《火炮弹道学（第２版）》-第2章

２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

当弹轴与速度矢量不重合（即攻角δ≠０°）时，弹丸由于迎气流面积变大，空气的阻滞作用加强，尤其在超声速时弹头波不对称，迎气流面的激波较背气流面的强烈。在这种情况下，不论是亚声速还是超声速，总阻力均显著加大，空气对弹丸作用力的合力Ｒ也不再与弹轴ξ及速度矢量ｖ共线反向。对于旋转弹及尾翼弹，Ｒ的作用点即压力中心（或称阻心Ｐ）则分别在弹顶与质心Ｏ′之间及弹尾与质心Ｏ′之间。Ｒ的指向不与ξ和ｖ平行，而是以速度矢量ｖ为准向弹顶一方偏离，如图２－２所示。这一方面使Ｒ在沿速度矢量ｖ的方向及垂直于ｖ的方向分别产生了分量，即切向阻力Ｒｘ和升力Ｒｙ；另一方面，Ｒ对质心产生了力矩（称为静力矩）Ｍｚ。下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

除此之外，由于弹丸绕极轴（即弹轴）和绕赤道轴（即过质心且垂直于弹轴的某一轴）的转动等原因，又产生了极阻尼力矩Ｍｘｚ、赤道阻尼力矩Ｍｚｚ、马格努斯力Ｒｚ和马格努斯力矩Ｍｙ等空气动力和力矩。下面分别说明其产生的原因及其表达式。２.１.１切向阻力Ｒｘ切向阻力Ｒｘ又称迎面阻力，它总是与速度矢量ｖ反向，故其作用效果总是使ｖ减小。与前面一样，用量纲分析法，可以得出迎面阻力Ｒｘ＝ρｖ２/２*ＳＣｘ（Ｍａ，δ）（２－１）上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

δ≠０°时的阻力系数Ｃｘ，不仅是马赫数Ｍａ的函数，也是章动角δ的函数。根据试验，可以相当准确地用互相独立的两个函数Ｃｘ０（Ｍａ）和ｆｘ（δ）的乘积来表示。Ｃｘ（Ｍａ，δ）＝Ｃｘ０（Ｍａ）ｆｘ（δ）（２－２）由于阻力的指向与δ的正负无关，因而ｆｘδ()是δ的偶函数。由空气动力学的分析，当δ不大且不在跨声速时，有Ｃｘ＝Ｃｘ０（１＋Ｋδ２）（２－３）式中，δ的单位为弧度。根据试验，攻角系数Ｋ对于一般旋转弹来说近似在１５～３０的范围内变化；对于尾翼弹，Ｋ值可达４０左右。实际应用中应根据试验或有关资料确定。上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

图２－３给出了某旋转弹（ｌ＝３.８ｄ）由风洞试验测出的Ｃｘ０（Ｍａ）－Ｍａ及Ｃｘ－δ曲线。其中Ｋ＝１６.４，显然，由公式（２－３）知，当δ＝１４.３°时，Ｃｘ＝２Ｃｘ０，迎面阻力增大一倍。２.１.２升力Ｒｙ升力Ｒｙ与弹丸速度矢量ｖ垂直，它的作用效果是使ｖ改变方向，其表达式可写成上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

式中，Ｃｙ称为升力系数，它主要是弹形、马赫数Ｍａ和章动角δ的函数，而Ｃ′ｙ（Ｍａ）则为升力系数导数上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

２.１.３翻转（或稳定）力矩Ｍｚ及阻力臂ｈ１.俯仰力矩Ｍｚ如图２－２所示，对旋转弹而言，Ｒ作用在质心与弹顶之间，力矩Ｍｚ的作用效果是使弹轴与弹速矢量的夹角δ增大，故称Ｍｚ为翻转力矩；对尾翼弹而言，Ｒ作用在质心与弹尾之间，力矩Ｍｚ的作用效果则是使δ减小，故称Ｍｚ为稳定力矩。Ｍｚ又称为俯仰力矩。当不考虑后面所述的马格努斯力时，由于Ｒ位于弹轴与弹速矢量组成的平面，即阻力平面（或称攻角平面）内，故矢量Ｍｚ与该平面垂直。上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

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２.阻力位置及其变化阻力臂ｈ的计算常常是用经验的高巴尔公式来估算。ｈ＝ｈ０＋０.５７ｈｒ－０.１６ｄ（圆弧形头部）ｈ＝ｈ０＋０.３７ｈｒ－０.１６ｄ（锥形头部）（２－２１）上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

式中，ｈ０为头部底至质心的距离，如图２－７所示；ｈｒ为头部长，ｈｒ＝ｘｄ，ｘ为相对头部长。实际上，弹丸的阻力作用中心（简称阻心）位置，不仅随Ｍａ变化而变化，而且也随攻角δ的不同而不同。图２－８是用相对头部长ｘ＝２.５、圆弧部半径ρ＝６.５ｄ、圆柱部长为２.５ｄ的旋转弹丸在风洞中的试验结果。图２－８（ａ）表示用同一个弹丸在ｖ＝１１００ｍ／ｓ时做风洞试验，当δ由０°变至１０°时阻心的移动情况。当δ＜４°时，阻心位置变化很小；当δ＞４°后，变化速增；至δ＝１０°时，阻心也向弹底移约ｄ／２。由图２－８（ｂ）可知，当δ＝０°时，ｖ０由４００ｍ／ｓ变至１１００ｍ／ｓ，阻力向弹底移动约ｄ／２，即阻心随Ｍａ的增大而向弹底移动。上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

２.１.４极阻尼力矩弹丸绕弹轴（又称极轴）旋转时，由于空气的黏性，带动弹表面的边界层一起旋转（图２－９），消耗弹丸的能量，使弹丸自转角速度逐渐减缓。这个阻止弹丸绕其轴旋转的阻力矩叫作极阻尼力矩Ｍｘｚ，其表达式为上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

２.１.５赤道阻尼力矩弹丸围绕其赤道轴（过质心并与弹轴垂直的轴）摆动时产生阻滞，其摆动的力矩称为赤道阻尼力矩。上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

这一方面是由于在摆动时，其迎向空气的一面压缩空气使压力增大，另一面则空气稀疏，压力减小；另一方面是由于空气的黏性在弹丸表面两侧产生阻止其摆动的摩擦力偶。阻滞弹丸摆动的压力偶和摩擦力偶的合力矩就是赤道阻尼力矩Ｍｚｚ，其表达式为上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

２.１.６马格努斯力及马格努斯力矩马格努斯力和力矩的形成机理比较复杂，下面仅做传统的解释：由于空气黏性，产生了随弹体自转的、包围弹体周围的一薄层空气（边界层）的阻滞，如图２－１０（ａ）所示。又由于有攻角δ存在，而在与弹轴垂直方向上有气流分速ｖ⊥＝ｖｓｉｎδ向弹体吹来。上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

此气流与伴随弹体自转的两侧气流合成的结果如图２－１０（ｂ）所示。在弹体一侧气流速度增大，而另一侧减小。根据伯努利定理可知，速度小的一侧的压力大于速度大的一侧的压力，这就形成了一个与攻角平面（或阻力面，该阻力面是由弹轴矢量和速度矢量组成的面）垂直的力，其指向由右手法则决定：以右手四指由弹丸自转角速度矢量γ向速度矢量ｖ方向卷曲时，拇指的指向即为马格努斯力的方向。它与阻力面垂直，因而也与升力和速度矢量垂直。马格努斯力使弹丸向侧方运动。马格努斯力的作用点经常不在重心上，当将其向重心简化时，就形成一个力矩，叫马格努斯力矩，用Ｍｙ表示。上一页下一页返回２.１弹轴与速度矢量不重合时的空气动力和力矩

此力矩矢量的指向因马格努斯力的作用点在质心前、后而不同，图２－１０（ｃ）所示为马格努斯力作用于质心前面时马格努斯力矩的指向。另外，当具有自转运动的弹丸摆动时，在摆动弹丸的前后端分别产生方向相反的两个马格努斯力Ｒｚ１与Ｒｚ２，形成一个马格努斯力偶，此力偶矩也属于马格努斯力矩的一部分。上一页返回２.２旋转理论２.２.１描述旋转弹围绕质心运动的坐标系与参量，有关假设为描述弹丸的一般运动，必须规定一定的坐标系，坐标系不同，弹丸运动规律的表达式质心运动的坐标系也不相同。可以有多种描述弹丸一般运动的坐标系与参量，它们的选取取决于对哪些弹丸的运动规律更为关心和便于分析。此处只介绍一种描述旋转弹围绕质心运动的坐标系与参量，如图２－１３所示。基准坐标系的坐标原点Ｏ′在弹丸质心上，取包含质心Ｏ′的速度矢量ｖ的铅垂面为参考面，该平面上的直角坐标系ｘＯ′ｙ的Ｏ′ｘ及Ｏ′ｙ轴分别为水平轴与铅垂轴。下一页返回２.２旋转理论质点弹道就是以此坐标系进行计算的。实际飞行中，弹丸轴线并不在ｘＯ′ｙ的铅垂平面内，因而弹丸绕质心的转动需寻求更合适的弹轴坐标系。弹轴坐标系则以弹轴Ｏ′ξ与速度矢量ｖ所形成的阻力面为参考面ξＯ′ζ，仍以弹丸质心Ｏ′为原点，弹轴向前为Ｏ′ξ轴的正方向，在阻力面内与Ｏ′ξ垂直且向上的方向为Ｏ′ζ轴的正方向，显然Ｏ′ζ轴是阻力面与弹丸赤道平面的交线，过Ｏ′与阻力面垂直且指向弹丸前进的右方向的则是Ｏ′η轴的正方向，Ｏ′－ξηζ构成右手直角坐标系，其固联于弹轴，并以速度矢量ｖ为轴线随同阻力面旋转。上一页下一页返回２.２旋转理论２.２.２旋转弹绕质心运动的基本方程及其积分弹丸飞行中只在外力矩Ｍｚ的作用下绕质心运动的基本方程可以直接利用拉格朗日方程写出来。上一页下一页返回２.２旋转理论上一页返回２.３膛线缠度公式及其应用研究旋转弹绕质心运动的规律，一个重要的目的是从保证弹丸飞行稳定性出发，对身管膛线缠度的设计提出要求。２.３.１陀螺稳定性条件———陀螺稳定因子及膛线缠度上限１.陀螺稳定因子对弹丸的章动运动微分方程（２－５６）进行积分时，曾强调必须σ＞０才能得到振动解（２－６４），即由式（２－５６）下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用此二式均说明，当σ≤０时，δ是ｔ的增函数，即章动角随时间的增大而增大。只有σ＞０时，才能保证旋转弹的陀螺稳定性，由式（２－５５）可见上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用说明σ＞０与Ｓｇ＞１等价，只有当σ＞０或Ｓｇ＞１时，旋转弹才具有陀螺稳定性。陀螺稳定因子Ｓｇ＝ａ２／β是将弹丸本身抗干扰能力与外界干扰因素联系在一起的量。分子ａ反映了弹丸本身抗干扰的能力，因为ａ＝Ｊｒ０／（２Ｉ），惯性比Ｊ／Ｉ的大（弹丸相对地短而粗时），或轴向角速度ｒ０大，就有较大的抗干扰能力。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用β＝ｋｚｖ２与翻转力矩系数有关，反映了弹丸翻转的外界干扰因素。ａ２＞β是弹丸抗干扰能力大于外界抗干扰的标志，因而称Ｓｇ为陀螺稳定因子。２.膛线缠度上限η上公式的推导要保证旋转弹在全弹道上都满足陀螺稳定性，必须在弹道上每一点都满足下面条件

上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用下面做简要分析。在实际弹丸飞行中，在全弹道上绕弹轴的转动时，ｒ０不是保持常数，而是逐渐衰减，同时弹丸速度ｖ在大部分弹道上也是衰减的，只是在降弧段的末段出现弹道极小值后又有所增加。但是转速衰减较慢，速度衰减较快，因此一般只要保证炮口满足陀螺稳定性，就能保证在全弹道上都满足陀螺稳定性。只有远程榴弹才有可能在落点附近出现ａ２＜β的情况，在具体设计中应注意校核。２.３.２追随稳定性的要求弹丸质心速度矢量ｖ由于受重力的作用，在飞行中是不断下降的，追随稳定性要求弹轴ξ应能追随速度矢量ｖ的下降而下降。本节对追随运动的研究采用定性的分析方法引入必要的力学公式予以说明。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用１.动力平衡轴及动力平衡角为了方便，以后都以右旋弹为研究对象，亦即弹丸的动量矩矢量Ｋ≈Ｊｒ与轴ξ近似重合且方向一致。在分析ｖ受重力影响而下降条件下的弹丸绕质心运动的规律时，暂不计由于起始扰动δ·０引起的章动和进动。这样，就可以从δ＝０°开始分析，此时弹轴ξ即动量矩Ｍｚ矢量近似与ｖ共线同向，由于ｖ在重力作用下方向低头下降，而弹丸的陀螺稳定性则力图使弹轴ξ方向保持不变，形成了图２－１６（ａ）所示的章动角δ，此δ所引起的翻转力矩矢量Ｍｚ必垂直于阻力面，即纸面向外，由ｄＫ／ｄｔ＝Ｍｚ得知，动量矩Ｋ即弹轴ξ端点必绕速度矢量ｖ垂直于纸面向外进动，随着阻力面方位不断变化，Ｍｚ的指向也随之变化，因而形成了弹轴的锥形进动。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用如果ｖ的方向变化一下之后不再变化，则锥形进动将一直进行，如图２－１６（ｂ）所示。但是，实际上ｖ（即弹道切线）不断下降，故弹轴ξ在切线上方停留的时间ｔ上和章动角δ上，总大于弹轴在切线下方的对应值，即ｔ上＞ｔ下，δ上＞δ下。这是因为，当弹轴在切线上方时，切线总是远离弹轴而去，即切线下降；当弹轴在切线下方时，切线总是迎弹轴而来，即切线仍下降。当弹轴在切线上方时，对应的Ｍｚ矢量必有指向右方的分量Ｍδ上＝Ｉβδ上；当弹轴在切线下方时，则Ｍｚ有指向左方的分量Ｍδ下＝Ｉβδ下。由于δ上＞δ下，故Ｍδ上＞Ｍδ下。再根据动量矩定理ｄＫ／ｄｔ＝Ｍｚ＝ｕ，可以判定：当Ｋ矢量（即弹轴ξ）在切线上方时，弹头端点向右方的速度ｕ上，总是大于ξ在切线下方时弹头端点向左方的速度ｕ下。既然ｕ上＞ｕ下，又有ｔ上＞ｔ下，那么可以得出结论：上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用在弹速ｖ不断低头下降的情况下，右旋弹弹轴的平均位置必然偏向射面右方。此弹轴的平均位置称为动力平衡轴ξ，而ξ与ｖ的夹角称为动力平衡角δｐ。显然，δｐ存在铅垂面内的投影δ２ｐ，它可在切线上方，也可在切线下方；δｐ也存在侧向平面内的投影δ１ｐ，它始终在射面的右方，如图２－１７所示。如果将δ·０所引起的弹轴运动叠加到上述运动中去，即可得到考虑ｖ不断下降时弹轴的实际运动，如图２－１８所示。此时弹轴的平衡位置不再是ｖ矢量线而是动力平衡轴ξ，而动力平衡角δｐ则为平均章动角。２.动力平衡角δｐ（１）动力平衡角的表达式一般情况下，精确理论表明，动力平衡角的侧向分量远大于其铅垂面内的分量，δ１ｐ≫δ２ｐ，故认为δ≈δ１ｐ，此处介绍δ１ｐ的求法。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用（２）影响动力平衡角的因素由式（２－８４）可以看出，影响动力平衡角的因素很多，可从以下几个主要方面予以分析。１）弹道参数２）弹丸外形和质量分布情况３.追随稳定性要求的条件———膛线缠度下限理论分析及射击试验均证明，过大的动力平衡角将产生各种不良后果：它将使射程减小和偏流增大（见２.４节），更为严重的是，过大的动力平衡角将使马格努斯力矩出现较严重的非线性，从而破坏弹丸的动态稳定性，即章动角将沿全弹道发散，因而δｐ过大会增加各种散布因素对射击精度的不良影响。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用弹丸的追随稳定性要求动力平衡角最大值δｐｍａｘ限制在允许值δｐ[]以内。过去有资料提出，对于一般曲射火炮的弹丸，δｐ[]≈１２°～１５°；近些年来，弹道性能较好的某些火炮弹丸，如美１７５自行加农炮的Ｍ４３７榴弹，它的δｐ[]可控制在几度以内。在设计时，δｐ[]的大小不能墨守成规，应根据具体条件确定。由δｐｍａｘ≤［δｐ］，由式（２－８５）得

当火炮膛线缠度η＞η下时，就能保证动力平衡角小于允许值［δｐ］，因而满足追随稳定要求的条件是η＞η下。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用２.３.３膛线缠度公式及其应用１.膛线缠度公式对于一定结构的弹丸，在各种初速和射角条件下，都必须满足陀螺稳定性和追随稳定性要求，这时主要靠合理的膛线缠度来保证。图２－２１所示阴影部分就是满足上述条件的可供选择的膛线缠度区域。另外，从火炮身管寿命考虑出发，又不能把膛线缠度取得太小，因此应尽可能选取较大的膛线缠度值。所以，在设计中采用将膛线缠度上限η上乘以小于１的安全系数ａ作为膛线缠度的计算公式，即上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用可见，上式根号内分母Ｈ（ｙ０）已取为１，Ｈ（ｙ０）的误差因素在安全系数ａ中已予考虑。ａ值一般为０.７５～０.８５。长期以来，一直应用公式（２－８７）计算η，作为确定火炮膛线缠度从而保证弹丸飞行稳定性的方法。它的优点是：方法简便，并且在仅考虑主要力矩Ｍｚ的条件下揭示了膛线缠度与弹丸特性、弹道特性、气动及气象特性等有关参数之间的基本关系。而且，它实际考查了两个点：弹丸在射出点的陀螺稳定性和弹道顶点的弹丸的追随稳定性，因而它在火炮系统设计上，具有较好的实用价值。转弹具备良好的飞行稳定性的目的。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用２.膛线缠度公式应用举例（１）单级装药火炮膛线缠度的初步确定单级装药火炮是指仅有一个初速的火炮（如航炮、高炮）。当初步确定了弹丸结构之后，先用式（２－８７）计算膛线缠度η，再用公式（２－８６）计算膛线缠度下限η下，如果满足η＞η下，即可初步选取该η值；若不满足η＞η下，则要重新调整弹丸的质量分布和外形结构等参数，直到满足η＞η下为止。（２）多级装药火炮膛线缠度的初步确定多级装药火炮具有多个初速，对于各个初速，都应保证弹丸在全弹道上满足陀螺稳定性和追随稳定性的要求。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用这时，应取各初速所对应的膛线缠度中的最小膛线缠度η小，η小并不需要对每个初速都计算η再从中找出最小者，因为由式（２－８７）可知，只要在各初速中找到Ｋｍｚ（Ｍａ０）最大者即可，然后再找各初速对应的膛线缠度下限中最大的η下大。它同样也不需要对每个初速都计算η下，而由式（２－８７）可知初速最小的，ｖｓ也最小，它可以得到η下大。如果满足了η小＞η下大，此η小即为所选的膛线缠度，否则应重新设计弹丸的结构及外形，直至满足要求为止。（３）反坦克火炮膛线缠度的初步确定坦克炮或反坦克炮射角很小，弹道低伸，弹丸的动力平衡角很小，一般没有必要校核膛线缠度下限。因此，在大多数情况下，只需考虑η上即可，安全系数ａ可偏大一些，取０.８５～０.８８。上一页下一页返回２.３膛线缠度公式及其应用（４）远程榴弹炮膛线缠度的初步确定对于远程榴弹，不论是加农炮还是榴弹炮，既要考虑到沿全弹道较大的章动角对射程的影响大小，又要考虑弹丸转速衰减可能引起陀螺不稳定性。在满足陀螺稳定性的条件下，膛线缠度选取应稍大一些，或采取其他措施减小动力平衡角，如弹头加风帽、减小μ及Ｃｍ、增大ｈ／ｄ或采用火箭助推、底部排气等，以达到增加弹道顶点速度的目的。上一页返回２.４旋转弹围绕质心运动对质心运动的影响

前面几节初步考虑了旋转弹围绕质心运动的主要规律，即由于起始扰动δ０引起的部分和重力作用下弹道弯曲引起的部分，它们的合成即描述了弹丸绕质心运动的主要规律。从运动微分方程考察，起始扰动引起的周期性章动与等速进动，相当于齐次方程的通解；而重力引起的非周期性动力平衡角则相当于非齐次方程的特解。此通解与特解之和就是弹轴的实际运动。弹丸章动角的出现，不仅使阻力增大，而且有了升力，它使弹速ｖ的方向不断发生变化。由于阻力面以ｖ为轴转动，弹轴又在阻力面内做周期性章动，可以想象，ｖ的方向将随升力方向不断地改变而变化，弹丸质心的轨迹将是一条空间螺线。另外，非周期性的动力平衡角对右旋弹而言始终偏向射面右方，与此δｐ对应的升力也将指向射面右方，使弹道向右扭曲，形成所谓的“偏流”。下一页返回２.４旋转弹围绕质心运动对质心运动的影响

弹轴周期性的章动和等速进动所造成的螺线弹道、非周期性动力平衡角所造成的弹道偏流，就是围绕质心运动对弹丸质心运动的影响。这种影响的后果是增大了阻力，减小了射程，并造成射弹的系统偏差和散布。２.４.１起始扰动δ·０引起的围绕质心运动对质心运动的影响———速度平均偏角为了使问题简化，认为起始阻力面与参考面（含ｖ０的铅垂面）重合，即ｖ０＝０，故弹轴运动规律式（２－６２）和式（２－６３）可写成上一页下一页返回２.４旋转弹围绕质心运动对质心运动的影响

为了便于研究问题，将（ｖ，δ）转化到直角坐标系ｘ１Ｏ１ｙ１中去。如图２－２２所示，ｙ１轴在起始阻力面单位球面的交线并以向上为正，ｘ１轴在该球面上并以向右为正，则可得极坐标与直角坐标关系δｘ１＝δｓｉｎｖδｙ１＝δｃｏｓｖ将式（２－８８）代入上两式得δｘ１＝δｍｓｉｎ（ａσｔ）ｓｉｎａｔδｙ１＝δｍｓｉｎ（ａσｔ）ｃｏｓａｔ上一页下一页返回２.４旋转弹围绕质