微分中值定理的反问题研究

微分中值定理的反问题研究摘要：微分中值定理是微分学的基本定理。本文讨论了微分中值定理基本的3个定理的反问题（Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理的反问题）并加以证明，对凸函数的微分中定理的反问题也作了详细的研究，较为完整地讨论了数学分析中柯西中值定理反问题。关键词：中值定理；反问题；极值;凸函数Abstract:ThispaperdiscussedtheCauchymid-valuetheoremoftheinverseproblem(theinverseproblemofRolle,LagrangeandCauchymid-valuedtheorem)andwewroteproof.WealsodiscussedtheCauchymid-valuetheoremoftheinverseproblemwithconvexfunction.WecompletelydiscussedtheinverseproblemofCauchyMeanValueTheoreminmathematicalanalysis.Keywords:Meanvaluetheorem；Theinverseproblem；Extremevalue;Convexfunction1引言微分中值定理是微分学的基本定理，它在微分学中起着非常重要的作用。是数学分析解题中的基本数学工具，是教学中的重点。已有研究者对微分中值定理的推广形式及其反问题进行了研究，受之启发，本文对微分中值定理的反问题进行了新的研究。一般情况下，微分中值定理是充分非必要条件，但是只要对其加强条件或者变成它的逆命题便可以得到微分中值定理的反问题。微分中值定理反问题早在六七十年代就有人研究，如今，研究此类命题的人越来越多，使得微分中值定理反问题的研究越来越充分，越来越完善。在已有微分中值定理反问题的基础上，本文讨论了柯西中值定理的反问题，利用连续函数的介质定理，得到柯西中值定理的逆定理，推广了已有的结果。2预备知识定理对任意若在点的某邻域上连续且在点可微；在点的某邻域内为的严格递增函数(除点外)；，则在内可找两点使得。引理设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，在点处且为极值，则存在使得。3主要结论及其证明3.1柯西中值定理反问题引理：对任意的，设函数在上连续，在点处取极值，则存在，使得。证明：因为在点处取极值，不失一般性，设在点处取得极大值，则存在的一个邻域，使得有若，则取，则。若，令，则，。由介质定理，存在，使得，即，取，所以，有。若，令，则，。由介质定理，存在，使得，即。取，，有。综合，存在，使得。定理：对任意给定，若在上连续，且在点处可导；；在点处取极值。则存在，使。证明：显然在点连续，则存在，使。即。即。定理1若在内可微，则对内任何两点，存在，使得。该定理的反问题是：若在内可微，对是否存在使得反例如下：例1，对，找不到所需的使得式成立。事实上，而对，当时，，故等式不成立。注：如果把的条件加强为在内或，则有以下的结论：定理2若在内二次可微且，则对，存在，使得等式成立。此定理经常可以看到。文献也给出了使等式成立的一个充分条件。即函数的导数通过时改变符号。下面考虑一般情况，我们有定理3设在上连续，在内可导，且在上是严格上凹，则对，在内可找到两点，使得式成立。证明由于在上是严格上凹，故，则有若，则是的极小值。由式可知，存在，都有。若，则取，则满足式。若，不妨设，取，则，根据介值定理，存在，使，从而等式成立。若，设，则在上连续，在内可导，在上严格上凹，且，，对于函数，应用中的结论，则在内可以找到两点，使，即有，化简可知式成立。注定理3是定理2的改进，事实上，满足定理2条件的函数必须满足定理3的条件，反之则不成立。例2在点,即在处二阶导数不存在，但在上是严格上凹的。下面写出定理2与定理3的另一种形式：定理设在内二次可微，，若，则在内可找到两点，使得当时结论未必成立。定理设在上连续，在内可导，且在上是分段依次为严格上凹、严格下凹的，，则当不是拐点时，存在，使得成立。3.2三种常见中值定理的反问题定理4（Rolle中值定理的反问题）设f(x)在上连续，在内可导，使，若存在的领域使在邻域的两侧异号，则存在，使。定理5（Lagrange中值定理的反问题）设在上可导且为严格凸函数，则对，必存在两点，使。证明不妨设在上是严格凸函数，则对任意，对函数，当时，有即函数在点取严格极小值。所以在上必存在两点使，即在上必存在两点，使。注因为“若函数在上可导且为严格凸函数的充分必要条件为：在上严格递增”，故可将定理5中的条件“严格凸”改为“严格单调”。由定理5可得下面的结论推论1设函数在上具有二阶导数，且对任意的，有：，则对任意的，存在两点，使。定理6（Cauchy中值定理题的反问题）设函数在上可导且对任意的，有，函数在上严格单调，则对任意，存在两点，使。证明由已知不妨假设函数在上严格增加且。对任意，设函数，则当时，。故函数在点取严格极小值。所以在上必存在两点，使。推论2设函数在上具有二阶导数，且对任意的，存在两点，使。证明令，则由定理条件可知，函数在上可导且，所以函数在上严格增加单调，由定理2可得出推论2。根据所学的知识可以得出柯西中值定理的一种推广新式：定理7，，是上的连续函数，在内均存在有限导数，那么必有，，使。上述定理都已证明，受3种微分中值定理的反问题定理的启发，推出柯西中值定理的推广形式定理7的反问题。定理8设、是上的连续函数，在内均存在有限导数，，严格单调递增，则，存在、，，使。结合文献的反问题定理的证明方法，给出定理8的证明。证明：对，设，，显然在上连续，在内可导，且，，由于严格单调递增，所以，存在，使得，因而，，即在的两侧分别存在和邻域，使于此邻域内在的两侧异号，存在使，即，化简后可得到。3.3凸函数微分中值定理的反问题以下先介绍凸函数的有关知识：命题1设函数是区间内的下凸函数，则对上任意三点，成立如下几个不等式：(ⅰ)或；(ⅱ)或；(ⅲ)或；如果命题1中函数是严格凸的，则至中的所有不等号均可换成严格不等号。直接利用命题1可以得到如下推论1和推论2。推论1如果函数在内是下凸，则对内任意一点以及内任意点有在点处存在左、右导数成立不等式；或推论1中如果在区间上是严格下凸的函数，中的不等式可换为推论2设是区间内的下凸函数，则左导数都是区间内的增函数。在内连续。除可数个点之外，函数可导。所以获得的结果如下：定理10设是区间内的严格凸函数，则任取一点,对内任意另外的两点,存在内的两点,使。证明不妨设是区间内的严格凸函数，对,由式得,比较各个不等号，去分母移项后，有作闭矩形上的辅助函数,据推论2，函数在上连续，在上两个顶点和处，,根据连续函数介值定理，在两个顶点和连线的内部存在一点使得即于是其中。类似可证等式推论设是区间内的严格凸函数，则除可数个点之外，对内其余每一点，对，使式成立。只需用命题1的推论2的和定理1即可以证明推论。上述方法也可以用来证明类似柯西中值定理的一反问题。定理2设函数在区间内单调增、严格下凸；在区间内上凸；，并且，则，使或证明根据命题1的推论1的，，因为，取，成立不等式由于是增函数，利用式可以得到比较与两式，可以得以及作闭矩形上的辅助函数则在上连续，在的两个顶点和处，根据连续函数的介值定理，在连接上述两个顶点的直线段，即的一个对角线内存在一点使，即得到其中，类似可证适当改变定理2的条件，则有定理定理的条件不变；在区间内下凸；，则两式成立。注：令时，定理2可以归为定理1，但是定理2并不是文中的推广。4结语本文在阅读了多篇关于微分中值定理反问题的前提下浅谈对微分中定理反问题的看法，并作了少许改动加以证明。本文通过阐述了微分中值定理基本的3个定理的反问题（Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理的反问题）并加以证明，对凸函数的微分中定理的反问题也作了详细的讨论，较为完整地讨论了数学分析中柯西中值定理反问题的两种推导和证明方法，如辅助函数中导出辅助函数的观察法、积分法、微分方程法以及待定常数法。其中积分法、微分方程法在文中到得到新的提炼，待定常数法是新引入的方法。推出了多个新的微分中值定理和微分中值反问题定理，而且介绍上述方法而引入的一些实例也有一定参考价值，提供了一个克服微分中值定理学习难点的有效捷径，对学习数学分析，高等数学的学生有帮所帮助，有效地提的高数学分析及高等数学的教学效率。参考文献[1]田雨.关于《柯西中值定理的推广》[J].数学通报，1980（03）:27-28.[2]陈庆.微分中值定理逆命题的讨论[J].南阳师范大学报（自然科学版），2004（12）:21-24.[3]张太忠，黄星，朱建国.微分中值定理新研究[J].南京工业职业技术学院学报，2007（04）：23-26.[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2000.[5]华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等出版社,1988.[6]王丽萍.对广义柯西中值定理——“中间点”渐近性的证明[J].沈阳化工学院学报,2005(1):67-70.[7]陈燕，朱建国.基于微分中值定理的反问题研究[J].现代农业科技,2008(24):317.[8]黄星.微分中值定理及反问题研究[J].气象教育与科技,2007(78):22.[9]杨新民.微分中值定理的反问题[J].重庆师范学院学报,1991(03):01