-],O,Q),=(-2,2,0),

JJJJ

由模长公式得忸/)『二(1(一2)2+22)2=8,

.8

由空间向量数量积的运算法则可得BDBN=一,

BDBN1

满足一2二鼻,故D正确.

BD3

故选：ABD.

11.已知0(0,0),"(0,4),N(0,l),动点P满足|尸叫=2|尸M、。是直线丁=丈-4

上一点，记点。的轨迹为曲线E，过点。作E的两条切线、切点分别为4,〃，则

()

A.E的方程为丁+)3=4B.俨。的最小值为2血一2

C.|0d|4四的最小值为2D,直线48恒过定点(1广1)

【答案】ABD

【解析】对于A选项，已知例(0,4),M0,l),P(x,y)，|PM|=2|PV|,

即G+(),_4)2=2次+()」1)2,整理得_?+,2=4,A选项正确；

对于B选项，。在直线y=x-4上,

|0-0-4|4

圆心到直线距离心布方二正=272,圆的半径为2,

所以|PQ|的最小值为26-2,即B选项正确;

对于C选项，设切点弦AB的方程：^+(r-4)y=4.

44

圆心到A3的距离：〃心;=

8z32r+4r4r+6

弦长：|AB\=274=2J4-2=2J\-(=4l~,

7ABV2r-8r+16V2r2-8r+16V2-4r+8

|0Q|二J2产-8/+16，

|00|“4闭=12»-8+16・々1：一?+?，

V厂一4，+8

令〃=/_4,+6，则/一41+8=〃+2,2/2一8/+16=2〃+4,

|。。|蜴=4而百.、工二4、陛叵=4、陛叵=4而,

〃之2,最小值为4>万运=8,C选项错误；

对于D选项,直线A8:江+(/-4)丁-4=0即，(x+y)-4y-4=0,

对任意t成立=过定点满足：戈+y=0,-4丁-4=0,

解得y=-l,x=l=定点D选项正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.圆/+),2=4与圆(x-2『+(y+2『=8的公切线的条数为.

【答案】2

【解析】对十圆1+产=4,可得圆心为(0,0),半径为2，

对于圆(了一2『+()，+2)二=8,可得圆心为(2,-2),半径为2起，

由两点间距离公式得圆心之间的距离为百+西=26,

而2拒—2<2&<2&+2，则两圆相交，

可得两圆的公切线条数为2.

故答案为：2.

13.已知A(—l,0),3(1,0),直线4M，创/相交于点M，且直线AM的斜率与直线

AM的斜率的商是2,则点加的轨迹方程是____.

【答案】x=-3()，wO)

【解析】设点M(x,y),则二一+二一二2,整理得工二-3,显然y=o.

x+1x-}

所以点M的轨迹方程为工二-3(、/0).

故答案为：戈=-3(y，0).

14.已知平面四边形ABC。，AB=BC=2,CD=1,AD=C，ZADC=90，沿直

线AC将..ACZ)翻折成AAC/y,则直线AC与直线Biy所成角的余弦值最大为.

【答案】3或0.5

【解析】平面四边形48C力，AB=BC=ZCD=\,AD=43,NAOC=90，贝U

AC=2,

过。作OE_LAC于E，取AC中点0,连接80,则5O_LAC,50=JL

DE=ADCD=立=CE=L,过。作平面ABC的垂线OZ,则直线OC,O及OZ

AC22

两两垂直，

以。为原点，直线OC,O8,Oz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

AC=(2,0,0),BD'=(1,y-cos<9-V3,y-sin6>),设直线AC与直线BD所成角为。,

\ACBD'\

cosa=|cos〈AC,BD')|=

因此\AC\\BDf\~

11

=—7==当且仅当°二°时取等号，

2j4-3cos02

所以直线AC与直线8Z7所成角的余弦值的最大值为g.

故答案为：y.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知4(2,0),5(1,3).

（1）求线段AB的垂直平分线的方程；

（2）若圆C经过A，B两点,且圆心在直线x+2y-2=0上，求圆C的标准方程.

解：⑴因为A（2,0）,8（1,3）,

333—0

所以AB的中点为（二,二），直线A8的斜率攵=丁二二一3,

221-2

所以线段AB的垂直平分线/的斜率为V，

31（3、

即/的直线方程为），-5=][工-2）化简得x_3y+3=O.

（2）由垂径定理得，圆心在的中垂线上，

fx-3y+3=（）,、

联立〈二-z解得x=0，），=1，即圆心为（0,1）,

x+2y-2=0

所以圆的半径r=^（2-0）2+（0-1）2=亚，

所以所求圆的标准方程为/+（），-1）2=5.

16.如图，四棱柱ABCO-ABCiQ的底面A8CO是矩形，AB=AAl=4fAD=2

ZBAA.=ZDAA,=60,£为楂GA的中点•

（i）求AE的长；

（2）求直线AE与直线CA所成角的余弦值.

解：(1)设A4,=&A8=〃,AD=c：,

--1-1

则|«|=|〃|=4,|0|=2,Z?c=0,ac=4x2x-=4,aZ?=4x4x-=8,

22

AE=4A]+AE=AA]+Q+.E=+AD+^AB=d++。，

所以|a+g1力+c=c『+：〃2+。2+〃3+/?・c+2ac=16+4+4+8+0+8=40,

2

所以|AE|=2M.

(2)CD}=DD}-DC=d-h,

222

CD}=a—b=y/(a—h)=>Ja—2ab+b—‘下-2x8+4、=4,

2]f

AECD]=a+—+ca-b]=a——ab---+〃c-。c=16—4-8+4—0=8,

/22

设直线4E与CA所成角为0,则

A/™\四飙8M

cos6=cos(AEyCD.)=---------=-----==---,

'/\AE\-\CD；\4M2V1010

所以直线AE与CD、所成角的余弦值为亟.

10

17.如图，三棱柱-的侧面AA3片为菱形，平面4AB片_L平面43C,

ZBAC=90，AB=AC=A,B.

A}B\

C

(I)证明：AB_L4C；

(2)点占到平面AAcq的距离为求直线A4与平面人与。所成角的正弦值.

(I)证明：取A3的中点0,连接AO,不妨设A8=AC=A8=2,

因为四边形AAB片为菱形，所以AA=48=2,

则AB=AA=A8=2,得到三角形AAB是等边三角形，1AB,

A。u面443片，因为平面AABg_L平面A8C,所以4。，平面ABC,

而NB4C=90，可得4C_LA8,作。G//4C,

如图，以。为原点，建立空间直角坐标系，

C

设C(x,y,O),由题意得人(0,-1,0),B(OJO),4,(0,0,^),舟(0,2,6),

则AC=(x,y+l,0),AB=(0,2,0),/\B=(0,l,->^),

因为4c_LA8,所以4C.AB=0，可得2(y+l)=。，解得)，=-1,

而AC=2,得到J7=2,化简得d=4，

解得x=2(负根舍去)，故。(2,-1,0),

而4c=(2,-3,一百)，得到A3・4C=-3+3=0,故A6_L4。.

(2)解:设AB=AC=AB=〃,可得40,-0,0),5(0,-,0),

22

A(0,0,ga)，片(0,出立a),同理可求。(〃,一3,0),

则=(0,@,且a)，AC=(a,0,0),AB.=(0,-6/,

222

设平面AjACG的法向量〃=("?,〃,〃)，

1&

AA.n=—an+——ap=0厂

可得j"22令n=6解得加=0，〃=—1,

AC-n=ma=0

得到n=(0,73,-1),设点B,到平面AACC,的距离为d,

Ab.■nJ3〃J3

由点到平面的距离公式得e=,==-,

同VsTT2

因为点片到平面AACG的距离为石，所以立〃=G，解得〃=2,

2

此时A4,=(0,1,也)，人((),(),百)，4(0,2,75),C(2,-l,0),

可得A4=(0,2,0),AC=(2,T,—G)，

设面\ByC的法向量为m=(b,c,d)，

A}B1,m=2c=0

可得令b=6，解得c=0，d=2,

4。•m=2b-c-Gd=0

得到m=(、6,0,2),设直线AA与平面48c所成角为夕,

可得©出扁M-二w审2\/3r

7

=1（〃＞匕＞0）的长轴长为4,离心率为专

（1）求W的标准方程;

（2）矩形A8C。的顶点A,8在X轴上，C,。在w上，C8与卬的另一个交点为E，

AE与W的另一个交点为尸，AE与）'轴交于点G,CG与W的另一个交点为”.设直线

AE，CG的斜率分别为勺，k2.

⑴年的值;

（ii）求直线FH的斜率的最小值.

解：（1）因为椭圆的长轴长为4,离心率为"，

2

所以£="，加=4,解得。=2,

c=>/2»b=>/2»

a2

可得W的标准方程为工十

42

（2）（i）如图，由对称性设4—0）,”（一x（r。）,£（一』,一）’（）），。（一题，为），

则AE:y=普（工_/）.得G|O,%

2%I2J

3yok.1k.

故「爵介则广方可得力为定值,

（ii）由CG:y=k、x--,

*-2

联立.y=^--y=0+2砌/_2&y/+§一4=0,

X2+2/-4=02

4A-4

由根与系数的关系可得rr_2，所以工_2

一"、）（1+2月）

他伊-4)//-4网g-4,

所以%=一。(；2月)号‘"得"T°(l+2©，f(1+26)>0

2

y=kX-^-

又AE:)，=%/—&,联立<}(1+2A；卜2-2^yx+^-4=O,

12no

2

X2+2/-4=0

44

外一4

由根与系数的关系可得T。2,所以与2

1+2将-%(1+2的

且_4A-44

收122\<-.Vo

所以上2__&，可得尸

(1+2奸)'-0(1+2硝2

f(1+26)2

k,

切一)7_1±261+2抬_2kA-124(-3])-1

所以

11_2化+网）2依-3幻

1+2将1+26

1+6k；_16kl

秋4K+4'

Lx曳—亚，即心，N逅，

由图知《＞0,所以42

秋4秋42rri2

16kl

当且仅当丁二才，即尤=必JA.时取等.

1

的46

所以直线FH的斜率k的最小值为业.

2

19.用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截

口曲线是椭圆.在:直角三角形A3c中，BC=l,N%=90，NA=3（），点。在线段A8

上，CO为/C的平分线，直线CB与平面。垂直，垂足为从点Ewa,NDCE=45，

记点E的轨迹为曲线W.

（1）说明；曲线W为椭圆;

（2）建立适当坐标系，求曲线W的方程；

（3）当四面体E-A8C体积最大时，求平面E4C与平面。夹角的大小.

解：（1）曲线W是椭圆的几何理由：

可将“NOCE=45。的点E”视作以C为顶点、CZ）为轴。为母线的圆锥面上的点,

圆锥轴截面的半顶角为ZDCE=45°,

点石Ga,点E的轨迹为此圆锥面与平面。的交线.

因为已知直线C8与平面"垂直，垂足为A,Abua,所以C8_LA3,

因为在直角三角形ABC口，NB=90，ZA=30，点。在线段AB上，

CQ为/C的平分线，所以CD与平面。所成的角为/COB,

NCDB=NC4O+NACD=ZCAD+-ZACB=30-x60°=60°，

22

若圆锥的轴CO与平面。所