《模拟电路》-第4章

4.1正弦电压和电流1．正弦波的三要素众所周知，正弦电压和电流是周期的按正弦规律随时间交变的电压和电流。正弦规律既可以用时间的sin函数，也可以用时间的cos函数。本书采用cos函数表示正弦电压和电流，因此正弦电流用式（4-1）表示，其波形如图4-1所示。对式（4-1）中的各量说明如下：①Im是正弦电流的振幅，表示正弦波变化范围的最大值。②ω是角频率，表示每秒变化的弧度数。下一页返回4.1正弦电压和电流

角频率ω与频率f是什么关系呢？由于正弦波的一个周期对应于2π，而所经历的时间为T，即ωT=2π，所以ω与周期T和频率f的关系为我国电力系统所用的标准频率（工频）为50Hz，与此对应的角频率为ω=2π×50=314rad/s。③ϕi是初相角，简称初相，单位为弧度（或度），反映了正弦波初始值的大小。ϕi是正弦电流的初相，是t=0时的相位，是正弦波的正半波的起始点到计时起点（坐标原点）的相位角。若ϕi为正值，则正最大值发生在t=0以前，若ϕi为负值，则正最大值发生在t=0之后。必须注意，这里所说的正最大值是指最靠近时间起点零来说。也就是说，初相ϕi的值总是小于或等于π的。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流

由此可见，一个正弦波可由三个参数完全确定。这三个参数是振幅、频率（或角频率或周期）以及初相。这三者称为正弦波的三要素。若给出表达式或波形，即可确定这三要素；若给出这三要素，则可写出表达式或绘出波形。2．同频率正弦波的相位差设,则称为i1(t)与i2(t)的相位差，即同频率正弦波的相位差就等于它们的初相差，是不随时间而改变的常量。两个同频率正弦量的相位关系：若φ=0，同相；φ＞0，i1超前i2；φ＜0，i1滞后i2；φ=±π，反相；正交。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流

为了加深理解，总结以下几点：①在比较两个正弦量的相位差时，两者的频率、函数形式、函数式前面的符号、初相的单位都必须相同。②规定相位差。③若算出，则实际相位差应为φ′=±φ∓2π3．正弦电压电流的有效值在电工技术中，往往并不需要知道它们每一瞬间的大小。在这种情况下，就需要为它们规定一个表征大小的特定值。在周期变化的电压、电流中是用有效值而不是用振幅值表征其大小。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流

（1）有效值的定义有效值是将周期变量（如电流i）和直流电流I在一个周期内通过同一电阻所消耗的能量作比较来度量的，如图4-3所示：当周期电流i流过电阻R时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为对i，当直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内所消耗的电能为对I，上一页下一页返回4.1正弦电压和电流

若在一个周期内Wi=WI，就平均做功的能力，这两个电流的大小是相等的，则I的数值称为周期内i的有效值，即由电流有效值的定义可知：周期电流电压的有效值等于它的瞬时值的二次方在一个周期内积分的平均值再取平方根。（2）正弦波有效值与振幅值的关系把有效值的定义式运用于正弦电流，可得上一页下一页返回4.1正弦电压和电流

可以导出上一页下一页返回4.1正弦电压和电流

即正弦波的有效值为其振幅的例如，城市照明供电电压220V，即指有效值，其振幅为。交流电表测量的电流和电压一般是有效值，各种交流电气设备铭牌上所标的额定电压、电流均是有效值。上一页返回4.2相量分析法基础4.2.1正弦RC电路的分析设输入到RC的正弦电流为，求解图4-4（a）所示RC电路在正弦电流作用下的响应UC(t)。在开关打开之前，电流源全部流经短路线。在t=0时，开关打开，电流源与RC电路接通，电路如图4-4（b）所示。以电容电压为变量，列出电路的微分方程：又因为初始状态为零，由此得微分方程的初始条件为下一页返回4.2相量分析法基础

微分方程的解由对应齐次方程的通解UCh和特解UCp组成。齐次方程的通解为式中：K为待定常数。常系数线性微分方程右端为正弦时间函数时，特解可设为同一频率的正弦时间函数，即式中：uCm和θu为待定常数。上一页下一页返回4.2相量分析法基础

其解为将式（4-8）带入式（4-5）确定uCm和θu：即上一页下一页返回4.2相量分析法基础

整理的又由初始条件uC(0)=0求待定常数K。令t=0，代入式（4-5）中，有故该RC电路在正弦稳态作用下的响应为上一页下一页返回4.2相量分析法基础

从以上正弦激励下响应求解过程可知，求解微分方程比较麻烦，特别是电路越复杂，求解越麻烦。4.2.2正弦量的相量表示上节中，求解微分方程的解比较麻烦，因此需要有一种简便的方法。这一方法就是相量法。相量法是建立在用复数表示正弦波的基础上，也就是建立在欧拉公式的基础上。1．欧拉公式欧拉公式为上一页下一页返回4.2相量分析法基础

所以正弦电压为式中的复数称为正弦电压u(t)的相量。这是一个与时间无关的复值常数，其模是正弦电压的振幅，幅角是正弦量的初相。此相量是用极坐标表示的复数，也可用直角坐标表示该复数，如图4-5所示。相量是由正弦量的振幅和初相所构成的一个复数。其中振幅是复数的模，初相是复数的幅角。给出正弦量的表达式，就可确定该正弦量的相量形式，给出一个相量及其ω，就可以写出正弦量的表达式。上一页下一页返回4.2相量分析法基础

2．有效值相量和振幅值相量的关系由正弦波的有效值和初相所构成的极坐标复数称为有效值相量，它与振幅相量的关系为同理今后，除非特别申明，相量均指有效值相量。3．正弦相量之间的运算与相量之间的运算关系有如下引理：①唯一性引理：当且仅当两个同频正弦量相量相等时，该两正弦量也相等。上一页下一页返回4.2相量分析法基础

4.2.3用相量法求解微分方程的特解前面已讨论过一阶电路在正弦信号激励下的响应为对于第一项，若τ＞0，这是暂态响应，第二项便是正弦稳态响应。确定正弦稳态响应的过程及方法，是首先假设一个正弦函数，然后将该正弦函数代回微分方程，这涉及三角函数的微分、积分和化简。当微分方程的阶数很高时，计算Im和ϕ并非易事。当正弦量用相量表示后，用相量法求解微分方程的正弦特解，就变得比较容易。上一页下一页返回4.2相量分析法基础

下面以RC一阶电路为例，用相量法求解微分方程的特解，假设图4-6（a）中，求UC(t)的特解uCp(t)。首先建立t>0的微分方程其解为其中齐次方程uCp为什么是不再赘述，如何确定待定常数也不再说明，现只讨论如何用相量法求特解uCp(t)，即UCm和等于多少。上一页下一页返回4.2相量分析法基础

设将uCp代入原微分方程，并两端取相量，由微分引理得上式称为原微分方程的复数方程（这是一个代数方程）。由复数方程得上一页下一页返回4.2相量分析法基础

由复数运算，很容易得出，进而求得上述电路的特解（即正弦稳态响应）。由初始条件可确定uCh中的待定常数K，于是求得全响应uC(t)。显而易见，由于相量法求特解是将微分方程化成代数方程来求解，因此可适用于高阶常系数微分方程在正弦激励下的特解。上一页返回4.3两类约束的相量表达形式4.3.1基尔霍夫定律的相量形式1．KCL的相量形式图4-13所示为电路图中的一个节点，因为若三者都是同频率的正弦波，则可以写成所以下一页返回4.3两类约束的相量表达形式即在正弦稳态电路中，在任一时刻流出（或流入）任一节点的各支路电流的相量代数和恒等于零。写成一般的表达式为因此，在正弦电路中，KCL可直接用相量写出，即除正弦电流瞬时值满足KCL以外，其相量也满足KCL。但需注意，电流的振幅值和有效值不满足KCL。2．KVL的相量形式在图4-14所示的一个单回路电路中，同样有上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式若三者都是同频率的正弦波，则在正弦稳态电路中，在任一时刻，沿电路任一回路的所有支路电压的相量代数和恒等于零，即也就是说，除正弦电压瞬时值满足KVL以外，其相量（振幅相量或有效值相量）也满足KVL。仍需注意，振幅和有效值不满足KVL。上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式4.3.2三种基本元件伏安关系的相量形式1．电阻元件电阻的正弦稳态特征如图4-17所示。因为u=Ri，若，则在正弦稳态电路中，电阻元件中的电流和电阻两端电压是两个同频率、同相位的正弦量。这表明，电阻上电压相量和电流相量也服从欧姆定律。上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式分别取上式的模相等和幅角相等，便得①U=RI或Um=RIm，即U与I或Um与Im符合欧姆定律；②ϕu=ϕi，即电压U与电路i同相。2．电感元件电感的正弦稳态特征如图4-18所示两端取相量，由微分引理得将式中的和用极坐标形式表示，可得上式意味着上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式4.3.3阻抗与导纳欧姆定律的相量形式1．阻抗的定义在如图4-23所示的单口网络中，①Z虽然是两个相量之比，但Z不是相量，通常是一复数，有模和幅角或实部和虚部，实部为电阻成分，虚部为电抗成分。②阻抗值取决于电路结构、元件参数及电源频率。阻抗的单位为欧（Ω）。上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式引出阻抗后，三种基本元件（R、L、C）的VCR相量形式可统一为上式称为欧姆定律的相量形式。2．三种基本元件的阻抗前面已推导出来三种基本元件的电压电流的相量关系，整理如下：（1）电阻元件ZR=R即电阻元件的阻值为一实数（电阻）。（2）电感元件ZL=jωL=jXL即电感的阻抗是一纯虚数（有抗无阻）。其中ZL=ωL称为电感的电抗，简称感抗。感抗为正，正抗代表电压超前电流。阻抗为一正电抗，代表电压超前电流90°。上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式（3）电容元件电容的阻抗也是一个纯虚数。其中称为电容的电抗，简称容抗。容抗为负，负抗代表电流超前电压。阻抗为一负电抗，代表电流超前电压90°。3．导纳的定义上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式显然，同一个二端元件的阻抗与导纳互为倒数关系。式中的实部G为电导，虚部B为电纳。导纳的单位为西（S），引出导纳，元件欧姆定律的相量形式还可表示为4．三种基本元件的导纳上一页下一页返回4.3两类约束的相量表达形式其中：称为感纳，感纳为负。式中：BC=ωC称为容纳，容纳为正，正纳意味着电流超前电压。上一页返回4.4正弦稳态的相量分析4.4.1正弦稳态相量分析基础1．相量法分析正弦稳态的主要步骤①画出电路的相量模型。它和原电路具有相同的拓扑结构，其中电压、电流用相量表示，元件用阻抗或导纳表示，各相量电压、电流与原电路的参考方向相同。②根据KCL、KVL和元件VCR相量形式建立复数方程或相应公式，求出电压或电流相量。③由所求出的相量写出相应的正弦量。2．阻抗串联和并联电路分析下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

（1）串联电路的等效阻抗阻抗的串联电路如图4-25所示。对于n个复阻抗串联而成的电路，可知其等效复阻抗（2）串联电路的分压公式第k个阻抗上的电压相量为上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

若只有两个阻抗串联（3）导纳并联电路和分流公式导纳的并联电路如图4-26所示。对n个复导纳并联而成的电路，其等效导纳并联支路上的电路上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

若只有两条支路并联：4.4.2一般正弦稳态电路分析建立了阻抗、导纳以及相量模型之后，电阻电路的公式和分析方法完全可以推广到正弦稳态电路，现以例说明。上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

1．正弦稳态混联电路的分析作出正弦稳态混联电路的相量模型后，就可以仿照电阻混联电路的处理方法来求解。原来电阻混联电路中，用电阻、电导表示元件，在正弦稳态混联电路中，元件用阻抗、导纳表示。原来电阻混联电路的电压、电流用相量电压、电流来表示。2．相量模型的网孔分析法和节点分析法（1）相量模型的网孔分析法对于具有m个网孔的电路，将网孔分析法的一般形式改写为正弦稳态电路的一般形式。其差别仅仅在于电压电流用相应的相量替换，元件用阻抗来替换。上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

3．叠加定理由多个独立源共同产生的响应，等于每个独立源单独作用产生的响应之和。某一个独立源单独作用，其他独立电压源短路，其他独立电流源开路。受控源不能单独作用，也不能随意置零。上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

4．单口网络相量模型的等效（1）无源单口网络可等效为两个元件的电路不含独立电源单口网络的模型，如图4-33所示。就模型端口特性而言，等效为一个阻抗Z或一个导纳Y。单口网络的，其中Z为单口网络的输入阻抗，一般为复数，具有实部和虚部，即式中：R称为输入阻抗的电阻分量；X称为输入阻抗的电抗分量。若X＞0，1为电感元件；X＜0，1为电容元件。单口网络的VAR也可以表示为，而上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

式中：G称为输入阻抗的电导分量；B称为输入阻抗的电纳分量。若B＞0，2为电容元件；B＜0，2为电感元件。（2）阻抗和导纳的等效变换同一个单口网络相量模型的阻抗与导纳之间存在倒数关系，即若已知R和X，求G和B：上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

即并联相量模型的电导与电纳分别为注意，一般情况下，G并非是R的倒数，而B则不可能是X的倒数。同理，若已知G和B，求R和X：则上一页下一页返回4.4正弦稳态的相量分析

一般来说，R并非是G的倒数，而X则不可能是B的倒数。以上各式中的G、R、X、B均为ω的函数，只有某一指定频率时，才能确定出它们的数值和符号。等效相量模型只能用来计算该频率下的正弦稳态相量。上一页返回4.5正弦稳态电路的功率4.5.1瞬时功率和平均功率1．瞬时功率图4-40所示为一单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向条件下，它吸收的功率为p(t)=u(t)i(t)。在单口网络工作于正弦稳态的情况下，端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流。下一页返回4.5正弦稳态电路的功率其瞬时功率为式中：φ=ϕu-ϕi是电压和电流的相位差。由上式可见，同频率正弦电压、电流的瞬时功率由一个恒定分量和一个频率为2ω的正弦分量两部分组成，其波形如图4-41所示。由图可见，p(t)仍为正弦波，它可正可负。当u、i关联方向下，若p(t)>0，代表能量流入元件，元件吸收功率；若p(t)<0，代表从外部获得能量，元件发出功率。上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率但要注意，正弦稳态下的瞬时功率p(t)>0并不一定代表元件消耗功率（即吸收功率与消耗功率有区别）；p(t)<0也并不一定代表该元件产生功率（即发出功率与产生功率有区别）。在正弦稳态电路中用平均功率来衡量消耗功率。2．平均功率p（又称为有功功率）为了便于计算电路吸收和消耗的能量，通常我们关心的是功率的平均值。对于电压和电流作周期变化的电路，电路所吸收的平均功率是指它所吸收瞬时功率在一周期内的平均值，即上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率式中：cosφ称为功率因数，单位为瓦（W）。也就是说，正弦稳态平均功率不仅与电压电流有效值乘积UI有关，还与u、i相位差φ=ϕu-ϕi有关。如图4-42所示。下面是单口网络的几种特殊情况：（1）单口网络是一个电阻或其等效阻抗为一纯电阻单口网络电压与电流相位相同，即φ=ϕu-ϕi=0，cosφ=1，则瞬时功率其波形如图4-43所示。瞬时功率在任何时刻均大于或等于零。所以电阻元件消耗正弦功率。其平均功率为上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率由此可见，在正弦稳态分析中，采用电压电流有效值后，与直流电路中，计算电阻消耗的平均功率公式相同。（2）单口网络是一个电感或电容或其等效阻抗为一电抗单口网络电压与电流相位为正交关系，电压超前（或滞后）电流90°，即φ=±90°，cosφ=0，则如果把PL(t)和PC(t)画在一张坐标图上，它们的波形如图4-44所示。上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率由波形看出：①PL(t)和PC(t)都是以时间轴作等幅变化的正弦波。在正半周，p(t)>0，电感和电容吸收功率获得能量；在负半周，p(t)<0，电感和电容发出功率释放出正半周所获得的全部能量。P=UIcos(±90°)=0，或者说L和C在一个周期内不消耗功率，即其平均功率为零。电感和电容只存储能量，不消耗能量，所储能量分别为：③由无源R、L、C组成的单口网络Z=R+jX或Y=G+jB。无论X或B为何值，R和G总是大于零，所以阻抗角或导纳角的绝对值均小于或等于90°，即上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率这种单口网络的P≥0（消耗功率）且上式表明，无源单口网络的平均功率就是等效Z中电阻分量的平均功率，或等于等效Y中电导分量的平均功率。这可用图4-45所示的两图的等效模型来理解。④当单口网络含有独立源或受控源时，ϕ≥90°，则P=UIcosφ＜0，这时单口网络将产生功率。值得注意的是，在用UIcosφ计算单口网络吸收的平均功率时，一定要采用关联参考方向，否则会影响相位差的数值。上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率3．功率因数式中：λ称为功率因数，代表N的功率利用程度，λ=0～1。当N为纯电阻时，φ=0，则λ=1，功率利用率最高。因此，提高功率因数具有很大的技术经济意义，所以φ又称为功率因数角。当N为纯电抗时，φ=±90°，λ=0。式（4-22）中，令UI=S称为视在功率，代表N的功率容量，单位为伏安（VA）。上一页下一页返回4.5正弦稳态电路的功率4．平均功率的叠加现以图4-47所示电路为例，讨论多