上海市虹口区2026届高三一模数学试题（含答案解析）

高三数学试卷

一、填空题

1.已知集合A二卜||尸1|V2},8二限民＞0},则APlg

2.函数y=言的定义域为

3.(%-?)9的二项展开式中/的系数是

4.已知a6{—/『!},若基函数y=娉为偶函数，则实数妙

5.若事件A、B互斥,且P(A)=0.4,尸(AU⑶=0.6,则P(B)=

6.已知复数z是实系数一元二次方程./+bx+2=0的一个虚数根，则|彳|=

7.已知某圆锥的底面半径为2,侧面积为6乃，则该圆锥的体积为(结果保留力

8.若甲、乙、丙3人要站在一个有7级台阶的楼梯上拍照，每级台阶至多站2人，同一级楼

梯上的人不区分站的位置，则不同的站法有种(结果用数值表示)

9.己知双曲线C的焦点分别为匕(-1,0)和F2(1,0),若点P为C上的点，且满足

PF21F/2,sin乙Pg="则点巳至IC的一条渐近线的距离为

10.小虹同学要在边长为10的正方形纸片RSNM上剪出一个等腰梯形A8CD的图案，如图所

示，腰A3、CO与正方形内的抛物线〃分别相切于£尸两点，其中，的顶点。为RM的中

点，若当点E到RM的距离为4.5时，EF=6,则当等腰梯形4BCQ的面积取到最小值时，

EF=___________(结果保留2位小数)

11.若卜|国(/+2x)-2g(a•e"-1)=0}。0,则实数。的取值范围是

12.已知空间中四个单位向量b,c,d满足|G—B|=|—3|=|3+b+&+2|=1,则G在c

方向上的数量投影的最大值为

二、选择题

13.已知乂)，为实数，则“炉＞y3”是2＞2'+1”的()条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分又非必要

,tanx,x>0

14.已知/(x)={，若f（a）=V5,则实数a的取值可以是（）

-/(x4-TT),x<0

A2n

A.-----BC，-6

3--JD号

15.如图，已知点人、B、C、D在表面积为12万的球O的球面上，且9）,O4_L平面68,

点E为BC中点，当二面角A-8C-Z）的大小为号时，则有（）

A.异面直线AE和CD所成角的大小为着

B.直线E4与平面ABD所成角的大小为卷

O

C.si九（2N4BE）=Y

D.ABED的面积为V2

16•若每一项均为正数的数列的前〃项和为S小若对于任意的正整数人均存在正整

数〃使得。八丁一40,则称具有性质”，对于以下两个命题，说法正确的是（）

an-^m+l

①存在等比数列｛册｝，使得｛时｝具有“尸性质”

n

②若｛即｝具有“产性质”，记/=Sm+1—9且｛4｝为等差数列，则sn<2.4

A.①和②都为真命题B.①和②都为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

三、解答题

17.如图，已知四棱锥尸的底面是边长为2的菱形，点上为PC中点.

⑴若点产是线段8。上的动点，求证：直线E尸与直线以不相交;

⑵若尸C_L平面ABCD,AC=BD,EC=T,求点A到平面EBD的距离.

第17序曲

18.已知o)>0,|(p|<yr,设/(x)=cos(a)x+(p).

(1)当3=2,=3时，试判断函数y?(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当=一］且函数)寸(x)的最小正周期为2万时，若在△ABC中，sin2A+sin2C-

sin2B=sinAsinC,^.f(A)+f(C)的取值范围.

19.班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对

全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，

绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时，其中，男生每周平均手机使用时长

的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的概率分布直方图如图所示.

⑴求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数；

⑵小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经

验分享，设事件A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生

的每周平均手机使用时长位于区间［11,12）”，试判断事件A和事件B是否独立，并说

明理由；

⑶小明老师发现本班有，位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这，位学生的数据

平均数为23小时，当去掉这，位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7

小时，且这/位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，那么这，位学生每周平

均手机使用时长的方差是否超过3?请说明理由.

20.己知椭圆厂1+y2=1的左、右焦点分别为匕和点尸是，的长轴上的动点，点。

为T上的动点，且异于点P.

⑴当点尸位于椭圆，的左焦点，且Q,P,「2能构成三角形时，求4QPF2的周长；

⑵当点P位于椭圆，的左顶点时，直线尸。与y轴交于点8(0,3，雨=/1的,求实数2的值；

⑶当点P与椭圆〃的左、右顶点均不重合时，记直线PQ与椭圆厂的另一个交点为S,过点

P作直线/与椭圆厂交于C、。两点，设M和N分别为弦QS和弦CO的中点，若P、Q、

M、N为四个相异的点，|两+丽|=|而且直线MN恒过定点(一/0),求点P的坐

标.

21.已知函数y=fM的定义域为D(D£R),记g(x)亍G+a)~f(x)，其中Q6D,且.x^aED.

(1)当。=RJ(X)==1,求函数)，二g(x)的零点；

(2)当D=|-l，+8),/(x)=%3_3%若恒有g(x)>0,求实数a的取值范围；

(3)当Z>Q,求证：“对于任意的正有理数m函数)，招(x)在。上均是严格增函数”的充要条

件.

2025-2026学年上海市虹口区高三（±）期末数学试卷（一模）

答案解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7T2题每题5分）考生应

在答题纸的相应位置直接填写结果。

1.（4分）已知集合A二以||『1<2）,x>0},则.O=g0<x<3）..

【解答】解：已知集合A={«|LblV2}=b|TVx<3},又2={x|x>0},贝（HGB={%0V*

V3}.故答案为：W0<xV3）.

2.（4分）函数y=程的定义域是STIO（2,+8）・

【解答】解：根据题意：=NO,解得戈>2或xWT.

x-z

故函数的定义域为（-8,-1]U（2,+8）.故答案为：（-8,-|]U（2,+«>）.

3.（4分）（x-§9的二项展开式中V的系数是-27.

【解答】解：[一：）9的二项展开式中，

第项为九.1=舄％9-「.（_：丫=（_3）「禺X9-21其中尸（）、1、2、…、9,

取尸1,可得72=-3X6,/二一27X7,即展开式中1?的系数是-27.

4.（4分）己知ae若累函数"为偶函数，则实数a=|.

I332）3

【解答】解：戊=一;1时，幕函数y=吏1是定义域（-8,（））u（（）,+8）上的奇函数;

Q=；时，基函数y=/是定义域R上的偶函数：

。=|O时，嘉函数丫=a3的定义域为[0,+8）,是非奇非偶函数.故答案为：!2

5.14分）若事件A、B互斥,且尸（A）=0.4,P（AUB）=O.6,则P（B）=0.2

【解答】解：事件A、B互斥,且尸（A）=0.4,尸（AUG）=0.6,

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则P⑻=PUUB)-P(A)=0.6-0.4=0.2.故答案为:0.2.

6.[4分）已知复数z是实系数一元二次方程./+以+2=0的一个虚数根，则|z|=V2.

【解答】解：由实系数一元二次方程复数根的性质知.22=|2|2=2,故|2|=&.故答案为：

我

7.15分）已知某圆锥的底面半径为2,侧面积为6万，则该圆锥的体积为等.（结果保留兀）

【解答】解：设圆锥母线长为/,高为力，因为侧面积为6乃，所以2M=6乃，/=3,则

h=序二矛=V5,所以圆锥的体积为：x兀x2?x代=等.故答案为：好.

8.15分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人

不区分站的位置，则不同的站法总数是336.

【解答】解：由题意知本题需要分组解决，

・・,对于7个台阶上每一个只站一人有解种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C1，川种,

，根据分类计数原理知共有不同的站法种数是房+或属=336种.故答案为：336.

9.（5分）已知双曲线C的焦点分别为Fi（T,0）和尸2（1,0）,若点尸为C上的点，且满足

PF210尸2,sin乙PF1F2=|,则点入到。的一条渐近线的距离为v-

【解答】解：因为双曲线。的焦点分别为Fi（T,0）和F2（l,0）,所以C=1,

因为PF21FiF^sin乙PF[Fz=*所以在RfAPFR中,有霭=5

设IPF1|=5/c,IPF2|=3k（k）0）,则由勾股定理可得I产出1=JlP0*-1PF?|2=

J（5k）2—（3k）2=4k=2,

所以k=1所以2a=||PF1I-IPF2|=|5k-3/c|=||-||=l,a=

2

又由c2=M+b2可得b2=cz_a2=1_g）=所以双曲线的方程为1,

44

其渐近线方程为y=±£x=±次匕即V3x±y=0,取渐近线V3x-y=0,

则点&（-1,0）到该直线的距离为d=毕旦型=学=噂故答案为：£

J（可+M222

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10.（5分）小虹同学要在边长为10的正方形纸片KSNM上剪出一个等腰梯形AbCD的图案,

如图所示，腰AB、C。与正方形内的抛物线〃分别相切于E、尸两点，其中，的顶点。为RM

的中点，若当点E到RM的距离为4.5时，EF=6,,则当等腰梯形ABCD的面积取到最小值

时，EF=6.32,（结果保留2位小数）

【解答】解：以。为原点，RM为x轴，RM的中垂线为），轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设抛物线方程为x2=-2py,p>0,当点E到RM的距离为4.5时，EF*,

则E（-3,-4.5）,代入抛物线x2=-2py,p>0,解得片1,则/=一2丫,即y=

设厂-10,则.％=±26,设F[0一1诏），&€02日），

因为y=-、2,所以/二一%,七。二一死,则直线C。的方程为y+1%o=

一々0-xo），令广。，解得知=，o,令）'二一1。，解得々?=枭（）+匕

22XQ

故^ABCD=2X-X

当且仅当&=U时，即=时，等号成立，故当a=旧时，SA8CQ]取

XO

最小值，此时EF=2%=2同a6.32.故答案为：6.32.

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11.（5分）若｛xIlg（x2+2x）-lg（a./一1）=0｝。0,则实数。的取值范围是（。[山/收）

e

【解答】解：由题意知，方程.g（/+2x）-/g（Q-e*-l）=0有解，可化为

2

%24-2%=a-ex—1,即a=xx2+2x>0,即x<-2或x>0,

ex

令f（x）=ytl,xw（_8，—2）U（0，+8）,则令⑺=殁坟上譬业;;今,

e€6

当0（人（1时，/（A）>0,/（Q单调递增，

当刀>1或xV-2时，/Cr）在（-8,—2）,（1,+8）上单调递减，

且当xT—8时，/G）T+8,工t+8时，/（x）->0,

所以/（X）的大致图像如图所示：因为/（0）=l,/（l）=p/（-2）=e2>l,

所以/（x）在（-8,-2）U（0,+8）上的值域为（（）,£]U（e2，+8）,

即。的取值范围是（0,3U（e2，+8）.故答案为：0^]U[e2^+oo）.

12.(5分)已知空间中四个单位向量A,b,c,a满足Ia-b|=|c-d|=|a+b+c+d|=

1,则一在c方向上的数量投影的最大值为等.

【解答】解：设。二(0,0,1),a-{cosO^cos(plfcos9vsin0i,sint),b=(cos82cos(p2,co

s62s山(P2、sin02),

其中/£[-9()°,90°],18()°,180°],z=l,2,\C-dP=C2+cf~2C~d=l=>

sn—

C.d-；・••可设3=(—?'°'3，同理，a-b=1=cos01cos02^(,12)+

51710^17102=[(①)，d+b+c+d=(%Q+xb—4‘ya+yysin%+sin32+I),则d

在3方向上的数量投影为1，

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当sinOi最大时，(Pi=<P2=0,。2V&,故由(①),0?=%-60°，

•••a+b+c+d=(cos&+cos(*—60°)-y*0^sin6A+sin(01-60°)+1)=

(V5cos(%-30。)一亭岳讥(%-30。)+5

Ia+b+c+d|=1,/.(gcos(%-30°)-+(^stn^-30°)+|J=i,

・•・sin1%-60°)="|=>cos(*-60°)=詈，，sin%=sM(%-60°+60°)=+

VTlx/3_闻-5

62-12

故答案为：室.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15T6题每题5分）每题

有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。

13.（4分）己知x、y为实数,则“%3>y3”是“2。2尹1”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.非充分又非必要

【解答】解：因为炉〉y3,所以］>）,,因为2%>2'+1,所以%>以1,

命题“若Qy+L则x>y”为真命题,即2%>2'+1=>x3>y3,

命题“若x>y,则心>/1”为假命题，即./>y3不能推出2%>2>1,

所以“d>）户”是的必要非充分条件.故选：B.

14.（4分）已知/（%）={"九%">°，若/（a）=旧则实数的取值可以是（）

—/a+7T）,X<0.

A.--B.--C./r6D.-

333

【解答】解：4一学）=_/《）=_£即:

一百,.••。工一?，A错误；

/（-0=-/售）=-tany=可以取一条3正确；

f0=tan7=4・•・aHgC错误；

\oz636

f管）=£aQ与=aW等。错误.故选：B.

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15.（5分）如图，已知点A、B、C、。在表面积为12乃的球。的球面上，且（0W8D,。力团平

面8c。，点、E为BC中点,当二面角A-BC-。的大小为侧,则有（）

A.异面直线AE和CO所成角的大小为

B.直线E4与平面ABO所成角的大小为匹

C.sin（2^ABE）^

D.△8EQ的面积为V2

【解答】解：设球O的半径为广，因为球的表面积为12a可得4"产=12",可得r二百,

因为。和E分别为50,8c的中点，所以。石〃C。，所以OEJ_5C,

又因为OA_L平面BC。，BCu平面BCD,所以8C_L0A,

因为（OAnOE=O,且04,OEu平面AOE,所以8C_L平面AOE,

又因为A£'u平面AOE,所以BC±AE,

所以NAE。为二面角A-的平面角，所以

NAEO=£«5

在直角△AOE中，可得AE=40=20E=4°=1,

sinz-AEO'tanLAEO

对于人，由OE〃CO,可得异面直线AE和C。所成角，即为直线4E和0E所成角,

因为z4£。二*所以异面直线4石和。。所成角的大小为£所以A不正确;

对于8,过点E作上尺LBD,垂足为F,

因为04_1_平面BCQ,E7七平面3CO,所以EFJ_04,

又因为OACIBTA。，且。A,BOu平面A8D,所以£凡1_平面ABD,

所以NEA/即为直线EA与平面AB。所成角，

在直角aBOE中，OB=W,OE=1河得BE=则EF==缁

OBV3

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所以双心£力F=煞=看所以6不正确；

AE6

对于C,在直角△A3石中，AE=2,BE=可得AE=VAE?+BE2=瓜

所以sin^ABE=乍=专则cos^ABE=y/l-sin2^ABE=焉

所以s讥（2乙4BE）=2sinLABEcosz.ABE=2x/湖苧,所以C不正确;

对于。，由△4EO的面积为5=；80,"=/28义得=仞听以0正确.

故选：D.

16.（5分）若每一项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为心,若对于任意的正整数〃，均存在正

整数使得即二Sm£数则称｛助｝具有“P性质”.对于以下两个命题，说法正确的是（）

an~sm+l

①存在等比数列｛%｝,使得QJ具有“。性质”；

②若｛〃〃｝具有“P性质"记△n=Sm+i-Qn且化力为等差数列，则SnW2n・%.

A.①和②都为真命题B.①和②都为假命题

C.①为真命题，②为假命题D①为假命题，②为真命题

【解答】解：对于①，因为数列｛〃〃｝每一项均为正数，故SmWSm+i.

乂对于任意的正整数〃，均存在正整数，"使得"二’巾40,

故存在正整数，〃使得Sm<OnVSm+1，即anG[Sm*Sm+1）,

n_ntl+1

n+1

设an=2〃,则Sn==2-2,

其中即f=2二2二；-21=2：+2—2;；0故^1+2V2m+2,

+

斯-Sm+i2n-（2m+z-2）2n+2-2m+2

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解得2爪一132n-1〈2巾+1-1,

当〃二1时，取机二1,满足要求，

对任意的正整数〃22,均存在正整数〃尸〃-1,使得上式成立，

册=2八具有“。性质”，故存在等比数列｛〃〃｝,使得｛Q〃｝具有“。性质”，①正确；

对于②，当〃=1时，5小工的VSm+i，故机只能等于1，即△1=$2-。1=。2，

当n=2时，Sm<a2Vsm+1，故m只能等于1,即由式a2,A2=S2-a2=alf

｛△〃｝为等差数列，故公差为（%-。2,所以471=。2+（九一1）（%-。2），

假设a1<a2fi则当l+8时，△«<0,这与△„=Sm-—>>0矛盾,

故的=。2,所以&n=。2=%为常数列，

易知Q3Vs3,若a3G卜2，53）,则A3=S3—。3=+。2>△],舍去，

a

若a36[SdS2）,则A3=S2—a3=a1+a2—的，令&=&+g-3=△1可得ci3=alt

同理易知a4Vs而若a4GJSJ则A4=S4—4=&+%+。3>"舍去,

所以a4Vs3小4=S3—a4=3al—令3%—a4=△1,可得a4=2alf

或△4=S2-a4=2@i-Q4,令2al-a4=△1,可得a4=aA,

同理a5Vs4，与=S4-a5=%可得a5=3al或4牝，

或△$=S3—Q$="1，口J得@5=2Q],或△$=S?—Q5=口1，口J得=01,

依次类推可得，当〃23时，每一个。〃的最大值为2九"a],

*1_2n_2

当时，=%+%+20%+2al4-…+2”-3al=2alH-------a=（2n-2+1）%<

1-2r

n

2alf②正确.

故选：A.

三、解答题（不大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步

骤，

17.（14分）如图，已知四棱锥尸TBCQ的底面是边长为2的菱形，点E为PC中点.

（1）若点E是线段B。上的动点，求证：直线E尸与直线必不相交；

（2）若PCJ_平面A8CQ,AC=BD,EC=1,求点A到平面£3。的距离.

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【解答】解：（1）证明：连接AC交8Q于点。，连接。£如图所示:

因为四边形ABC。为菱形，所以。为AC的中点，

所以在△以。中有，由。，E分别是AC,PC的中点，所以以〃。笈

又OEu平面BDE,抬Q平面8OE,所以雨〃平面8DE,

又因为平面BDE,所以直线EF与直线EF没有公共点，

即直线石尸与直线EF不相交；

（2）因为PC_L平面A8CD,点E为PC中点，所以EC_L平面ABC。即EC_L平面

D所以EC为三棱锥E-4BD的高，且EC=1,

因为四边形A8CO为菱形，且AO8。，所以菱形A8CD为边长是2正方形，

所以SMBD=：x2x2=2,且AC=BD=2x<2,BPOC=立,BE=DE='EC?+BC2=

Vl2+22=V5,

在R/aOCE中，OE=y/EC2+OC2=Jl2+（或『=百，

即为△OBE的高，所以SMBE=IX2X/2XV3=V6,

设点4到平面EBD的距离为h,由等体积法得：VE,ABD=匕_EBD，即|x2xl=|xV6x

*JJ

儿解得：h=£所以点A到平面EBD的距离为驾.

JO

第9页/共14页

18.(14分)已知G〉0,I/WTT,设/(x)=cos(cox+(p).

(1)当3=2,=:时，试判断函数)可G)的奇偶性，并说明理由；

(2)当=一1且函数y=f(x)的最小正周期为2乃时，若在△ABC中，

sin2A+sin2C—sin2B=sinAsinC^f(A)+f(C)的取值范围.

【解答】解：⑴当3=2；=即寸，/<(%)=cos卜％+9，

由/(0)=。。5^=4=1,所以产/6)既不关于丁轴对称，也不关于原点对称，

所以函数y=/(x)是非奇非偶函数；

(2)当=*且函数月G)的最小正周期为27r时，3=9=1,可得/(x)=cos(%Y)=

44JI\4/

sizix,由在△ABC中，sin1A+sin2C—sin2B=sinAsinC,

222

利用正弦定理可得a+c-b=QC,再利用余弦定理可得COSB=2=/=；,

弋2ac~2ac2

所以B=泉可得f⑷+/(C)=sinA+sinC=sinA+sin得—4)

=sinA+YcosA+^sinA=^sinA4-cosA=V3sin+/),

由于AW可得可得s讥(4+2)€&1］，

所以灰sin(4+(W(争冏，即f(A)V(O的取值范围是((亭间.

19.(14分)班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期

每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时

长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时

长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示.

第10页/共14页

(1)求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数；

(2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做

经验分享.设事件人表示“2人中至多1名男生”，事件8表示“2人中恰有1名学生的每周平

均手机使用时长位于区间［11，12)”.试判断事件A和事件3是否独立，并说明理由；

(3)小明老师发现本班有1位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这1位学生的数据

平均数为23小时.当去掉这“立学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时,

且这，位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，那么这1位学生每周平均手机使用

时长的方差是否超过3?请说明理由.

【解答】解：(1)由茎叶图可知男生总人数为20,所以20X25%=5,将男生每周平

均手机使用时长从小到大排列，第5,6位的数据分别为12.7,12.9,所以第25

百分位数为号至=12.8;

(2)事件A和事件3不相互独立，理由如下：

由4m+0.12+0.16X2+0.24=1,解得m=0.08,

所以女生中每周平均手机使用时长小于12小时的人数为(45-20)X(().()8+0.08)=4,

且女生中每周平均手机使用时长位于区间［10,11)有2人，位于区间［11,12)有2人，

由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于12小时的人数为2,

且男生中每周平均手机使用时长位于区间［11,12)有2人，

抽取的6人中，每周平均手机使用时长位于区间［11,12)的共有2+2二4人，

所以P(A)=I-P(©)=I_^=9P(B)=等=*

若抽取的是1名男生和1名女生且恰好有1人的每周平均手机使用时长位于区间［11,1

2),其概率为萼=三

c615

若抽取的是2名女生且恰好有1人的每周平均手机使用时长位于区间［11,12),其概率为

华=之所以P(AB)=±+±二2，

Cl15*k7151515,

显然尸(A)P⑻NP(AB),所以事件A和事件B不相互独立；

(3)由茎叶图和频率分布直方图可知尸2+25X(0.08+0,08)=6,

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6个数据中，男生数据为24.8,25.6,

<x

设女生数据为Xi,用，M,M且.%i<x23<X4<24.S,

X\+%2+%3+%4+24.8+25.6=23X6

由题意可知•汇2+工3+孙+24.8=22.7x4，解得x±=21.6,x3=22,

、2%3=x24-x4

又4，X2,后，工4成等差数列，所以.％2=曰土=21.8,%4=%2+%3-%=22.2,

所以这6个数据分别为：21.6,21.8,22,22.2,24.8,25.6,

所以方差为3|(23-21.6)2+(23-21.8)2+(23-22)2+(23-2.2)2+(23-24.8)2+(23-25.6)2

2.5<3

所以这6位学生每周平均手机使用时长的方差不超过3.

2

20.（18分）已知椭圆r：yY+y2=1的左、右焦点分别为F1和b2，点。是，的长轴上的动点,

点。为「上的动点，且异于点P.

（1）当点尸位于椭圆厂的左焦点，且。、P、尸2能构成三角形时，求△QPF2的周长；

（2）当点。位于椭圆〃的左顶点时，直线尸。与），轴交于点8丽=4的，求实数人的值;

（3）当点。与椭圆厂的左、右顶点均不重合时，记直线P。与椭圆，的另一个交点为s,过点

。作直线/与椭圆厂交于C、。两点，设M和N分别为弦QS和弦。。的中点，若P、Q、M、

N为四个相异的点，I两+而1=1而且直线MN恒过定点（（一30）,求点尸的坐标.

【解答】解：（1）由椭圆方程可知，a=&,c=VTF=l,

所以的周长为Up%=1QPI+1QF2|+|PF2\=2a+

2c=2-\/2+2;

（2）因为P（—&，0）,Q（0，J,所以“=点与二号则PQ:%+或=2&y,即PQ.x=

2V2y-V5,

联立广；2?；-?，可得ioy2_8y=0,解得产0或y=三所以为=士

xz+2y,=2'5y5

=

因为方=2的，所以YB-yp=A（yQ-y）所以2=|»

（3）因为|两+丽|=|丽所以|丽+丽|=|丽一丽|,

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所以PM2+前2+2两.而=两2+两2_2PM­而,

所以PM-PAZ=0,所以PM工PN,所以PQ.LCD;

当P。，。。中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和尸点重合，故不符合条

件;

当尸为包标原点时，此时M,N均与P点重合，故不符合条件;

由上可知，PQ,CQ的斜率都存在,

设P(m>0)(mG[-\/2f0)U(0*V2]),PQ：y=k(x-m),CD:y=—-m),

联立｛上凿2一普，可得(1+2k2铲一轨2mx+2k2m2-2=0,

和+寸健所以华=篙，所以誓"（鬻叫-km

所以