苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 向量的数量积（二）

第二课时向量的数量积（二）

课标要求素养要求

进一步掌握平面向量数量积的运算律及通过运月平面向量数量积的运算律及平

常用公式；会利用向量数量积的有关运面向量数量积的综合应用，体会数学抽

算律进行计算或证明.象及数学运算素养的生成过程.

课前预习知识探究

自主梳理

1.平面向量数量积的运算律

类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.

运算律实数乘法向量数量积判断正误

交换律ab=baab-ba正确

结合律(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)错误

分配律(〃+h)c=ac+be\a+b)c=ac+he正确

消去律ab-bc(b^O)na=cab=bc(bWO)=>a=c错误

。点睛

向量的数量积不满足消去律：若。，6C均为非零向量，且〃力=b・c,但是得不

到a=c.

2.平面向量数量积的运算性质

类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.

多项式乘法向量数量积

(a+b)2=a2+lab+b2(a+b)2=a2+2ab+b?

(a-b)2=a2-lab+h2(a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)(a-b)=a?-b?

(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2hc+(a+b+c)2=，+/+c2+2ab+2bc+

2ca2ca

自主检验

1.思考辨析，判断正误

(\)ABAC^ABCD=AB\AC+CD)=ABAD.(V)

提示由数量积的分配律可知其正确性.

(2)A(ab)=/.ab.(J)

提示由数量积的运算律可知^ab)=Xa-b.

(3)\a-2b\=yl[a-2b)2.(V)

2.已知非零向量a,。满足(a+))_L(a-)),贝lj()

A.a=bB.|a|=\b\

C.albD.a//b

答案B

解析・・♦(a+b)_L(a一方)，I.(a+b>(a—力)=0,：.\a\2~\b\2=O,：-\a\=\b\.

3.设向量a,力满足1〃+加二｛T6,\a-h\=<\/6,贝Ija仍二()

A.lB.2

C.3D.5

答案A

解析|a+例2=/+2。力+力2=]0,|。一例2=Q2—2。力+力2=6,/.4«.^=4,:.ab

=1.

4.已知同=2,\b\=\,〃与力夹角为60。，则|。-4"|=.

答案2小

解析\a-4b\=yj(a—4Z>)2

=<<?+16b2-8a仍

=^/22+16X12-8X2X1XCOS60°=2s.

课堂互动题型剖析

题型一向量的夹角与垂直问题

【例1】⑴设向量力满足Ml=1团=1及|3〃-2加=由，贝IJa.6的夹角为（）

C_-74tD_T2n

答案A

解析设。与b的夹角为仇

由题意得(3。-26)2=7,

・・・9|〃F+4制2—12°仍=7,

又⑷=向=1,・・・9+4—12。协=7,

1

..ah__2__!_

**cos〃=丽=而=]

jr

又0£[0,n],：.a,b的夹角为Q

J.

(2)已知Ml=2,|^|=1,向量方的夹角为60。，c=a+5b,d=ma-2b,则m为

何值时，。与d垂直？

解由已知得。力=2X1Xcos60。=1.

若c_Ld,则cd=0.

cd=(a+5b)\nia—2b)

=ma2+(5m—2)ab—\0b2

=4〃z+5m-2-10=9/»-12=0,

..一4

••tn—3・

4

故当m=g时，。与d垂直.

思维升华求向量夹角的基本步骤及注意事项

(1)步骤：

（2）注意事项:在个别含有⑷，向与eb的等量关系式中,常利用消元思想计算cos

。的值.

【训练1】已知非零向量也〃满足4|诩=3|〃|,帆与〃的夹角为"cos"；,

若〃_L（〃〃+〃），则实数，的值为（）

A.4B.-4

-9n9

C-4D.-1

答案B

解析由就思知，cosd=而而=“=不

所以如〃=；|〃F=%’.因为（〃〃+〃），所以〃♦（"〃+〃）=（）,

所以〃2〃+/=0,即；〃»+，『=（；/+1*=0,

所以5+1=0,所以/=-4.

题型二向量的模问题

【例2】已知向量明b满足例=2团=1,a_L（2）,则|2。+>=（）

A.3B#

C.&D.6

答案B

解析由aJ_（a—。）且例=2m=7,

得〃•（0一力）=/—。仍=；—。.力=o,

：・（rb=4,\2a~\~b\=y^4a2-\-4a•b+b2

=74*(¥+4*(+12=/

故选B.

思维升华求解向量模时，首先要求向量自身的平方即模的平方，然后进行开方

运算即可.

【训练2】若向量。，6满足同=地，|例二2且(Q-勿_1_兄贝1]|。+句=()

A.3B.2啦

C.10D.回

答案D

解析V(a—^)±a,.\(a—b)*a=Ot

即|〃|2—〃•/>=〃，.•.〃5=〃2=2,

\a+b\=y^(^-\-2a-b-\-b2=yj(y[2)2+2X2+22=y[]b.

故选D.

题型三判断三角形的形状

【例3】若P为△ABC所在平面内一点，且国-两二|成+而-2无则AABC

的形状为()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析因为|成一两=|成+而一2的，

所以|丽|=|(庆一南+(而一南|=|必+磁

^\CA-CB\=\CA^CB\,

两边平方整理得N♦屈=0,

所以以，小，所以△ABC为直角三角形.

故选C.

思维升华该题的已知条件中含有点P,而解决的问题是判断△ABC的形状，显

然点。的位置与三角形的形状无关，所以应该考虑利用向量的线性运算，将式子

方+两一2无中的而分别与方，两相结合，这是解决本题的关键所在.

【训练3】已知。为平面内的定点，4B,C是平面内不共线的三点，若（丽-

OC）iOB+OC-2dA）=0,则△ABC的形状是（）

A.以A8为底边的等腰三角形

B.以8。为底边的等腰三角形

C.以为斜边的直角三角形

D.以BC为斜边的直角三角形

答案B

解析设BC的中点为M,则化简（协一次7）.（丽+历-2醇）=0,得丽.（筋+病）

=油-2危=0,・・・丽_1_4而，・・・AM是△4BC的边5c上的中线，也是高，故AABC

是以8C为底边的等腰三角形.

•课堂小结，

一、牢记1个知识点

数量积的运算律：满足交换律、分配律，但不满足结合律和消去律.

二、掌握2种方法：利用数量积

1.求向量的模：同=迎.

a・b

2.求非零向量a,b的夹角cos8=丽（0。・6^180。）.

-----------■分层iJII练，-----------------------------------------------------素养提升

基础达标I

一、选择题

1.（多选题）下面给出的关系式正确的是（）

A.09=0B.ab=ba

C.a2=|a|2D.|“创Wcrb

答案ABC

解析|a/|=|a|例cos力（。为〃与力的夹角），故D错，其余选项均正确.

2.（多选题）对于任意向量a,b,c、下列说法中不正确的是（）

A.la-^l=\a\\b\B.\a+b\=\a\+\b\

C.{ab）c=a（bc）D.|〃|=

答案ABC

解析因为a-b=\a\\b\cos虱。为a与b的夹角），

所以|a力|W同协I，所以A错误;

根据向量加法的平行四边形法则，|。十例＜|。|+|可，只有当。，力同向时取“二”，

所以B错误；

因为（a・b）c是表示与向量c共线的向量，。（万。）是表示与向量〃共线的向量，所以

C错误；

因为a-a=|a||«|cos0=|c|2,

所以同=而，所以D壬确.

3.已知。，儿㈤=2,历|=3,且3a+2力与觞一力垂直，则见等于（）

33

A，2B.-2

3

C.巧D.1

答案A

解析・・・3a+2b与北一〃垂直，

J（3〃+2））•（加-b）=32a1+（22—3）。力一2b2

=37/—2从=122—18=0,

4.已知〃，b方向相同,且闷=2,向=4,则|2。+3同=（）

A.16B.256

C.8D.64

答案A

解析・・・|2。+3呼=4/+9乒+12。力=16+144+96=256,...|2。+3〃|=16.

5.设非零向量”，b,c满足⑷=|〃|=2|c|,a-b=2c,则。与》的夹角。二()

A.1500B.1200

C.60°D.30°

答案C

解析a—b=2c,

：.(a-b)2=4c2,即⑷2+回2-2ab=4|c|2.

又⑷=|例=2|c|,・・・2。)=同2,

即21ali回,cos6=|。|\

・・・COS6=5，又0°WeW180。，

乙

・・・夕=60。.

二、填空题

6.若同=1,向=2,c=〃+b且c_L”，则向量。与b的夹角为,(«-b)c

答案1200-3

解析由cJ■。得，℃=0,所以〃•c=0(〃+))=O,即，+e》=0.设向量〃与》

的夹角为。贝Ucos。=氤=瑞=一2，又()°wewi8()。，所以向量。与6的夹

角6=120°.

(a—b)c=(a—b)(a-\-b)=a1—b2=1—4=—3.

7.已知〃，力是非零向量，当〃+必(WR)的模取最小值时，b\a+tb)=.

答案0

解析\a+tb\=yj(〃+而2=^cr+fibr+lta'b

=、/l肝7+2。彷j+laF,

CA

工当」=一亦P时，M+向最小,

此时b(a+tb)=ba+tb2

=ab-\~

•*»b\a-\~tb)=O.

8.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b-(a~b)=Ot则血的取值范围是

答案[0,1]

解析当力=0时，符合题意；当方W0时，1・(。-6)="二一|郎=|。肪|cos6一肝=

0,・・・，=|a|cos6=cos0(。为。与〃的夹角),又夕£[0,呼OOW|〃|WL

三、解答题

9.已知向量a,力的夹角为6()。，且|。|=2,步|=1,若c=2a-"d=a+2bt求:

⑴cd；(2)|c+2dl.

解(1)c・d=(加一〃)。+2b)=2a2-2b2+3ab

=2X4-2X1+3X2X1X^=9.

(2)|c+=(4。+3b)2=16/+9b2+24ab

=16X4+9X1+24X2X1X^=97,

・・.|c+2M=顺.

10.设两个向量ei,02满足⑶|=2,⑻=1,ei与&的夹角为生若向量2/ei+7e2

与曰+心的夹角为钝角，求实数，的取值范围.

解•向量2/ei+7e2与0+/。2的夹角为钝角,

.,.(2fei+7。2>®+g)<0,

/.2/2+15/+7<0,—7</<—

当2fei+7及与ei+超2的夹角为兀时,也有(2®+7e2),(ei+fe2)<0,但此时夹角不

是钝角.

设2/ei+7^2=2®+g)(7<0),

・；7=比又人。，♦•(=_乎

故一7<f<一：且f/一^^,

乙乙

.I的取值范围为一7,—书可口(一^^,—

能力提升I

11.在△ABC中，AB=c,BC=at以=>且a-b=b-c=c-a,则△ABC的形状是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

答案D

解析在△ABC中，易知筋+反1+C=0,

即a+〃+c=O,.•.a+c=—byb+a=­c,

(a+b)2=(一c)2,

从而J/、2/八2两式相减得

(〃+c)2=(—b)2,

b2+2ab—c2-2ac=c2—b2,

贝ij2b2+2(a-b—a-c)=2c2,

又•：a・b=a*c,••2b2=2c2.

即网=|c|,同理可证|。|=|)I，

故△ABC是等边三角形.

12.已知|〃|=2|。|=2,e是与。方向相同的单位向量，且向量〃在向量。方向上的

投影向量为-e.

(1)。与方的夹角。二；

(2)若向量加+》与向量a-3b互相垂直，则A=.

答案⑴,(2*

解析(1)由题意知⑷=2,步|=1.

又。在》方向上的投影向量为⑷cos8e=—e.

所以cosO=—又。£[0,兀],所以。=专.

(2)因为脑+力与a—35互相垂直，

所以(2a+力)•(〃-3〃)=初2—3入。b+ba—3Z>2—4A+3A—1—3—72—4=0,

4

所以4='.

13.已知平面上三个向量a,b、。的模均为1,它们相互之间的夹角为120。.

（D求证:（a-b）±c；

⑵若依+A+c|>l（右R）,求％的取值范围.

⑴证明因为⑷=|"=|c|=1,

且a,b,。之间夹角均为120°,

所以（a—b>c=ac—bc

=|a||c|cos120°-|^||c|cos120°=0,

所以（a—力）_Lc.

⑵解因为欣a+b+c|>l,

所以（力十力+c）2>l,

即k^a2+Z>2+c2+2ka-b-\~2kac+2bc>1.

因为ab=