湖南省百所重点高中2026届高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析

湖南省百所重点高中2026届高一数学第二学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式的解集为,则的值为(

)A． B．C． D．2．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．3．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（）A．1 B． C．4 D．64．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．执行如图所示的程序框图，则输出的()A．3 B．4 C．5 D．66．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：/℃/百元对上述数据进行分析发现，与之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（）参考公式：A． B．C． D．7．已知为等差数列，，，则等于（）.A． B． C． D．8．已知数列满足是数列的前项和，则（）A． B． C． D．9．为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这只小动物中随机取出只检测，则恰有只注射过该新药的概率为()A． B． C． D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知圆的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.12．设,满足约束条件,则的最小值是______.13．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为.14．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是.15．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．16．若是方程的解，其中，则________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，.（1）当为何值时，与垂直？（2）若，，且三点共线，求的值.18．在中，角所对的边是，若向量与共线.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.19．在中，角的对边分别为,的面积是30,.（1）求；（2）若，求的值.20．已知圆C过点，圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.21．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.【详解】由题意得为方程两根，所以，选B.【点睛】一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.2、A【解析】

连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.3、B【解析】

由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．【详解】由题意得x≥3，则4个剩余分数的方差为：s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．故选B．【点睛】本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．4、A【解析】

根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；选项：若，则平行关系不成立，错误；选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.故选：【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.5、C【解析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得

S=0，n=1

S=2，n=2

满足条件S＜30，执行循环体，S=2+4=6，n=3

满足条件S＜30，执行循环体，S=6+8=14，n=4

满足条件S＜30，执行循环体，S=14+16=30，n=1

此时，不满足条件S＜30，退出循环，输出n的值为1．

故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6、B【解析】

计算出，，把数据代入公式计算，即可得到答案．【详解】由题可得：，，，，；所以，，则线性回归方程为；故答案选B【点睛】本题考查线性回归方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题．7、B【解析】

利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】解：为等差数列，，，，，，，，，．故选：【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8、D【解析】

由已知递推关系式可以推出数列的特征，即数列和均是等比数列，利用等比数列性质求解即可．【详解】解：由已知可得，当时，由得，所以数列和均是公比为2的等比数列，首项分别为2和1，由等比数列知识可求得，,故选：D．【点睛】本题主要考查递推关系式，及等比数列的相关知识，属于中档题．9、B【解析】

将只注射过新药和未注射过新药的小动物分别编号，列出所有的基本事件，并确定事件“恰有只注射过该新药”所包含的基本事件的数目，然后利用古典概型的概率计算公式可该事件的概率．【详解】将只注射过新药的小动物编号为、、，只未注射新药的小动物编号为、、，记事件恰有只注射过该新药，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，其中事件所包含的基本事件个数为个，由古典概型的概率公式得，故选B．【点睛】本题考查古典概型的概率公式，列举基本事件是解题的关键，一般在列举基本事件有枚举法和数状图法，列举时应注意不重不漏，考查计算能力，属于中等题．10、B【解析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥（高为圆柱的一半），下面是半个圆柱，其中圆锥底面半径是，高是，圆柱的底面半径是，母线长是，所以该几何体的体积，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解析】

由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【详解】设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，则圆心到直线y＝x的距离d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为或．【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．12、1【解析】

根据不等式组，画出可行域，数形结合求解即可.【详解】由题可知，可行域如下图所示：容易知：，可得：，结合图像可知，的最小值在处取得，则.故答案为：1.【点睛】本题考查线性规划的基础问题，只需作出可行域，数形结合即可求解.13、3【解析】

分别取AC、BC的中点D、E,

,

,即,

是DE的一个三等分点,

,

故答案为:3.14、【解析】

，，是平面内两个相互垂直的单位向量，∴，∴，，，为与的夹角，∵是平面内两个相互垂直的单位向量∴，即，所以当时，即与共线时，取得最大值为，故答案为.15、【解析】

求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．16、或【解析】

将代入方程，化简结合余弦函数的性质即可求解.【详解】由题意可得：，即所以或又所以或故答案为：或【点睛】本题主要考查了三角函数求值问题，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用坐标运算表示出与；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出，根据三点共线可知，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.【详解】（1），与垂直，解得：（2）三点共线，，解得：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线.18、(1)(2)【解析】

（1）由题可得，利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式整理可得，进而得到答案．（2）由正弦定理得，，所以周长，化简整理得，再根据角的范围求得答案．【详解】解：（1）由与共线，得，由正弦定理得：，所以又，所以因为，解得．（2）由正弦定理得：，则，，所以周长因为，，所以，故【点睛】本题考查的知识点有正弦定理边化角以及两角和差的正弦公式，三角函数的性质，属于一般题．19、（1）144；（2）5.【解析】

（1）由同角的三角函数关系，由，可以求出的值，再由面积公式可以求出的值，最后利用平面向量数量积的公式求出的值；（2）由（1）可知的值，再结合已知，可以求出的值，由余弦定理可以求出的值.【详解】（1），又因为的面积是30，所以，因此（2）由（1）可知，与联立，组成方程组：，解得或，不符合题意舍去，由余弦定理可知：.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求，可以不求出的值也可以，计算如下：20、(1).(2).【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为．由题意得，解得，所以圆的标准方程为．（2）由圆的切线的性质得，而．由几何知识可得，又，所以，故，所以，即四边形面积的取值范围为．点睛：解