五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)12：图形的变化（学生版）

专题12图形的变化（原卷版）考点1轴对称/中心对称图形的识别1．（2021·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B． C． D．2．（2020·山西·中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．（2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心5．（2022·山西·中考真题）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．6．（2025·山西·中考真题）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（

）A． B． C． D．考点2三视图1．（2020·山西·中考真题）下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（

）A． B． C． D．考点3利用旋转的性质求解1．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为．2．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

3．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．4．（2020·山西·中考真题）综合与实践问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若，，请直接写出的长．考点4解直角三角形及其应用1．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为．

2．（2021·山西·中考真题）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯的坡度（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为米．3．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．4．（2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图

相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，计算结果交流展示5．（2025·山西·中考真题）项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算活动过程方案说明图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．数据测量在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计计算……交流展示……请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）．6．（2021·山西·中考真题）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）．7．（2020·山西·中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．一、单选题1．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（2025·山西·一模）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B．C．D．3．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（

）

A．4 B．6 C．8 D．164．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张矩形纸条折叠，折痕分别与交于点M，N，点A，B分别落在点E，F处，与交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行6．（2025·山西运城·二模）十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼做过一个实验，他安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子．然后开始拉动弓弦，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着弓弦拉出的节奏的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂——这就是著名的克拉尼图形，下列四幅克拉尼图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（

）A．B．C．D．7．（2025·山西晋中·二模）中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．寿字纹B．万字纹C．冰裂纹 D．柿蒂纹8．（2025·山西吕梁·二模）2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（

）A．是轴对称图形不是中心对称图形B．是中心对称图形不是轴对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形9．（2025·山西吕梁·一模）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上．若，，则的长为（

）A． B． C． D．10．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（

）A． B． C． D．11．（2025·山西运城·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（

）A． B． C． D．12．（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（

）A． B． C． D．13．（2025·山西大同·二模）随着2025年全民健身热潮兴起，运动备受欢迎．下列运动的图标中，是中心对称图形的是（

）A．B．C． D．14．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（

）A． B． C． D．15．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．16．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（

）A． B． C． D．17．（2025·山西·一模）如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（

）A． B．6 C． D．18．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接对角线，是上一点，已知点的坐标为，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．19．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．20．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（

）A． B． C． D．21．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．22．（2024·山西太原·一模）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．23．（2025·山西大同·三模）如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（

）A．主视图不变，左视图、俯视图改变B．左视图、俯视图不变，主视图改变C．主视图、俯视图不变，左视图改变D．主视图、俯视图、左视图都发生改变二、填空题24．（2025·山西阳泉·一模）如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为．25．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺，且，顶点的坐标为，现将三角尺向左平移，使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为．26．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为．27．（2025·山西晋中·一模）如图，小明设计了一个“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形．将其放在平面直角坐标系中，点的坐标依次为，则点的坐标为．28．（2025·山西忻州·模拟预测）在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为．29．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为．30．（2025·山西·一模）已知直角三角板中，现将一个量角器和该三角板按照如图方式摆放，其中点与量角器的中心重合，点落在量角器的外边缘圆弧上，边与圆弧交于点．若点是的中点，，则图中阴影部分的面积为．31．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为32．（2025·山西晋中·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为．33．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为．34．（2025·山西晋城·一模）如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为．35．（2025·山西长治·二模）如图：中，，，平分，交于点E，若，则长为．36．（2025·山西·模拟预测）如图，为了测量交通指示牌支撑杆的高度，小亮利用测角仪在点处测得点处的仰角分别为和．已知点在同一竖直平面内，测角仪始终与水平地面垂直．测角仪的高度，则支撑杆的高度约为．（结果精确到，参考数据：）37．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．传送带和地面所成斜坡的坡度为，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是米．38．（2025·山西大同·三模）如图，在中，，，．点E是上一点，若，则的长为．39．（2025·山西大同·二模）如图，在矩形中，，点是的中点，将矩形沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的长为．三、解答题40．（2025·山西晋中·一模）综合与探究问题情境：如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由．深入探究：（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．41．（2025·山西·三模）阅读与思考“算两次”原理富比尼原理（Fubini'sPrinciple），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式．例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米．思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解．方式一：．方式二：．解：设正方形的边长为，则．四边形是正方形，．，四边形是矩形．．．……任务：(1)例1中得到的乘法公式是______（用含的式子表示）．(2)请将例2中的剩余过程补充完整．(3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接，若，则点到的距离为______．42．（2025·山西·一模）综合与实践问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F．初步探究：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接．（2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值．43．（2025·山西朔州·一模）综合与实践数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值．数学思考：（1）解答白老师的问题．深入探究：（2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值．②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由．44．（2024·山西运城·三模）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和．观察发现：（1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________．操作探究：（2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由．拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长．45．（2025·山西·模拟预测）综合与探究问题情境如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，．操作发现（1）若，则的长为________，的长为________．拓展探索（2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，．①请判断和的数量关系，并说明理由．②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段．46．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．尝试发现：（1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系；类比探究：（2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由；拓展探究：（3）若，，请直接写出的值．47．（2025·山西大同·二模）综合与探究问题情境：如图1，两块全等的三角形纸片叠放在一起，，．初步探究：（1）如图2，将沿方向平移，当点与点重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图2位置的绕点顺时针旋转得到．的对应点分别是，．①如图3，当时，垂足为，与交于点，求线段的长；②当时，请直接写出点到直线的距离．48．（2025·山西大同·三模）综合与探究问题情境：如图1，在等腰直角三角形中，，点在边上，于点，将绕点顺时针旋转．猜想证明：（1）如图2，已知点分别是的中点，连接，取的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；深入探究：（2）如图2，连接，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）如图3，设直线与直线交于点，若，将绕点旋转一周，当三点共线时，直接写出的长．49．（2025·山西晋中·二模）综合与探究问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究．创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点．猜想证明：小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究：（1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________；（2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由；综合应用：（3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长．50．（2025·山西·一模）综合与探究问题情境在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由．数学思考（1）请你解答老师提出的问题．深入探究（2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由．（3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由．51．（2025·山西运城·二模）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）

(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？(2)试求海底山丘CE的坡度是多少？

52．（2025·山西·模拟预测）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据．数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为．数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）53．（2025·山西长治·模拟预测）综合与探究问题情境：在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内．猜想证明：（1）如图，连接并延长，交边于点求证：．（2）如图，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点试判断四边形的形状，并说明理由．问题解决：（3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积．54．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．【初步研究】（1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____．【知识迁移】（2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值．【深入探究】（3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长．55．（2025·山西晋中·一模）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量．方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为，数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，）56．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案．方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下：①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G；②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称；③米，米，米，米（，均与垂直）．④抛物线的函数表达式为．…解决问题：请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，．①请求出线段的最大值；②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长．57．（2023·山西大同·三模）综合与实践问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．

(1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________．(2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．58．（2025·山西大同·二模）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流量，2024年共接待了近450万名游客．为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构：（、均在竖直方向上），伞顶杆始终平分，，当时，伞完全打开，M与D在同一高度，此时．请问伞顶A到地面的高度是多少（结果保留整数，参考数据：，，）59．（2024·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，）60．（2025·山西大同·三模）综合与实践为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．(1)求a的值．(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？(3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）61．（2025·山西运城·二模）学科实践驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作．研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米．2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务：(1)为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°；(2)如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）．62．（