上海市松江某中学2025-2026学年高二年级上册期中数学试卷及答案

松江二中2025.2026学年高二上期中考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

（满分150分，时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7・12题每题

5分）

1.若方程/+上/=2表示焦点在），轴上的椭圆，则实数A的取值范围是.

2.已知事件A与事件8为互斥事件，且P（A）=,，P（AuB）=；,则0（8）=.

53

3.若直线x+m.v+5=0与直线x+y+2=O的夹角为土，实数机的值为___.

4

4.设总体由编号为（）0,01、,59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选

取方法是从该随机数表第I行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出米的第

4个个体的编号为.

50446644216606580562615564350242354896321452415248

226622I58626637541995842367224583752185I0337183911

5.直线4：3x+，〃），+2=0与直线4：m（+3>-4=0平行，则实数"7=.

6.如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数疔线图，由图判断从第

天开始，连续三天的跳绳次数方差最大.

8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A民C,DE,£G,”共八个点，一枚棋子起

始位置在点A处，每个相邻的两点间称为1步.抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的

点数为=2,…,6）,则棋子按顺时针方向前进，步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏

结束.试问游戏结束时棋于回到点A处的概率为.

9.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点痉梦想''.某校组织学生参

与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7,6,8,9,8,7,10,人若去掉机，该组

数据的第25百分位数保持不变，则整数〃2（14〃7410）的值可以是____________（写出一个

满足条件的小值即可）.

10.已知P是直线/：3工+4），-8=（）上一动点，过点P作圆C（x+2『+（）—l）2=3的

两条切线PM,PN,切点分别为M,N,则NMPN的最大值为.

11.体现中华传统文化的油纸伞至今己有1000多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地

面上的油纸伞，该伞伞沿是•个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹

角为60。时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭

圆的离心率为e,则/=.

12.已知曲线W：/+y2=4-附.关于曲线W的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线W关于原点对称；

②曲线W围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线W围成区域的面积大于8；

④曲线w上任意一点到原点的距离都不小于亚.

3

其中正确结论的序号是.

二.选择题（本大题共有4题，13・14每题4分，15T6每题5分，满分18分）

13.事件A与〃独立，无、豆分别是4、8的对立事件，则下列命题不成立的是（）

A.P（AcB）=P（A）P（A）B.P（4c与）=P（A）P（月）

C.P（AU方）=P（A）+P（耳）D.P（AnB）=[l-P（A）][l-P（5）]

14.某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位：。C）

的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3,极差为2：

②中位数为7,众数为9；③众数为5,极差为6；④平均数为4,方差为2；则这四个样本

中，连续5天的日平均气温记录数据均低于10笛的样本个数至少有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22

15.已知椭圆1=1和圆4:/一2工+），2=0,2（2分别为椭圆。和圆4上的动

点，若尸为椭圆C的左俅点，则俨。+|夕目的最小值为（）

A.6B.5C.9D.8

16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如

图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，

已知高PO=2,底面圆的半径为4,M为母线P8的中点，平面与底面的交线斯_LA5,

则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（）.

三.解答题（本题共5道题，14+14+14+18+18,满分78分）

17.空气质量指数PM2.5（单位：pg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这

个值越高，就代表空气污奥越严重：

日均浓度

PM230~3535-7575-115115-150150〜250>250

空气质量级别一级二级三级四级五级六级

空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

甲、乙两城市2013年2月分中15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5口均浓

度指数数据如茎叶图所示:

甲城市乙城市

302243204

489655

615164

787697

K230S807

9891809

（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明

理由.

（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质品类别均为优或良的概率;

18.已知双曲线方=l（a>0,>0）的离心率为也，2（3,26）为C上一点.

a~

（1）求。方程:

（2）过C的右焦点且倾斜角为30。的直线/交C于M,N两点，。为坐标原点，求MN的

长度.

19.某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100

份作为样本,将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

（I）求频率分布直方图中”的值与样本成绩的平均数;

（2）用分层随机抽样的方法从[70,80）,[90,1001两个区间共抽取出8名学生，再从这8

名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[70,80）的

概率；

（3）学校决定从知识竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设

三个项目，每个项目胜方得I分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高

1?

的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为不，p,各项目的比赛结果相互

37

独立，甲至少得1分的概率是一，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由.

50

20.已知圆M与直线后+），+2=0相切于点（-JI1）,圆心M在¥轴上.

（1）求圆M的标准方程;

（2）过点R（2,5）作圆M切线，求切线的方程;

（3）设点。（0,3）,过点作直线4,交圆M于P,Q两点，再过点。作与直线4垂直的

直线4,交圆M于瓦尸两点，记四边形叫小。的面积为S,求S的最大值.

21.由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶

点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两人椭圆的“焦顶三角形”相似，则称

这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为柿圆的相似比；如图1,为左、右焦

点分别为片，F2,上、右顶点分别为A,8的椭圆G；如图2,为左、右焦点分别为6，

F2,上、右顶点分别为A,9的椭圆C2；若AAB鸟与AA'HE相似，则称椭圆G

似比：若不是，请说明理由，并找出椭圆G：?+M=I的一个“相似椭圆”；

（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

22

（3）若椭圆G与椭圆女=1相似，相似比是G，直线/：＞=履+〃2与椭圆G，

G交于四点（依次为M,N,P,Q,如图），且MO+PO=2NO，证明：点丁（匕6）在

定曲线上.

参考答案及解析:

松江二中2025.2026学年高二上期中考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

（满分150分，时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7・12题每题

5分）

1.若方程/+上/=2表示焦点在），轴上的椭圆，则实数4的取值范围是.

【答案】（0,1）

【解析】

【分析］把椭圆的方程化为标准形式，列出不等式即得.

x2y2

【详解】由题意，方程f+b，2=2可化为万十了=1

因为方程f+心，2=2表示焦点在），轴上的椭圆，

2

可得一＞2,解得0＜女＜1,

k

即实数k的取值范围是（QI）.

故答案为：（0,1）.

2.已知事件A与事件8为互斥事件，且尸（4）=LP（AUB）=L则P（B）=____.

^53

【答案应

【解析】

【分析】由互斥事件概率.加法公式可得答案.

1।2

【详解】由题意可得尸（△）=尸（AU4）-P（A）=§-g=E.

故答案为：-j|

3.若直线工+加），+5=0与直线x+y+2=0的夹角为二，实数小的值为.

【答案】0

【解析】

【分析】先求直线x+y+2=0的斜率，进而得倾斜角，即可得直线X+冲+5=0的倾斜角，

分类讨论即可求解.

【详解】•・•直线x+），+2=0的斜率为-1,它的倾斜角为包，直线x+my+5=0与直线

4

x+y+2=0的夹角为E，

，直线X4-/72V+5=0的倾斜角为△或0;

2

若直线x+my+5=0的倾斜角为y,则加=0；

直线/+加），+5=0的倾斜角为（），则机不存在；

综上可得，m=0；

故答案为：0.

4.设总体由编号为00.0k,59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选

取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第

4个个体的编号为.

50446644216606580562615564350242354896321452415248

22662215862663754199584236722458375218510337183911

【答案】26

【解析】

【分析】根据随机数表的读取规则，依次读取数据.

【详解】从第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字可得64（舍），42,16,60

（舍），65（舍），80（舍）,56,26,15,

符合要求的数为42,16,56,26,所以第四个数为26.

故答案为：26.

5.直线（：3x+〃z），+2=0与宜线4："a+3丁-4=。平行，则实数.

【答案】一3或3

【解析】

【分析】利用两条直线平行的系数关系可得答案.

【详解】由直线4：3^+〃少+2—0与直线，2：〃求+3），-4一0平行,

可得3x3=〃zx且Tx3工2x,解得/〃=-3或m=3.

故答案为：一3或3.

6.如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数犷•线图，由图判断从第

天开始，连续三天的跳绳次数方差最大.

【答案】4

【解析】

【分析】结合方差越大，说明数据的波动性越大，然后根据图表即口」判断.

【详解】因为方差越大，说明三天的跳绳次数越不稳定，

由图可知从4口开始连续4,5,6三天的跳绳次数方差最大，

故答案为：4

7.已知直线/的斜率&1,6],则该直线的倾斜角。的取值范围为

【答案】0号卜中,兀）

【解析】

【分析】根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围求倾斜角的范围.

【详解】由-IWkvJi，得-iwtanavji，

又“[0,兀），所以aw।吟卜J仔,兀）.

故答案为：

8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A8,C,DE,£G,H共八个点，一枚棋子起

始位置在点A处，每个相邻的两点间称为1步.抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的

点数为=2,…,6）,则棋子按顺时针方向前进i步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏

结束.试问游戏结束时棋子回到点A处的概率为.

【解析】

【分析】根据题意棋了•在点A处，可得两次骰了•点数之和为8,再利用列举法以及古典概型

的概率公式计算可得.

【详解】两次数字和为8H勺有（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）共5个结果，

其中抛2次骰子共有6x6=36种结果，

所以游戏结束时棋子回到点A处的概率P=—.

36

故答案为：——"

36

9.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点宛梦想”.某校组织学生参

与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7,6,8,9,8,7,10,〃?.若去掉〃?，该组

数据的第25百分位数保持不变，则整数，〃（iWmWlO）的值可以是___________（写出一个

满足条件的切值即可）.

【答案】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）

【解析】

【分析】由百分位数的概念即可得出答案.

【详解】7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉机，该组数据从小到大排列为：

6,7,7,8,8,9,10,则7x0.25=1.75,故第25百分位数为第二个数即7,所以7,6,

8,9,8,7,10,，〃，第25百分位数为7,而8x0.25=2,所以7为第二个数与第三个数的

平均数，所以〃2（14〃匹10）的值可以是7或8或9或10.

故答案为：7或8或9或10.

10.已知。是直线/：3x+4y-8=。上一动点，过点P作圆C：（x+2）?+（）一=3的

两条切线尸M，切点分别为M，N,则的最大值为.

【答案】y

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案.

【详解】由题意，得圆C：(x+2y+()，—1『=3的圆心。(-2,1)到直线/：3x+4)，-8=0

|3x(-2)+4xl-8|r

的距离d=J/~=2>V3=r,

V32+42

所以/与圆C相离，如图，可知当NW取得最大值时，归C|取最小值，归C|的最小值

为点。到/的距离，即俨C|=d=2,

此时sin/MPC=J1=所以=故N7WW的最大值为生.

PC233

11.体现中华传统文化的油纸伞至今己有1000多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地

面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹

角为60“时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭

圆的离心率为e,则/二.

【答案】36-5##-5+36

【解析】

【分析】将问题转化为二角形中已知两角一边求另一边的问题，利用正弦定理即可求得椭圆

的长半轴长，另外由平行投影的性质可知椭圆的短轴即为圆的直径，即可得解.

【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2。、2b、2c,

则2〃=4,如图，为伞沿所在圆的直径，C,B为椭圆的左右顶点，

由题意可得AB=4，则8=45，阳光照射方向与地面的夹角为60"，即C=60，

则NCA8=180-60-45=75，

sin75=sin(30+451=sin30cos45+cos30sin45=L立也走=瓜+五

v122224

2a_4

——嗜,艮福京即m+&一耳,

~4~T

解得°="述,而〃=2,

b2

故''I=1----4=3丛—5

8+4V3

亍

故答案为：36-5

12.已知曲线W:/+），2=4-附.关于曲线W的儿何性质，给出下列四个结论：

①曲线W关于原点对称；

②曲线W围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）:

③曲线W围成区域的面枳大丁8；

④曲线w上任意一点到原点的距离都不小于城.

3

其中正确结论的序号是__________________.

【答案】①③④

【解析】

【分析】对①：将（-%-力代入，依旧满足该方程即可得；对②，由曲线可得＜

X2+>'2<4

将所有整点求出即可得；对③，借助对称性，证明该曲线在第一象限部分面积大于直线

Q

x+y—2=0与坐标轴围成的面积即可得：对④由基本不等式可得f+）2之进而可■得.

【详解】曲线卬：/+），2=4一|引，将X换成一X,将y换成7,方程不变，

故曲线W关于原点对称，①正确;

22」」一3,要使均为整数,

x+y=4-\xy\>2\xy\f得

x2+y2＜4

则可得整点有（0,0）、（0,±1）、（±1,0）、（±1,±1）共9个,故②错误;

曲线卬：/+»,2=4_氏,|,将X换成-X,方程不变，故曲线W关于y轴对称,

故曲线W围成区域的面积大于8,只需在曲线第一象限的面积大于2,

当x＞0,y＞（）时，x2+y2=4-xy,得（尤=4+A＞，,

故x+y=14+处＞2,因x+y=2与X轴，》轴构成的三角形面积为2，

故曲线W围成区域的面积大于8,故③正确；

22QQ

由对称性，根据封《三上得不产+），2”4,得―+9之〜

223

故曲线W上的点（X,），）到原点的距离为&2+）,2＞半，故④正确,

故答案为：①③④

二.选择题（本大题共有4题，13・14每题4分,15/6每题5分,满分18分）

13.事件A与B独立，彳、耳分别是A、8的对立事件，则卜.列命题不成立的是（）

A.P（AcB）=P（A）P（8）B.P（AC8）=P（4）P（8）

c.尸（AUQ）=P（A）+P（町D.

P（XnB）=[l-P（4）][l-P（B）]

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、性质，结合概率的基本性质逐项判断.

【详解】对于A,由48是独立事件，得尸（Ac8）=P（A）尸（8）,A正确;

对于B,由A、8是独立事件，得人务相互独立，则P（Ac方）=P（A）P伍），B正确；

对于C,0（Au与）=P（A）+P（方）C错误；

对于D,由A、8是独立事件，得4分也是相互独立事件，

则P（Ac耳）=P（A）P（B）=[1-P（A）][1-P（8）],D正确,

故选：C

14.某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位：。C）

的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3,极差为2；

②中位数为7,众数为9；③众数为5,极差为6；④平均数为4,方差为2；则这四个样本

中，连续5天的日平均气温记录数据均低于10。（2的样本个数至少有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】将5天数据从小到大排序为：X，匕，%，七，七，对于①，由平均数为3得

%+W+玉+―+/=15,又极差为2,则占一％=2,/=%+2,可推导玉=1°，西＞9

与平均值矛盾；对于②，根据中位数，纵数推导即可；对于③，根据题意可推导第5天超过

10即可判断；对于④，根据均值方差推导即可判断.

【详解】设“连续5天的日平均温度均低于1CTC”，将5天数据从小到大排序为：

与，x2,xrx4,x5,

①选项，—---=——7------^=3,X]+x2+X,+x4+A5=15,工5—玉=2,工5=王+2,

若毛=%+2210,则为之8,

与平均数为3矛盾，所以①选项正确；

②选项，中位数是7,众数是9,所以将数据从小到大排序后，第3个数是7,

第4,5个数为9,所以5个数据都小于1（）,所以②选项E确；

③选项，众数是5,极差为6,如5,5,9,10,11，第5天超过10,不符合，所以③选项错误;

④选项，勺八2八37f=4,玉+/+&+$+%=20,

5

（%―4）~+（七一4）~+（七一4y+（儿_4y+（/-4y二2

飞"，

22

（内一4）2+（々-4）2+（七一4）2+（x4-4）+（X5-4）=10,

若天>1°，则七一4>6,（为一4）2>36,矛盾，所以④选项正确；

故选：C.

22

15.已知椭|员|C："+卷=1和圆4:W-2x+V=（）,P,Q分别为椭圆。和I员IA上的动

点，若尸为椭圆C的左焦点，贝ij|PQ|+|尸目的最小值为（）

A.6B.5C.9D.8

【答案】A

【解析】

【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三

点共线求得点P在0）处时，使得|PQ|十归目的最小值为6.

【详解】易知椭圆C：工十二=1中〃=4,c=2,即可得尸（一2,0）,

1612

又圆A:/-2式+_/=（）的圆心为4（1,0）,半径〃二1，

易知椭圆右焦点尸（2,0）,显然尸在圆A上，如下图:

易知椭圆上一点/，到圆A上任意一点Q的最小距离为归@=|网一r=|/科一1，

因此可将|尸@+|尸目的最小值转化为求归川+归口-1的最小值，

由椭圆定义可得|%+|依|-1=|刑+24-|夕厂[-1=|阳一|依什7之一卜曰+7=6；

此时点P在（-4,0）处，使得|夕。+|「耳的最小值为6.

故选：A

16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面极同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如

图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,

已知高尸0=2,底面圆的半径为4,M为母线PB的中点，平面与底面的交线“'_LA3,

则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（）.

3

D.-

5

【答案】D

【解析】

【分析】令双曲线为二=1，根据已知建立.合适坐标系,并求出双曲线参数,进而得

cr

4

渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值tan0=§,即可得其余弦值.

【详解】如下图建系，令双曲线为二一1=1,且|OP|=2,则。=1,

a~b~

如图，|O"|=2,|O£|=4,则|HE|=|H/q=2jJ,故尸（26,一2）,

2I?1

将/代入了2一r.二1,得4一屏=1,可得〃=4,故渐近线为y=±]R,

夕

-43

nI2

---

若它们的夹角为0,且tan一二一，则lanO=235

22--

2

三,解答题（本题共5道题，14+14+14+18+18,满分78分）

17.空气质量指数PM2.5（单位：Mg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这

个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5口均浓度0~3535~7575-115115~150150~250>250

空气质量级别一级二级三级四级五级六级

空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

甲、乙两城市2013年2月分中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5口均浓

度指数数据如茎叶图所示:

甲城市乙城市

302243204

489655

615164

787697

s230S807

9891809

（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明

理由.

（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质品类别均为优或良概率；

2

【答案】（1）甲；（2）

【解析】

【分析】（I）根据茎叶图，由中位数和数据的集中程度判断；

（2）利用古典概型，分别求得甲、乙两城市空气质量类别为优或良的概率，再利用独事件

的概率求解.

【小问1详解】

由茎叶图知：甲城市的中位数为：61,乙城市的中位数为79,

并且甲的大多集中在65以卜，乙的大多集中在76以上，

所以甲城市空气质量总体较好;

【小问2详解】

甲城市空气质量类别为优或良的有10天，

102

所以甲城市空气质量类别优或良的概率为「二一二一,

153

乙城市空气质量类别为优或良的有5天，

所以乙城市空气质量类别优或良的概率为P=^=?，

153

212

所以甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为^=4X4=3.

JJ7

18.已知双曲线。：二三一、=1（。＞0,匕＞0）的离心率为6，*3,26）为。上一点.

a2b2'

（1）求C的方程;

（2）过C的右焦点且倾斜角为30°的直线/交C于M,N两点，。为坐标原点，求MN的

长度.

22

【答案】（1）三一21=］；

36

⑵幽

5

【解析】

【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可;

（2）根据条件写出直线/的方程，联立直线与双曲线方程，求出N的坐标，再利用两

点间距离公式求解即可.

【小问I详解】

32(2可

=1

/b2

八£=6

由题得:，解得a?=3,b~=6，

a

a2+b2=c2

77

所以双曲线C的方程为:上上=1.

36

【小问2详解】

如图所示：由题得直线/的方程为)，=

5f+6x—27=0,

J92®

所以加卜3,-26)

2*[66

所以|MN|=-+3I+

15

19.某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100

份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：［40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中4的值与样本成绩的平均数；

(2)用分层随机抽样的方法从［70,80),［90,100］两个区间共抽取出8名学生，再从这8

名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间［70,80)的

概率；

(3)学校决定从知识竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设

三个项目，每个项目胜方得1分，负方得。分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高

I2

的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为彳，一，〃，各项目的比赛结果相互

25

37

独立，甲至少得1分的概率是4，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由.

JV-*

【答案】(1)4=0.03,平均数74分；

(2)-；

4

(3)乙最终获胜的可能性更大，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)由频率之和为1,结合频率分布直方图可得根据频率分布直方图的平均数

的计算公式求解样本成绩的平均数；

(2)根据分层抽样的方法确定从［70,80),［90,100］中抽取的人数，结合古典概型的概率

计算公式求解；

(3)根据题意由对立事件概率关系列式求得P,再分别求得甲，乙得到2分和3分的概率,

即可得到答案.

【小问1详解】

由题意得10x(0.005+0.014-0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03,

所以样本成绩的平均数约为

5=45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x（）.3+85x（）.25+95x0.1=74.

【小问2详解】

由频率分布直方图知，样本答卷成绩在［70,80）,［90,100］的学生比为3:1,

用分层随机抽样的方法从［70,80）的学生中抽取（x8=6（人），从［90,100］的学生中抽取

-x8=2（人）.

4

从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有8x7=56种情形，

第一个和第二个交流分享的学生成绩均在区间［70,80）,有6x5=30种情形，

第一个交流分享的学生成绩在区间［90,100］,第二个交流分享的学生成绩在区间［70,80）,

有2x6=12种情形，

30+193

故所求概率P=------=

564

【小问3详解】

乙最终获胜的可能性大；理由如下:

由题，甲至少得1分的概率是言，可得1一（1一3）1一■|）（1一〃）二1^

2

其中OWpVl,解得〃=«,

则甲得2分或3分的概率为：

2、1(2、2<221224

—+—X1——X—I——X—X—+—X—X—=—

15J215；15I2J515251515

所以乙得分为2分或3分的概率为乙最终获胜的可能性大.

20.已知圆例与直线J5/+），+2=O相切于点（一百』），圆心M在轴上.

<1）求圆M的标准方程;

（2）过点R（2,5）作圆M的切线，求切线的方程;

（3）设点。（0,3）,过点。作直线小交圆M于P,Q两点，再过点。作与直线4垂直的

直线4,交圆M于2尸两点，记四边形石PFQ的面积为S,求S的最大值.

【答案】（1）f+（y_2f=4

(2)x=2或5X一12)，+50=0

（3）7

【解析】

【分析】（1）设M（0,。），由圆与直线、/Ir+y+2=0相切于点（一行,1）,可求得Z?=2,

从而可求出半径厂=2,即可求解；

（2）当切线斜率不存在时，则直线x=2,即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在

时，设出直线丁一5=%（工一2）,再结合点到宜线的距离公式即可求得％=得，从而可求解.

（3）法一：分情况讨论直线乙无斜率时、斜率为0时、斜率存在且不为。时，相应的直线

情况，再结合直线与圆相交求出相应的|PQ|,即可求解：

法二：设圆心（0,2）到直线4距离4,到直线4的距离4，可得则|PQ|=2产下，

|防二254-肉,再结合片+片印，从而可求解.

【小问1详解】

设,由圆与直线Qx+）,+2=0相切于点（-瓜1）,

组

b—1，解得〃=2,所以M（0,2）

、()-(-扬3

则圆M半径〃=J(-6-0尸+(1—2)2=2，

所以圆M的标准方程为A2+（），-2>=4.

【小问2详解】

当切线斜率不存在时，直线为x=2,显然圆心M（0,2）直线到工二2的距离为2,等于半

径，

所以直线x=2与圆M:V+（y-2）2=4相切;

当切线斜率存在时，设切线方程为y—5=〃（x—2）,即如-〉，+5-2々=0,

\3-2k\-5

由圆心到切线的距离为2得，I=2,解得％=一,

J1+公12

则y—5=V(x—2),整理得5x-12y+50=0,

综上，切线方程为3二2或5x—12），+50=0.

【小问3详解】

法一：当直线4无斜率时，归。|=4,但6=26，S=^\PQ\-\EF\=4y/3,

当直线4斜率为0时，|PQ|=26，怛目=4,S=g|PQH"|二4jL

当直线4斜率存在且不为。时，设直线人为y二丘+3,即丘一y+3=。，

/、一2+31

则圆心（0,2）到宜线4距离4='1=-r^=

，K+1\Jk-+1

所以|PQ|=2

因为/JL用一，替换上式中的k可得恒用=2

则

S*加昨2窄沪12伏。+2/+1）+公匚再

/+2父+1=2\2+F+2F+T

=212+----!-——<212+.1—=7

N\2-£+2，

当且仅当K公即々=±1时取等号

综上所述，因为7>46，所以S的最大值为7.

法二：设圆心（0,2）到直线4的距离4,到直线乙的距离出，

则|PQ|=2万“，好|=2"-4,

又直线4与直线4垂直，所以d；+d；=l,

S=3E叩PQ|=2j（4-d；X4一片）44―/；）+（4-片）=7,

当且仅当4=4时取等，所以S的最大值为7.

21.由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶

点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称

这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比：如图1,为左、右焦

点分别为片，F?，上、右顶点分别为A,A的椭圆a；如图2,为左、右焦点分别为尺，

F2,上、右顶点分别为A,9的椭圆G：若△A8K与二ATT鸟相似，则称椭圆q.C2

似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆。|：!+当=1的一个“相似椭圆”；

（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

22

（3）若椭圆G与椭圆。2：曰+?=1相似，相似比是石，直线/：）‘=丘+6与椭圆G，

G交于四点（依次为M,N,P,Q,如图），且MO+PO=2NO,证明：点丁（A,m）在

定曲线上.

%

【答案】（1）不是，理由见解析；—4-^=1（答案不唯一）;

1612

（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（I）求出两椭圆的焦顶三角形的三边，根据三边是否对应成比例即可判断；根据“相

似椭圆”定义利用比例关系O'b\。2=4：3：1即可求解；

（2）利用从。的关系依次证明必要性和充分性成立即可得证；

（3）首先根据相似比求科椭圆C1的方程，然后将直线方程分别代入G和G的椭圆方程，

利用韦达定理求出根与系数的关系，进而得到弦长公式，再结合题设向量关系推导出弦长之

间的比例关系，通过等式化简得到关于A-和机的关系式,从而确定点丁（太〃。所在的定曲线.

【小问1详解】

椭圆G，G不是“相似椭圆”，理由如下:

椭圆C：三+工=1中，忸周=2-1=1,MK|=2,=

3

Y2v2

椭圆G：/行=i中，口