广西钦州市第十三中学2025-2026学年春季学期高二年级开学考试数学试卷（含答案）

广西钦州市第十三中学2026春季学期高二年级开学考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、单选题（共8小题，每小题5分；共40分，只有一个正确选项）1．在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．3．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为（

）A．3 B． C． D．5．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．点在曲线上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线8．已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（

）A． B．2 C． D．二、多选题（共3小题，每小题6分；共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的，得6分，部分选对的得部分分，有选错的，得0分）9．关于，下列说法正确的是（

）A．B．C． D．展开式的二项式系数和为10．点在圆：上，点在圆：上，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为11．已知焦点为F的抛物线的准线为，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，直线AO、BO分别与准线相交于M、N两点，则（

）A．B．若，则直线AB的斜率的绝对值为2C． D．第II卷（非选择题）三、填空题（共3小题，每小题5分；共15分.）12．在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____.13．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____.14．已知随机变量，且，则___________．四、解答题（共5小题，共77分，解答时写出文字说明，证明过程或算数步骤）15．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点.16．已知圆和抛物线，F为C的焦点，点是抛物线上的动点，当时，，过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N．(1)求抛物线的标准方程；(2)当时，求的最小值．(3)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B，是否存在实数，使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．17．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．18．已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求点P的横坐标；(3)求的面积的最小值.19．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若，求CP与平面所成的角的正弦值.参考答案题号12345678910答案BCBDBBCAADBC题号11答案ACD12．/13．14．0.14/15．（1）因为，所以.又因为双曲线经过点，所以，解得.所以双曲线的方程为：.（2）由题意得，故，过的直线的斜率不为零，则设过的直线方程为，联立，得，则，所以，因为，

故直线BD的斜率为，直线BD方程为，由对称性分析可知直线BD过的定点在轴上，故中，令得，又，将其代入上式中得，，故此时直线BD过定点.若过的直线的斜率为零，则此时即为轴，此时也过，综上，直线BD过定点.16．（1）由抛物线的焦点坐标为，因为点是抛物线C上的动点，当时，，可得，即，解得，所以抛物线的标准方程为.（2）当时，圆的方程为，可得圆的圆心为，半径为，因为点是抛物线上的动点，可得，过点作圆的切线，切点为，则，其中为切线与的夹角，在直角中，可得，所以，又由，当时，，所以的最小值为.（3）假设存在实数满足题设中的条件，当点与坐标原点重合时，设切线的斜率分别为，则圆心到直线的距离为，可得，将代入抛物线，可得，则直线的方程为，由直线与圆相切，可得，联立方程组，解得（负值舍去）；下面证明：当时，对于抛物线上任意一点，直线与圆相切，设点，则直线的方程为，即，同理可得，直线的方程为，所以直线的方程为，因为直线与圆相切，则，即，同理可得，直线与圆相切，可得，则为方程的两个不等的实数根，则，点到直线的距离为，所以直线与圆相切，综上可得，存在，使得当点在曲线上运动时，直线与圆相切.17．（1）取的中点，连接，如图所示：因为，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由平面，，所以以点为坐标原点，分别为轴，过点平行于的所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知平面，平面,所以，所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，所以，又的中点为，，所以，在直角三角形中，，所以，则，设点，由，所以，①则，又，所以有，②又，即，③联立①②③解得：，所以，所以，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为：.18．（1）由双曲线为等轴双曲线，有，又由，有，可得，故双曲线C的标准方程为.（2）设（其中），有，可得.设直线的方程为，直线的方程为.由直线和直线都与圆O相切，有.，

可得是关于k的方程的两个根，整理为，有.联立直线和直线方程消去y后，有，代入，有，整理为，又由，有，代入，可得，故点P的横坐标为或1.（3）由圆的对称性，可知.又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1，又由，可得直线OP的方程为，取，可得点P的坐标为，有.可得（当且仅当或时取等号），故的面积的最小值为4.19．（1）如图，取棱的中点为Q，连接PQ，BQ，且.又且且四边形BCPQ为平行四边形，.平面平面平面.（2）如图，取棱AD的中点为O....四边形BCDO为平行四