广东河源市龙川县龙川第一实验学校2025-2026学年下学期九年级第一次学情自测数学试卷（含答案）

九年级数学注意事项:1.本试卷共4页,23小题,满分120分,考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.一.选择题.(本大题10小题,每小题3分,共30分)1.如图是某几何体的三视图,这个几何体是()俯视图A.三棱柱B.圆柱C.圆锥D.长方体2.已知⊙O的半径为5,点P在⊙O内,则OPA.7B.6C.5D.43.若点1,2在反比例函数y=kxA.1B.2C.3D.44.关于二次函数y=2xA.有最大值3B.有最小值3C.有最大值4D.有最小值45.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=35∘A.70∘B.60∘C.556.日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.如图是其工作原理图,两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心,底片上的△ABC与实物△A位似比为2,点A,C的对应点分别为A1,C1,若AB=A.10B.12C.14D.187.如图，在△ABC中，AE、CD分别为BC、AB边上的高，AB=8,AE=6A.34B.74C.38.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=4,A.24B.36C.12D.69.如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线,右侧水流的竖直高度y m与距水管的水平距离x m之间满足y=−32x2A.2 mB.3 mC.410.如图,四边形OABC1是正方形,曲线C1C2C3C4C5…叫做“正方形的渐开线”,其中C1C2,CA.1012πB.1022.5πC.2024πD.2025π二.填空题.(每题3分,共15分)11.一个正多边形的中心角为60∘12.已知二次函数y=−12x2+x−1,当函数值y13.某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了28场,则该小组参加比赛的队伍共有_____支.14.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道(下半部分为矩形，上半部分为半圆形),则卡车的外形高必须低于_____米.15.如图，△ABC，△DCE，△FEG都是边长为3的等边三角形，且B，C，E，G在同一条直线上,连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R，连接CR，则三.解答题(一).(本大题3小题,每小题7分,共21分)16.计算:1417.1月9日,“粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周”游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行.某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动.A:广州起义纪念馆;B:河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址;C:广州中山纪念堂.小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站,用画树状图或列表的方法,求小明和小丽选择相同基地的概率.18.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O(1)求证:CB//PD(2)连接OC，若BC=3,∠BCD=30四.解答题(二).(本大题3小题,每小题9分,共27分)19.如图,某数学兴趣小组为了测量建在山上的信号塔BC的高度,先在附近一座办公楼底端D处测得信号塔BC顶端C的仰角为43∘,然后在办公楼顶端E处测得信号塔BC底部B的俯角为18∘,已知DE⊥AD,BC//DE,A,B,C在同一直线上,山的高度AB为59 m,办公楼的高度DE为86 m(点A,20.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且(1)求∠D(2)若CD=2，求AD21.如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB五.解答题(三).(本大题2小题,第22题13分,第23题14分,共27分)22.如图,矩形ABCD中,AD>AB,点P是对角线AC上的一个动点(不包含A、C两点),过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线图1图3(1)求证:△AEF∽△(2)连接BP，若BP=AB，且F为AD中点，求AP(3)若AD=2AB，移动点P，使△ABP与△CPD相似，直接写出23.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+bx−1经过点2,−1.点P在此抛物线上,其横坐标为m,连接PO并延长至点Q,使OQ=2PO.当点P不在坐标轴上时,过点P作x轴的垂线,过点备用图(1)求此抛物线对应的函数解析式.(2)△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变.如果不变，直接写出这个面积比;如果变化,(3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q(4)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时,直接写出m1.B2.D3.B4.D5.C6.B7.B8.A9.A10.A11.612.y13.814.4.115.316.317.1解:可画树状图为:由树状图可知一共有9种等可能性的结果数,其中小明和小丽选择相同基地的结果数有3种,∴小明和小丽选择相同基地的概率是3918.(1)证明:∵BD∴∠BCD∵∠1∴∠1∴CB(2)解:∵CD⊥∴∠BEC=∵∠BCD∴∠OBC∵OB=∴△BOC∴OB=∴AB=即⊙O的直径为19.19.5解:如图,过点B作BF⊥DE于点则DF=在Rt△BEF中,BF∴AD在Rt△ACD中,AC∴BC答:信号塔BC的高度约为19.5 m20.(1)∠D(2)AD(1)解:连接OC,如图,∵PD切⊙O于点∴OC∴∠OCD=∵OA=∴∠OCA∴∠OCD∵∠OCD而∠D∴2∠A+4∴∠D(2)解:在Rt△OCD中，∠OCD∴OC∴AD21.(1)y(2)4(1)解:把B−1,−3得:k=−∴反比例函数解析式为y=把A3,m代入得:m=∴A把A3,1,B得:1解得:k∴一次函数解析式为y=(2)解:如图,设一次函数y=x−2图象与y当x=0时，y∴C∴S22.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AC∴∠ABC=∠FAE=90∘∴∠AEF+∠∴∠AEF∴△AEF(2)∵BP=∴∠BAP=∠∵∠BAP∴∠E∴AB=设BC交FE于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AD∴△AFE∴BG∴BG=∴AF=∴CG=∵AD//∴△AF∴(3)5−14或5+14∵四边形ABCD是矩形,∴AD//①当△ABP∽△CDP时,∴P是AC∵AD∴∠ACB∴tan∠ACB即PFAP设PF=a,则∴AF∵AC=∴ABAF②当△ABP∽△CPD时，∴AP⋅设AB=CD则AD=BC∴CP∴t解得x=∴AB由①知PFAP∴PF∴AF∴∴AFAB=5−54或23.(1)解:将2,−1代入y−1解得b=−∴抛物线的解析式为y=(2)解:如图所示，面积比保持不变为54根据题意可得,∠M∴△QOD∵OP∴OQ∴S则S四边形(3)解:如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，该抛物线的顶点横坐标为−−22=1∴该抛物线的顶点坐标为1,−∵∠PNO∴△PON∽△OQD,且相似比为根据顶点纵坐标可得,OD=则PNOD即m解得m=①当m=1此时xQ点Q在第四象限,故Q2②如图所示，当m=1+3时，此时点P在第一象限，点此时xQ故Q−综上,Q23−2,−(4)解:①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E由∠PNO=∠TEO=90∴PN即m2解得m=1(舍去),或∴当点P向左运动时,满足题意,∴m②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E