五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(广西专用)07：二次函数及实际应用（60题）（教师版）

专题07二次函数及实际应用（60题）一、单选题1．（2023·广西·中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（

）A． B．若实数，则C． D．当时，【答案】C【分析】先根据抛物线对称轴求出，再由抛物线开口向上，得到，则由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当时，，即可判断C；根据时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．【详解】解：∵抛物线的对称轴是，∴，∴，∵抛物线开口向上，∴，∴，∴，故A说法正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，，∴当实数，则，∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意；∵当时，，∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；∵，∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，∴，故D说法正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．3．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．4．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．5．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．6．（2021·广西河池·中考真题）二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（

）A．对称轴是直线 B．当时，C． D．【答案】D【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．【详解】解：A、对称轴为：直线，故选项A正确，不符合题意；B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方，∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意；C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a+c=b，故选项C正确，不符合题意；D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．7．（2021·广西百色·中考真题）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把M点的运动过程分为AE段（）和BE段（）两个过程，然后根据题意可知在AE段，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图像进行判断即可【详解】解：如下图所示，当M点的运动过程在AE段则由题意可知∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点∴，∴∵，，∴∵直线l⊥AB∴∠OME=∠A=90°∴△HAE∽△OME∴∴又∵∴∴∴如下图所示，当M点的运动过程在BE段同理当在BE段时即同理可以得到∴∴∴综上所述当M点的运动过程在AE段时，二次函数开口向下；当M点的运动过程在BE段时，二次函数开口向上故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.8．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】与关于y轴对称抛物线的对称轴为y轴，因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称设与交点为，则，即在点之间的函数图像满足题意的解集为：故选D．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．二、填空题9．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则．【答案】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．设抛物线解析式为：，把点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；当时，，解得，（舍去），，即此次实心球被推出的水平距离为．故答案为：10．（2022·广西贵港·中考真题）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有个．【答案】3【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，∴代入(-2,0)、(1,0)得：，解得：，故③正确；∵抛物线开口朝下，∴，∴，，∴，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点，∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，∴方程的判别式，故②正确；∵，∴，，∴，∵，，∴，即，故④正确；∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，∵，∴，故⑤错误，故正确的有：②③④，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．11．（2021·广西贵港·中考真题）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是．【答案】8【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【详解】解：根据题意知：．因为，所以当时，．即的最大值是8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．12．（2021·广西·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为．【答案】．【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．【详解】解：∵，，，，∴，，由平移的性质可知：,∴四边形的周长为；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,∴，当B、E、三点共线时，的值最小，设直线的解析式为：，∴，当时，∴∴，将E点坐标代入解析式可得：，解得：，此时，此时四边形的周长为；当时，，，，，此时四边形的周长为：；∵，∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：．【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．三、解答题13．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．

(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．【答案】(1)见详解(2)(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边中，，，∴，∴，设的长为x，则，，∴，∴，同理（1）可知，∴，∵的面积为y，∴；（3）解：由（2）可知：，∴，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．14．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，抛物线顶点(2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小(3)【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB=90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x=5，M（6，-3）．设P（5，m），分三种情形：当BP=BM时，当PB=PM时，当BM=PM时，分别构建方程求解即可．【详解】（1）解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），，∴，抛物线的解析式为；由抛物线顶点；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．，，，，，，轴，轴，，，，，与的面积之和，S有最小值，最小值为，此时，时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．（3）存在，如图2，，，的对称轴为直线，将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．抛物线的对称轴为直线，设，当时，，，，当时，，解得，，，当时，，解得，，综上所述，满足条件的的坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【答案】(1)b=4，c=5，m=5(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）(3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG是矩形，而可得四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直线的解析式为：可得设P（2，p），再利用勾股定理表示BP2＝，再分两种情况建立方程求解即可．【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得：∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴解得：∴直线的解析式为：∴设P（2，p），∴BP2＝，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴解得：∴②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴解得：∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．16．（2022·广西贵港·中考真题）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若轴交于点E，求的最大值；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【答案】(1)(2)最大值为(3)或，【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标为，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出和，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点，∴解得：，，∴抛物线的表达式为．（2）解：∵，∴直线表达式为，∵直线与x轴交于点C，∴点C的坐标为，∵轴，轴，∴，∴，∴，则，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，∵，∴，∵，∴当时，有最大值，且最大值为．（3）解：根据题意，在一次函数中，令，则，∴点C的坐标为（2，0）；当∽时，如图此时点D与点C重合，∴点D的坐标为（2，0）；∵轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：，∴点P的坐标为（2，3）；当∽时，如图，则，设点，则点P为，∴，∵，∴，，∴，∴，∴点D的坐标为，点P的坐标为；∴满足条件的点P，点D的坐标为或，．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析．17．（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF：(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【答案】(1)(2)见解析(3)存在，或【分析】（1）设抛物线的表达式为，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，直接利用待定系数法求解即可；（2）由正方形的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质即可求证；（3）分别讨论：当点M在线段BD的延长线上时，当点M在线段BD上时，依次用代数法和几何法求解即可．【详解】（1）设抛物线的表达式为，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，得，解得，抛物线的表达式为；（2）四边形OBDC是正方形，，，，；（3）存在，理由如下：当点M在线段BD的延长线上时，此时，，设，设直线OM的解析式为，，解得，直线OM的解析式为，设直线BC的解析式为，把B（0、3）、C（3，0）代入，得，解得，直线BC的解析式为，令，解得，则，，四边形OBDC是正方形，，，，，，解得或或，点M为射线BD上一动点，，，，当时，解得或，，．当点M在线段BD上时，此时，，，，，由（2）得，四边形OBDC是正方形，，，，，，，，，；综上，ME的长为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键．18．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)(2)6(3)(，)或(，)或(，)【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．【详解】（1）解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．（2）将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵B，Q，共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，∵C（0，4），，∴，∵B（4，0），∴＝＝5，∴，∴CP+PQ+BQ最小值为6．（3）如图：由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．19．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．【答案】(1)(2)①点E在抛物线上；②P（0，−）【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线，得，∴，∴抛物线解析式为．（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，∴点E的坐标为（6，3），当x=3时，，∴点E在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，∵A（−3，0），B（0，−4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，∴HP＋PE的最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴，∴，∴，∴OP＝−3＝，∴P（0，−）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键．20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)点P坐标为；(3)存在，【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；（2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解．【详解】（1）根据题意，得，解得，抛物线解析式为：．（2）由（1）得，点，且点，．∵当是以BC为底边的等腰三角形∴PC=PB，∵OP=OP，∴，∴，设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，∴，∴，∵抛物线对称轴，∴，∴，．点P坐标为．（3）存在．理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F．设，则，设直线BC的解析式为：，依题意，得：，解得，直线BC的解析式为：，当时，，点E的坐标为，∵点M在第一象限内，且在BC的上方，，，．∵，，解得．【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．21．（2022·广西贺州·中考真题）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？【答案】(1)；(2)每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．【分析】（1）根据“该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得与x之间的函数关系式是．（2）解：根据题意，得∴抛物线开口向下，W有最大值当时，答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．22．（2022·广西·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)求点A，点B的坐标；(2)如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）(2)-3(3)或或【分析】（1）令，由抛物线解析式可得，解方程即可确定点A，点B的坐标；（2）由抛物线解析式确定其对称轴为，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由列方程求解即可；（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5）．可分和两种情况：当时，抛物线的顶点大于或等于5，把代入，y的值小于或等于5，从而求得结果；当时，将代入抛物线解析式，y的值大于或等于5，从而求得结果．【详解】（1）解：抛物线解析式，令，可得，解得，，故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；（2）对于抛物线，其对称轴为，∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，∴P（1，m），将直线l与抛物线解析式联立，可得，可解得或，故点C坐标为（4，-5），∴，，当时，可得，解得；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），∵，∴该抛物线的对称轴为，其顶点坐标为，①当，即时，抛物线顶点在线段MN上，此时抛物线与线段MN只有一个交点；②若抛物线顶点不在线段MN上，当时，如图1，结合抛物线的对称性，可知若与线段MN只有一个交点，则抛物线的顶点大于5，且时，y的值小于或等于5，时，y的值大于5，即，解得；②当时，如图2，当时，，若与线段MN只有一个交点，则当时，y的值大于或等于5，即，解得；综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、勾股定理的应用、利用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．23．（2022·广西·中考真题）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示．(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．【答案】(1)y=-5x+500，50＜x＜100(2)75元，3125元【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得，确定解析式，结合图像，确定自变量取值范围是50＜x＜100．（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即可．【详解】（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得，解得∴函数的解析式为y=-5x+500，当y=0时，-5x+500=0，解得x=100，结合图像，自变量取值范围是50＜x＜100．（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：W=（x-50）(-5x+500)=，∵-5＜0，∴w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元．【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数是解题的关键．24．（2022·广西玉林·中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．【答案】(1)(2)不能，理由过程见详解(3)(1,4)或者()【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，根据等边三角形的性质即可求出P点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；（3）先根据PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根据（2）中的结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tan∠CBO=2，分类讨论：第一种情况：△BMH∽△CMP，即可得，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，先证明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=，即可得PH=OG=+4，则有P点坐标为(a,+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求．【详解】（1）∵的对称轴为，∴，即b=2，∵过B点(2,0)，∴，∴结合b=2可得c=4，即抛物线解析式为：；（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，∵当x=0时，，∴C点坐标为(0,4)，∴OC=4，∵D点是OC的中点，∴DO=2，∵在等边△POD中，PN⊥OD，∴DN=NO=DO=1，∵在等边△POD中，∠NOP=60°，∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，∴P点坐标为(,1)，经验证P点不在抛物线上，故假设不成立，即△POD不可能是等边三角形；（3）∵PH⊥BO，∴∠MHB=90°，根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，即OC=4，∵B点(2,0)，∴OB=2，∴tan∠CBO=2，分类讨论第一种情况：△BMH∽△CMP，∴∠MHB=∠MPC=90°，∴，∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，当y=4时，，解得：x=1或者0，∵P点在第一象限，∴此时P点坐标为(1,4)，第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，如图，∵△BMH∽△PMC，∴∠MHB=∠MCP=90°，∴∠GCP+∠OCB=90°，∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠GCP=∠OBC，∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，∵PG⊥OG，∴在Rt△PGC中，2GC=GP，设GP=a，∴GC=，∴GO=+OC=+4，∵PG⊥OG，PH⊥OH，∴可知四边形PGOH是矩形，∴PH=OG=+4，∴P点坐标为(a,+4)，∴，解得：a=或者0，∵P点在第一象限，∴a=，∴，此时P点坐标为()；∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．25．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究n的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）由中，得，，，利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为；（2）根据直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得，且，，，从而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得m=2或m=3（舍去）；（3）由得：或，①若，即，根据且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得，综合可得结果．【详解】解：（1）在中，令得，令得或，∴，，，设直线CA的解析式为，则，解得，∴直线CA的解析式为；（2）∵直线x=m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，∴，且，，，∴，，∵，，∴，是等腰直角三角形，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵E为GA的中点，∴，∴，解得或，∵时，D与A重合，舍去，∴；（3）由得：或，①若，即，∵且，∴，且，解得；②若，即，可得：且，解得．综上所述，n的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用是解题的关键．26．（2021·广西百色·中考真题）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）y=x2x+2；（3）P的坐标（，0）、（，0）或（，4）．【分析】（1）根据已知条件求出A、C的坐标，得到∥，，结合点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，得到，则，从而得到，即可证AD＝CD；（2）根据点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，求出E（，），得到直线CE的解析式，又D点在x轴上，求出D（，0），设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为，将B（4，2），D（，0），C（0，2）代入即得抛物线的解析式；（3）分别计算S△PBC和S△OAE，利用S△PBC＝S△OAE列方程，求出P点的纵坐标，再代入抛物线得到P点的横坐标，即可求出P点的坐标．【详解】（1）证明：∵直线l：y＝﹣x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，B（4，2），∴A（4，0），C（0，2）∴∥∴∵点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，∴∴∴∴AD＝CD（2）解：设OD=m，由对称可得CE=BC=4，AE=AB=OC=2，∠AED=∠B=90°，∴CD=AD=4-m，在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，∴m2+22=（4-m）2，∴m=，∴D（，0），设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：，解得∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2x+2；（3）存在，理由如下：∴∴解得或又x＞0当时，代入y=x2x+2，得，当时，代入y=x2x+2，得，（舍去）综上，P的坐标（，0）、（，0）或（，4）【点睛】本题是二次函数与几何的综合题．需要大量的计算过程，找准关键点进行计算是本题的关键，一般出现在压轴题中，难度较大．27．（2021·广西桂林·中考真题）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）把代入函数解析式求解再把代入求解令列方程，再解方程即可得到的坐标；（2）设再利用勾股定理表示再利用从而列方程解方程可得答案；（3）分两种情况讨论，当时，求解的解析式，再求解的坐标即可，当过的中点时满足条件，再求解的解析式即可得到答案.【详解】解：（1）把代入函数解析式得：把代入令结合题意可得：（2）如图，设而则（3）存在，理由如下：如图，连接过作交抛物线于则到直线的距离相等，设直线为得：直线为由设为，而则直线为解得：或如图，当过的中点时，则到的距离相等，则同理可得：的解析式为：解得：或综上：或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，两平行线之间的距离，三角形的中线的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.28．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．【答案】（1）；（2）F（-4，3），（3）．【分析】（1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；（2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；（3）由，MN＝CE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标．【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：，解得：，∴原抛物线对应的函数表达式为：；（2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，∴新抛物线对应的函数表达式为：，即：故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为，以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线；当平行四边形为时，点F坐标为，即，此时；故不在新抛物线上，综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为；（3）∵，MN＝CE，∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，，解得：，即M点坐标为，∴点N坐标为，设直线MN解析式为，∴，解得：，即：，故直线MN与y轴交点K坐标为．【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键．29．（2021·广西贵港·中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）或或【分析】（1）先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；（2）分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；（3）先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，，，点的坐标为，，抛物线的解析式为，点在抛物线上，，，，抛物线的解析式为；（2）Ⅰ、当点在轴上方时，如图1，记与的交点为点，，，直线垂直平分，点在直线上，点，，直线的解析式为，当时，，点，点点关于对称，，直线的解析式为，即直线的解析式为；Ⅱ、当点在轴下方时，如图2，，，由Ⅰ知，直线的解析式为，直线的解析式为，即直线的解析式为；综上，直线的解析式为或；（3）由（2）知，直线的解析式为①，抛物线的解析式为②，或，，，，，点在轴左侧的抛物线上，设，，过作轴的平行线交直线于，，，，或（舍）或或，或或．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．30．（2021·广西贺州·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，且，对称轴为直线．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线过点且在第一象限与抛物线交于点．当时，求点的坐标；（3）点在抛物线上与点关于对称轴对称，点是抛物线上一动点，令，当，时，求面积的最大值（可含表示）．【答案】（1）；（2）点的坐标是（6，7）；（3）当时，的最大面积为，当时，的最大面积为64【分析】（1）根据已知点和对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）由得等腰直角三角形，从而求得坐标；（3分情况讨论，在对称轴的左右两边，即当，时分别求得面积的最大值【详解】（1）∵抛物线过，对称轴为，∴，解得∴抛物线表达式为．（2）过点作轴于点，∵，∴，设点的横坐标为，则纵坐标为，∴，代入，得：．解得（舍去），，∴∴点的坐标是（6，7）．（3）由（2）得的坐标是（6，7）∵对称轴，∴点的坐标是（－2，7），∴，∵与轴平行，点在轴下方，设以为底边的高为则，∴当最大值时，的面积最大，∵，，①当时，，此时在上随的增大而减小．∴，∴，∴的最大面积为：．②当时，此时的对称轴含于内∴，∴，∴的最大面积为：．综上所述：当时，的最大面积为，当时，的最大面积为64.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，二次函数求最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键．31．（2021·广西柳州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；（2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标；（3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值．【详解】解：（1）依题意，设，代入得：，解得：∴；（2）由，设=x，则，∵BE⊥OD，∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，即，解得：（舍），∴，，过点E做平行于交y轴于T，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∴直线的解析式为，∵的延长线交抛物线于点D，∴，解得：（舍），当时，，∴

；

（3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H作轴交于点T，过M点作于点D，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，

设直线的解析式为，将B，C两点代入得解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，设，∴，∵，∴，

∴．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算．32．（2021·广西·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线可知坡顶坐标为，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，，解得：，∴抛物线的函数解析式；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米，∴，解得：（不合题意，舍去），，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线，∵抛物线，∴坡顶坐标为，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，∴，解得：．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．33．（2021·广西玉林·中考真题）已知抛物线：（）与轴交点为，（在的左侧），顶点为．（1）求点，的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线与抛物线交于点，，且，关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为点，若，求点，的坐标．【答案】（1），对称轴为直线；（2）；（3）或【分析】（1）令y=0时，则有，然后进行求解即可，最后利用抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）设点M、N的横坐标分别为，由题意可得，则有，然后利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；（3）由（2）及题意易得抛物线向上平移了4个单位长度得到新的抛物线，，然后设点，进而根据两点距离公式可得，最后求解即可．【详解】解：（1）令y=0时，则有，解得：，∵点在点的左侧，∴，∴抛物线的对称轴为直线；（2）联立直线与抛物线的解析式可得：，化简得：，设点M、N的横坐标分别为，∵点，关于原点对称，∴，∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（3）由（2）可得：，化为顶点式为，∴顶点，∵将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，∴，∴新抛物线是由抛物线向上平移了4个单位长度得到，∵直线与轴的交点为，∴，设点，∵，∴由两点距离公式可得：，化简得：，解得：，∴或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．四、单选题34．（2025·广西贵港·模拟预测）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．甲：无论m取何值，都有．乙：若点P平移后的对应点为，则点P移动到点的最短路程为；丙：当时，随着m的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（

）A．只有甲说得对 B．只有乙说得对C．只有甲和乙说得对 D．甲、乙、丙都说得对【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得对．【详解】解：抛物线开口向下，顶点为，无论取何值，都有；故甲说得对；将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，点移动到点的最短路程为，故乙说得对；，当时，，随着的增大而减小，当时，随着的增大，线段由长变短，故丙说得不对．故选：C．35．（2025·广西·二模）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，即可得出答案．【详解】对于二次函数，其二次项系数，∴该函数图象开口向上，对称轴为，∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点就在对称轴上，到对称轴距离为，∵二次函数图象开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，且，∴．故选：D．36．（2025·广西防城港·模拟预测）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用．利用待定系数法求得抛物线解析式为，再由P点横坐标为3求出P的纵坐标，再加即可求解．【详解】解：∵拋物线的顶点，∴设抛物线解析式为，∵抛物线经过原点，∴，∴，∴抛物线解析式为，则将代入，可得，∴P到地面的高度为，故选：D．37．（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程的一个根可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键．观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解．【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间，而在和之间被选项中的数为，∴的方程的一个根可能为．故选：D．38．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合．分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求．【详解】A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意；B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意；C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意；D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意．故选：C．39．（2025·广西河池·一模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，即可判断a，c的符号，然后求出即可求解．【详解】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴，则．故选：A．40．（2025·广西南宁·一模）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．根据抛物线开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．【详解】解：A、∵抛物线开口向下，∴，故此选项不符合题意；B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，∴，故此选项不符合题意；C、∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴，故此选项不符合题意；D、∵抛物线与x轴有2个交点，∴，故此选项符合题意；故选：D．41．（2025·广西崇左·一模）将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（

）A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位【答案】D【分析】本题主要考查二次函数图象的平移；根据“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：由题意得：平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位；故选：D．42．（2025·广西南宁·模拟预测）二次函数的图象中，以下性质正确的是（

）A．图象开口向下B．图象的对称轴为直线C．图象向左平移1个单位得到D．当时，随的增大而增大【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的性质进行逐项判断即可．【详解】解：中的，且顶点坐标是，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，选项A、B、D不符合题意；二次函数图象向左平移1个单位得到，即．选项C符合题意．故选：C．43．（2025·广西来宾·一模）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据中顶点坐标为求解即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选：B44．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答．【详解】解：设，把代入中得：，；设，把代入中得：，解得：，；设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，由题意得：，，当时，，，当时，，能获取的最大总利润是万元，故选：D．五、填空题45．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为m．【答案】0.3【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可．【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为．设y与x之间的函数表达式为，将点代入，得，

解得，∴y与x之间的函数表达式为，当时，，即的长为，故答案为：0.3．46．（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可．【详解】解：在中，当时，，∴，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，∴，∴，∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∴，解得（已检验），∴平移后的抛物线解析式为，故答案为：．47．（2025·广西南宁·三模）如图，点P是菱形对角线上的一点，，点E，F分别在上，且，分别连接并延长交于点H，G．记，当k的值达到最大时，的长为．【答案】2【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，过点作交于点，并延长交于点，证明，可得，设，则，可得，利用三角形面积公式可用表示，利用二次函数的性质即可解答，正确作出辅助线，将问题转换为代数问题是解题的关键．【详解】解：如图，过点作交于点，并延长交于点，，四边形是菱形，，，，,分别是的高，，设，则，，，，，，故当，即时，取最大值，故答案为：．48．（2025·广西贵港·一模）如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为．【答案】【分析】本题考查了平面直角坐标系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，再分别表示，，运用两点距离公式进行列式得，结合二次函数的性质进行分析，即可作答．【详解】解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：∵在等腰中，，，∴∵点M是边上的动点，以为腰作等腰，，∴设，，则，∵N为的中点，∴，即，∵故∵，∴开口向上，在时，有最小值，把代入，得，即最小值为故答案为：．49．（2025·广西崇左·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．斜坡上点处有一棵树，，小球恰好越过树的顶端，那么这棵树的高度为．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点坐标，得到，从而得到答案．【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，，，，，，，，，，，则点横坐标为，将代入中，，点的坐标为，，．故答案为：．六、解答题50．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接．(1)求证：；(2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了相似三角形的判