世少赛2025年九年级数学竞赛真题集

世少赛2025年九年级数学竞赛真题集

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.计算|−3|+√4−(1/2)⁻¹的结果是（）A.3B.4C.5D.62.化简(x²−4)/(x+2)的结果是（）A.x−2B.x+2C.x²−2D.x²+23.若一元二次方程x²−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥14.已知圆O的半径为5，弦AB=8，点C是圆O上一点，且AC=AB，则BC的长为（）A.6B.8C.6或8D.105.一次函数y=2x+1与反比例函数y=k/x的图像交于点(1,m)，则k的值为（）A.2B.3C.4D.56.抛掷两枚均匀硬币，恰好一枚正面朝上的概率是（）A.1/4B.1/2C.3/4D.17.数2²⁰²⁵除以5的余数是（）A.1B.2C.3D.48.从3名男生和2名女生中选2人参加演讲比赛，恰好选1男1女的概率是（）A.3/5B.2/5C.3/10D.1/29.在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为（）A.1.5B.2C.2.5D.310.若关于x的不等式ax+3>0的解集是x<1，则a的值为（）A.3B.−3C.1D.−1二、填空题（总共10题，每题2分）1.因式分解x³−9x=______2.二次函数y=−x²+2x+3的顶点坐标是______3.等腰三角形的顶角为80°，则其底角的外角为______度4.数16和24的最大公约数与最小公倍数的乘积是______5.5个同学两两握手，共握手______次6.函数y=√(x−1)/(x−2)的自变量x的取值范围是______7.圆的半径为6，圆心角为90°的弧长是______8.分式方程2/(x−3)=1/(x−1)的解是______9.数据1,3,2,5,4的中位数是______10.不等式组{2x−1<3,x+1≥0}的整数解有______个三、判断题（总共10题，每题2分）1.实数包括正实数、负实数和0（）2.因式分解x²−2x+1=(x−1)²是正确的（）3.二次函数y=3x²−1的开口方向向上（）4.三角形的内角和为180°，外角和为360°（）5.圆的切线垂直于圆的所有半径（）6.质数是指大于1的自然数，除了1和它本身没有其他因数（）7.排列数A(4,2)=4×3=12，组合数C(4,2)=4×3/(2×1)=6（）8.相似三角形的对应高的比等于相似比（）9.不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向不变（）10.统计中，一组数据的平均数一定大于中位数（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.化简求值：[(x²−4)/(x²−4x+4)]÷[(x+2)/(x−2)]，其中x=32.已知二次函数y=x²−4x+3，求其与x轴的交点坐标及顶点坐标3.在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，求∠B和∠C的度数，及BC边上的高（用AB表示）4.某班有50名学生，其中15人参加数学竞赛，20人参加英语竞赛，有8人同时参加了两项竞赛，求该班未参加任何竞赛的人数五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论关于x的一元二次方程x²−(k+1)x+k=0的根的情况，并说明理由2.已知三角形的三边长为a、b、c，满足a²+b²=c²，讨论该三角形的形状，并举例说明3.若n为整数，讨论n³−n是否能被6整除，并说明理由4.某商店销售A、B两种商品，A商品每件售价10元，B商品每件售价15元，现有顾客用50元购买这两种商品，要求至少买1件A商品和1件B商品，讨论有多少种不同的购买方案答案一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.B6.B7.A8.A9.A10.B二、填空题1.x(x−3)(x+3)2.(1,4)3.1304.3845.106.x≥1且x≠27.3π8.x=−19.310.3三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.×四、简答题1.解：原式=[(x−2)(x+2)/(x−2)²]÷[(x+2)/(x−2)]=(x+2)/(x−2)×(x−2)/(x+2)=1。当x=3时，值为1。2.解：与x轴交点：令y=0，x²−4x+3=0，解得x=1或3，交点(1,0)、(3,0)。顶点横坐标−b/(2a)=2，纵坐标2²−4×2+3=−1，顶点(2,−1)。3.解：AB=AC，△ABC等腰，∠B=∠C=(180°−30°)/2=75°。BC边上的高AD，在Rt△ABD中，AD=AB×cos30°=(√3/2)AB。4.解：参加至少一项竞赛的人数=15+20−8=27人，未参加人数=50−27=23人。五、讨论题1.解：判别式Δ=(k+1)²−4k=(k−1)²≥0，方程总有实数根。当k=1时，Δ=0，有两个相等实根x=1；当k≠1时，Δ>0，有两个不等实根x=1和x=k。2.解：该三角形是直角三角形，因满足勾股定理逆定理。例如三边长3、4、5，3²+4²=5²，是直角三角形；边长5、12、13，5²+12²=13²，也是直角三角形。3.解：n³−n=n(n−1)(n+1)，三个连续整数中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，故乘积能被6整除。如n=2时，8−2=