椭圆（第二课时）课后练习 -2025-2026学年高中数学选必修第一册（湘教版）

3.1椭圆第二课时课后练习

班级:姓名：

一、单选题

1.1.若直线y=x+2与椭圆工+目=1有两个公共点，则m的取值范围是()

m3

A.(―co,0)+8)B.(l,3)D(3,+8)

C.(—oo,—3)D(—3,0)D.(1,3)

22

2.不论人为何值，直线y="+i与椭圆土+工=1有公共点，则实数机的取

6m

值范围是()

A.(0,1]B.[l,y)C.[1,6)LJ(6,+OO)D.(-OO,0)U[1,+OO)

3.若直线与G)。：N+)2=4没有交点，则过点P(〃2,〃)的直线与椭

22

圆上+工=1的交点个数是()

94

A.至多为1B.2C.1D.0

4.已知椭圆氏《+)，2=1,P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为J的

42

直线/与E交于M,N两点，则|PM『+|PN|2的值为()

A.4B.5C.6D.7

二、多选题

22

5.设椭圆土+匕=1的右焦点为F,直线>=根(0</??<73)与椭圆交于A,

93

3两点，下列结论正确为()

A.HQ+IBFI为定值B.ZkAB尸的周长的取值范围是[6,12]

C.当机=@时，△为直角三角形D.当m=l时，△AM的面积为迷.

2

6.已知椭圆。：［+卷=1内一点”（1,2）,直线/与椭圆。交于A,3两点,

且W为线段A3的中点，则下列结论正确的是（）

A.C的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）B.。的长轴长为2a

C.直线/的方程为x+y-3=（）D.幽=速

3

三、填空题

22

7.直线。）与椭圆点+£=1的位置关系是相交.（正确或错误）

8.曲线），={1-?与直线）,=2x+〃2有且只有一个公共点，则实数力的取值范

围是_____________.

四、解答题

9.直线＞y-6=。与椭圆］+丁=1有且仅有一个公共点，求相的值.

.＜1*rz

10.已知椭圆二畜/=工（q＞。＞0）过点"（0,2）,离心率0=空.

疝的3

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线）二'-1与椭圆相交于.，、3两点，求

22

ii.已知点a-2,1）在椭圆c：=十二=1（〃＞0）上，动点都在椭圆上，且直

a2

线48不经过原点。，直线OP经过弦A3的中点.

（1）求椭圆。的方程;

（2）求直线A3的斜率.

参考答案

1.B

【分析】

3+mw0

将直线方程代入椭圆方程中消去工，由题意可知4“2/°、八求出

A=16m--4m(3+>0

机的取值范围，再由工+工=1表示椭圆求出团的取值范围，然后求交集可得

m3

答案

【详解】

y=x+2,

由，了2y2消去y整理得(3+"2)工2+4〃优+加=0.

一十—=L

,m3

(3+mwOfm—3

若直线与椭圆有两个公共点，则L%2/八、八解得/八或\1

[A=l6"-4m(3+f?t)>0[叫。或〃z)1

22

由土+匕=1表示椭圆,知一>0且—3,

m3

综上可知，m>1且,"3,故选：B.

2.C

【分析】

求出直线所过定点，只要定点在椭圆上或在椭圆内部即可得.

【详解】

直线)，=丘+1过定点P(0，l),则由题意又〃2>0,所以加2/,方程表示

m

椭圆，"2。6,故选：C.

3.B

【分析】

根据直线与圆没有交点可得小+层＜4,即可判断点(〃2,〃)在椭圆的内部，即可

得出结论.

【详解】

•二直线〃和圆。：N+y2=4没有交点，

2

■「42■帆2+振<4­.4-m_52

••/zr,••iTi।n，••--------1-------<---------1----------------1m<1,

\!m2+n~949436

V2V2

・••点(〃2,〃)在椭圆二+L=1的内部，

94

22

，过点(加，〃)的直线与椭圆二+匕=1的交点个数为2个.故选：B.

94

4.B

【分析】

设出点P和直线/的方程，联立直线和椭圆方程得出韦达定理，结合两点距离

公式和韦达定理化简|P例『+|PN『即可求解.

【详解】

设P(〃2,O)(-2＜机＜2),直线/的方程为y=，欠一"2),加(西,力)”(工2，%)，将直

线方程代入椭圆方程并化简得到2f-2〃a+4_4=0,进而有

nr一4

玉+9=m,x1x2=---,

所以|A/P『+1PN『=&一m『+犬+(9-加1+yl

22222

+x2)-2m^x}+A2)-2X(X2+2m=—m-2m--4)+2m=5.

故选：B.

5.ACD

【分析】

由椭圆的定义判断A；由IA用+|8义为定值以及|A8|的范围判断B；求出A3

坐标，由数量积公式得出4D3/=0,可判断C；求出4B坐标，由面积公式

得出/的面积，可判断D.

【详解】

设椭圆的左焦点为F，则IA面H"焦

・・.|A尸|+|BF|=|AF|+|4尸|=6为定值,A正确;

22

由椭圆——I-——=1,口J得。=3,贝lj2。=6,

93

因为0＜相＜6,所以MBI的取值范围是(0,6),

的周长为IA3I+IAPI+I3可，因为IA尸|+|3尸|为定值6

・・・，谢的周长的范围是(6,12),B错误；

将)•=日与椭圆方程联立，可解得A(—苧,等)，B寺号)

373Y/73百13八匚匚7

+-z-V6一一—+-=0,所以

・・・..45歹是直角三角形，C正确；

将y=1与椭圆方程联立，解得4-n』），B（瓜1）,，SABF=；X2~XT=戈,

D正确.故选：ACD.

6.CD

【分析】

由题意可求得凡。判断AB,利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C,

联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D

【详解】

由C:三+工=1,得椭圆焦点在y轴上，且/=86=4,则

48

a=2◎力=2,c=用了=2,所以椭圆的焦点坐标为（。，2）,（0,-2）,长轴长为

2a-4>/2，所以AB错误,

7222

设44乂）,3（々,月），则工+里=1,二+工=1,

4848

两式作差得（'一七心+&）（，一%）（，+%）

48

因为"（1,2）为线段A区的中点，所以％+勺-2,y+%=4,

2（玉+工2）2x2

X-%=—1

所以~4~

%1-x2>1+%

所以直线/的方程为）-2二-（x-1）,即x+）-3=0,所以C正确,

v-22J

由丁+J=］和x+y—3=0,得3/_6尤+1=0,则西+&=公王9二；，

483

所以|A以二J（玉+々）2-4%％=0x,4-g~~Y~，所以D正确,

故选：CD

7.正确

【分析】

联立直线与椭圆方程，通过/判断即可.

【详解】

VV1

----+-----1

由<42b2可得：b2^+a2k2^-lax+cr^-crb1=0,

y=k^x-ci）

g|J[crlc+Z?2）x2-2a,lcx+cr[crk2-/72）=0,

A=4%—4/（〃242+庐2_/）=4a6/_4/（44一雷）=>（）,

故直线）=小一〃）与椭圆£+工=1的位置关系是相交.故答案为：正确.

erh~

8.-4</n<4§£/77=V17

【分析】

将直线与半椭圆的方程联立消元，利用判别式和已知的位置关系可求实数实数

加的取值范围.

【详解】

曲线y=即为曲线1+y2=l（yZ0）,它表示如图所示的半椭圆.

若直线与椭圆相切，贝(J△=16(17-〃/)=0,得m=±拒，

若直线过(2,0),则机=-4；若直线过(-2,0),则根=4

结合图象可知J万或Y＜机＜4.答案为：加=J万或-4K〃?＜4.

9.m-±V10

【分析】

将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10产+2根)，+m2—9=(),令△=(),计算

即可求得结果.

【详解】

解：将直线方程％-y-机=。代入椭圆方程5十丁=1,

消去x得到：10），+2my4-m2-9=0,

令A=0,BPW-4xl0（m2-9）=0,解得加=±J万.

io.解：（i）=i（ii）

1244

【解析】

分析：（1）椭圆过M,故可将点M代入方程得到b,在根据离心率即可得到椭

圆方程；（2）连立直线和椭圆可求出弦长AB,在利用点到直线的距离公式得

出高，根据三角形面积公式即可得出结论.

详解：（1）由题意得代入点M可得：曲:&*=遁结合『解得

a2=12

所以，椭圆的方程为二41=1............5分

124

(2)由/二4得4*第,备解=信............6分

4vF=x+l

即功）豪输..一骷=恻，经验证，＞0.设义.小）。质七,二）・

39

所以占♦£=・一.演［,=...........8分

■

|AB|NJ（石一三尸+0：-）J=Qx1f..,

1ABM［（七十七）二5沟］=坐...........10分

因为点\：到直线的距离吗.二12分

所以5.L傍=2斗划xd=L也乂走=逆............13分

，■，，

点睛：本题考查椭圆的标准方程和基本性质，考查直线的圆的关系，解本题关

键