数列通项求法解答题技巧（培优题型专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题03数列通项求法解答题秒杀攻略

I目录

!第一部分题型解码微观解副，精细教学

|臼典例剖析白方法提炼臼变式训练

i题型01利用定义求通项公式

:题型02累加法求通项公式

!题型03累乘法求通项公式

I

，题型04利用a“与S0关系求通项公式

；题型05构造法求通项公式

；第二部分强化实训整合应月，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型01利用定义法求通项公式

典例剖析

【例(2025•四川内江•一模)已知篦是等差数列｛为｝的前〃项和，品)=25,5%=100.

⑴求

(2)将数列｛凡｝与｛底｝的所有项从小到大排列得到数列出｝,求数列乃二的前〃项和.

【例1・2】(2025・四川绵阳•模拟预测)已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S”，且S4=6S「8,%=2%+6-1.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)试探究：在数列｛q｝中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由.

方法提炼

-基本方法｛已皿公*3：使用公式A-

JOa.«ntk):tftA.=ai♦(n.1>J透这方程电解出。ifW.再写透我

等差效列通项求解

-利冏例「每口氧通助一e®Sg*达式BT/算・，-8〃当c±2时.4・氏・&•

L*牌彳■中珀一苫三ZUbc成■■俵夕J.«2b»e*c.可用于32方帽关系求加K或公■

己JD・项a、IO公珈；■搐使用公式&,56，

方法

BWfWRIfla^Oa.(m^>:i«黑式帆・两去a，,先求5再救，

等比数列遇项求第

一用照前逢小必取—已gfl源达式的：计■・，・§，，当H22射.

利用峥比中不——套三个敷。be或易比数列，H^-ac(S.bcR9).可用于it立方卅关系求中。H公比

等发一■比：SMWft.酬，4叫。比|"OW)

Wtt・■■覆N.比0M).咏(00.31)

等差与等比混合向心

®»1：c.»a,*U(等最♦易比),£别求tHW分如■比图分脸坳.也EcgW

姐合默列求i9m

M2:C.-Kb.(■量”・比),同月■位相理幺求JKZfiXL通珀为1UR龙式

r等星救列的•，这一定义法、中取法.通不法.RnWOi

定义法求通项数列的别定与证明卜-等比敷列的网匠一定义法.中曜法.遢不法

匚唯校巧一钻nan砌懒r刊用已如聚伸■立关第.

，IH5夕的谓：岩图程式力g可化加一“，京威,则为

■比我列构值：若1M式力A，*PA(P*0).JM为0比；自遂推式为A，*PA*q(p*1>.可@A♦△=1)(<.•,MRifllltt

<公IfdW.dcowawtd«w为京敏列，的曲用后妁加：型•变号句.S.fttiHa

峥比UL列■值：由苗如，帕公比由注■公MUE负♦□电对值大小

综合也与颇

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I■比藏夕膻勺按比例变化.如■忖UH.如吩*.•1比射洌未如公式含IBU：®

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定乂*：通常力正婚K

帽I情况：鼎比0%的公心不ISO.-B即冰力0

注意♦项

ttil求出通06.fi®i£n-i.2.3a91t»

公式送纣tM巳江康杵透播•台诩公式

【变式1-1](2025•陕西西安・模拟预测)等差数列｛〃”｝的前〃项和为S“，数列作”｝是等比数列，满足q=3,

4=1,b2+S2=10,a5-2b2=ay.

⑴求也｝和｛2｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝满足％T=&，Q.=(-1)Z也，求数列｛%｝的前2〃项和心，

⑶求'(-1)'若2〃€N")的最大值和最小值.

【变式1・2】(2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测)已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，且S“二,”?.

⑴求6的值及｛4｝的通项公式;

(2)若。=(2n-i)an,求数列也｝的前〃项和7；.

【变式1・3】(2025•甘肃武威・模拟预测)已知数列｛〃“｝满足—=3%+2”，且6=1.

(1)证明：数歹时q+2"｝为等比数列，并求出｛《,｝的通项公式；

(2)设4=—^,求数列也｝的前〃项和7；.

“I

题型02累加法求通项公式

典例剖析

【例2・1】(2025•云南昆明•一模)已知数列｛«/满足q=1,〃=色土工.

n+2〃

?51

⑴若一立，E，1成等差数列，求怎

⑵求%.

【例2・2](25-26高三上•江苏南京•开学考试)对于数列｛〃”｝,记二〃wN*,称数列｛△〃“｝为数

列㈤｝的差分数列.

⑴己知4=〃2+〃+1,证明：｛为｝的差分数列为等差数列；

(2)己知｛q｝的差分数列为1号浮卜％=1,求包｝的通项公式.

方法提嫌

W本阳路一逐差双加一通过送程关系式倔-0.1=/(n)逐项双加，消之中间项

核心思想与本质

本质——递推式ant乐和一利股6去港元原在，简化数列求《1过程

差分形式：a.-a..=/(n)(n>2)

标准彩式-----阶线性递推广义形式：a.=a.，+/(n)(n>2)

察数相等且差值为的政

下凉平格：0.-1—a.=/(n)

适用递推式特征可转化情况——平移与移项直接移项：a.=a,，+g(n)

代数变形化为行准形式

系数相等：a与“，(或备，与%)

关我飒标志——第S与表达式差力国数：等号8一边是只关于n的表达式/(n)

-口诀：•同系数.差为论•

1人形式确保递报式已化为0.-0,.=f(n)(n>2)

累加法求数列通项公式写出所有差分式从11=2到1!=1(,列出所有差分式

卜累加求和左边消元后将0n-a..右边为/(2)到/(n)的和

标准网陟赛五步法a.=a.+£/(*),k从2到n

整理结果

若/(1)若定义，可写作“=5+£/(k),k从1到，(需豌证

计UE〃灼的KL可解周酬》差.等比.整项等求和方法

代入。，的值.结果分段给出

「HWfctn--a..=/(n)KUJln>2fiESZ

-累炳从n=2开始.到n结束

(-起始项n的范四-

-必须隼独给出n=1时的值(通常是巳知的a，)

L结果要写成分段形式：<u=ai,n=l;ai+£/(*:),n>2

「从n=2J«t剧”=瓦共有(k-1)项,不息及项

-项数计H杷误

工检验方法：末项下标《由项下标加1：(n-2)+1=n—1

卜-求和公｛对/(*)求和时，要看清k的起始值

易错点与注意事项

由8套公式n(n+1)/2会多建第一场

「累到的泗项公式是■于”>2冠导的

-忽略检证n=1--必须|&证n=1时公式是否成立

L睑证方法：«n=1代入遇项公式，看量否等于已知的5

「素阐使用k作力求和变量，避免与n混淆

L下标程1

工酒16写出：a.=a，+k=2到，I

【变式2-1](2025・甘肃白银•模拟预测)已知首项为1的正项数列｛叫满足〃：=8〃.

⑴求｛q｝的通项公式;

⑵令，Kt*)

(〃eN‘)，求数列出｝的前〃项和S“.

7r+l7

【变式2・2】(2025•广东广州•三模)己知数列｛〃,,｝满足6=1,%=6,且对任意的〃22,“cN’,都有

/++%T=%+3.

⑴设向一%,求证：数列｛仇｝是等差数列，并求出其的通项公式;

⑵求数列｛4｝的通项公式；

2131

⑶若%=彳〃“+K〃一2,求｛一｝的前〃项和

33[cn\

【变式2・3】(2025・安徽•模拟预测)己知｛可｝为等比数列，间为正整数〃的最大奇因数，幼，且

J-1

4=仄+b2,a2=4+I.

⑴求知;

(2)写出〃N2时，。”与的关系；

n]

(3)求证：E万<1.

；=IM

题型03累乘法求通项公式

典例剖析

【例3・1】(2025•河南信阳•模拟预测)若数列｛%｝满足：当〃为奇数时，当〃为偶数时,

凡牝+1=.则称数列｛%｝为和积交替数列.

(1)若数列1，a,b,6为和积交替数列，分别求实数a,8的值；

⑵若数列｛4｝为和积交替数列，且6=2,

(i)若3是数列㈤｝中的项，求实数，的值；

(ii)若“2=2,证明：%,222"’.

【例3-2](24-25高三下•江苏南通・月考・)已知数列｛4｝的前〃项和为S"=4,2\

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)设a=争，数列｛4｝的前〃项和为小证明：Tn<3.

方法提炼

=/(〃-1)

。“7=/(〃-2)

形如%•/(〃)/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造:an-2

”=

9/(D

将上述叫个式子两边分别相乘，可得:4=/(，?—1)/5-2)•42)/⑴4,(,*2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

-・本咫路{逐比索索—将散列的潮tt关系式从n=2»n逐一写出并相乘

妁分消元一左边忸累时，中间设妁分，只则首丽秘

核心思想与本质

L本度一递问的累积求粮—利用乘法消元.本质是曲《式的聚积求积

标追影式」：f比傥潮8形式一小/%«=/(n)(n>2)

f织性逢%形式a»=a.>•/(n)(n>2)

L下除整体平移一a»"%=/(n)

可林化为玩准形式的况-

J■接移至一a.=%«-p(n)

成比例关系一%与&T或4“与&)成比例关系

关*识«施-f(n)的料性—片号另Tfl«RX于n的米达式/(n),不含％Ka.>

口诀—•同率比，高为的.

■U形式■保递推式已化为a./a..=/(n)(n>2)

写出所有比例式从n・2Hn・k.Jft£n>n,写出将一切的比例式

索察求根将所有比例式左&两边相乘,妁分后的熟A/。，

标准解题步SE

SiftSK=a>Xn/(fc).X中k从2到n

累乘法求数列通项公式计II连S!枳口/(小),并代入s的值

化德溥臬职

结鬓分现表示.尸1射续通给出，心2时用连乘双公式

厂技巧1：前后项的分—适用于分子分母再连续融数关系的蓬察积

一技巧2：分馆馆合一将Rk)分解为几个88分的第胴，分别处理

外记阶累隹应义和住48

连乘积化简的核，|>技巧模赫工

一技巧3:WW

注意起始《6不同时的费隹：mx(m+l)x...x»=n!/(m-1)!

取对数转化为求和{对于双今连累,先取对敏再求和，■后取指数

匚技以：

i3用于f(k)为"相函款等情况

-韭零前阻条件(使用累累法前•保所有项�,否则号瑚行

治证万法：潮tt几项,一保不会出现零值

次察法欧认从n«2开始，需串拽给出n«1时的值

-12始项n的茏网{

结a=ai,n=l;a>Xn/(fc)tn>2

累耐共有(4-1)个因子相桑，从心2到

-用敷计HHIiS」"

易错点与注意事项

法：(n—2)+1=n

象厢去公式・于02推寓通证n-1时是否成立

-忽略拴证n-1{

洽证万法：代入ML■结果是西等于已知的声

-透基积化湎增设一燃免却04记项.正行给乘和指W

l未化餐剑・简形式—连BWRiSH应化为■葡形式.避免保用n符号

s./

【变式3・1】（2025♦河南•模拟预测）已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且色=4乜

nn

（1）若邑=2,求心；

⑵若%=2a,,求—关于n的表达式.

%

【变式3・2】（2022・福建南平・三模）已知数列｛q｝满足q=I,乎:蜉•

71

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵若他｝满足电=2q「24,K="22.设S.为数列也｝的前〃项和，求S2G.

【变式3・3】（24-25高三上•山东德州•期中）在数列｛4｝中，％=1,其前〃项和为S”，且

，电-S〃_]=（〃一+4一]）（〃之2且〃eN.）.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵设数列出｝满足“=仔-143",其前〃项和为7；,若空三»k（〃2+9卜3"恒成立，求实数4的取值

范围.

题型。4利用“早关系求通项公式

典例剖析

【例4・1】（2025・贵州遵义•模拟预测）已知数列｛〃”｝的前〃项和S”，且满足S“=等，数列也J为公比大

于0的等比数列，且优=%,b4=a21.

⑴求4，如

（2）令%=4•",求｛%｝的前〃项和工一

[^14-2]（25-26高三上.江西上饶.月考）记S,为数列｛%｝的前〃项和，已知生=-2,2S.=〃（％-4）.

⑴求修；

（2）求数列｛4｝的通项公式；

⑶求数列｛（2"+1）凡｝的前〃项和口

S、,（n=1）

方法提煤1、求数列｛4｝的通项为可用公式%=°c,、、构造两式作差求解。用此公式时

S-Sn.,（.n>2）

要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1和巴合为一个表达,

（要先分n=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）

求山一到S、衰达式中孵到a1

r求解步笫

求a、（ni2）-----a«=S.-।