五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(重庆专用)10：动点几何函数图像（教师版）

专题10动点几何+函数图像考点1图像为一次函数1．（2023·重庆·中考）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【答案】(1)当时，；当时，；(2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大(3)t的值为3或【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用分别求解即可．【详解】（1）解：当时，连接，

由题意得，，∴是等边三角形，∴；当时，；

（2）函数图象如图：

当时，y随t的增大而增大；（3）当时，即；当时，即，解得，故t的值为3或．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．考点2图像为一次函数与反比例函数综合2．（2024·重庆·中考）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）【答案】(1)(2)函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小(3)【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：（1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案；（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，即为所求；由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围．3．（2025·重庆·中考）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．【答案】(1)，(2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小(3)（或或或或）【来源】2025年重庆市中考数学试题【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键．（1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出；（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；（3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，∴，，∴，当时，，如图，∴；当时，，如图，∴；∴；如图，过点作于点，∵，∴，∴的面积为，同理可得的面积为，又∵矩形的面积为，∴，∴；（2）解：作图如下：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．考点1实数的估值1．（2025·重庆十一中·中考模拟）如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为．(1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【来源】2025年重庆市第十一中学校九年级中考模拟数学测试题【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）分两种情况：当点在上运动时，即时，当点在上运动时，即时，分别利用三角形面积公式计算即可得解；（2）根据（1）中所求的解析式画出图象即可得解；（3）画出图象，采用数形结合的解法求解．【详解】（1）解：当点在上运动时，即时，，则，此时，当点在上运动时，即时，，则，∵点为边上的中点，∴，∴；综上所述：；（2）解：画出函数图象如图所示：，由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；（3）解：函数恒过，如图：，∵函数与的图象有且仅有2个交点，∴直线一定在和之间，将代入函数得：，∴，将代入函数得：，∴，∴．2．（24-25九下·重庆巴川中学·月考）如图1，在中，，，，点E，D分别在，上，且满足，，点P从A出发，沿着折线运动，到达点E时停止运动．设点P运动的路程为x，连接，记的面积为y，请解答下列问题：(1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质；(3)结合函数图象，当时，则x的取值范围是_______．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）【答案】(1)(2)见解析(3)【来源】重庆市巴川中学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数的性质；（1）证明，得出，进而得出，分在，上时，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解；（2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质，即可求解；（3）根据函数图象，找到临界点即可求解．【详解】（1）解：在中，，，，∵，，∴，，又∵，，∴，∴，∴，∴，当在上时，即，如图所示，过点作于点，∴，∴；当在上时，即时，,∴综上所述，；（2）解：当时，；时，，函数图象如图所示，当时，函数的最大值为；（3）解：当时，∴或，解得：或，结合函数图象，当时，则x的取值范围是．故答案为：．3．（24-25九下·重庆南开中学·模拟）如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为．(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围．【答案】(1)(2)画图见解析，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）(3)【来源】重庆市南开中学2024-2025学年九年级下学期模拟【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出y关于x的函数表达式即可；（2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可；（3）分别求出经过，，时，b对应的值，然后画图分析即可求解．【详解】（1）解：在平行四边形中，，．∴，，∵点为边的中点，∴，当时，过E作于F，∵，∴，∴；当时，过C作于G，∴，∴综上，（2）解：画图如下：由图象知：当时，y随x的增大而减小；（3）解：当经过时，，解得，当经过时，，解得，当经过时，，解得，画图分析当时，一次函数与的图象有且仅有2个交点．考点2图像为一次函数与反比例函数综合4．（24-25九下·重庆一中·三模）如图，在菱形中，，对角线，动点P沿以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为，菱形的面积与的面积之比为(1)请直接写出分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质；(3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）．【答案】(1)(2)当时，随增大而增大，当，随增大而减小；当时，随增大而减小(3)【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期中考数学三模试卷【分析】（1）当点在上时，过点作于，解，求得，由题意得：，，解，，，则，则，故；当点在上时，此时，，解，，，则，再由勾股定理建立函数关系式即可得到；如第一幅图，而，建立求解函数关系式；（2）描点即可作图，根据一次函数与反比例函数的图象的性质即可作答；（3）当，即函数图象在函数图象上方时的取值范围．【详解】（1）解：当点在上时，过点作于，∵四边形是菱形，∴，，∵∴，则∴在中，，由题意得：，，∴在中，，，∴，∴，∴；当点在上时，此时，∵，∴，在中，，，∴，∴∴；如第一幅图：，综上：；（2）解：画出函数图象为：由函数图象可知，该函数有如下性质：当时，随增大而增大，当，随增大而减小；当时，随增大而减小；（3）解：由图象得，当，即函数图象在函数图象上方时，的取值范围为．【点睛】本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．5．（2025·重庆实外·三模）如图，在中，，D为线段上一点，且，连接，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿折线方向匀速运动，到达点A停止，同时动点Q以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，当动点P停止运动时，动点Q也停止运动，设点P运动时间为x秒，过点Q作交直线于点E．运动过程中，的面积为，的周长与的周长比值为(1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）【答案】(1)；(2)图象见解析，当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大(3)【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题【分析】（1）当点P在上时，即；当点P在上时，即；分别求解好可；（2）用描点法作出函数的图象即可，再根据图象写性质即可；（3）利用图象法求银即可．【详解】（1）解：过点P作于G，∵，∴由勾股定理，得，∵，，∴，，当点P在上时，即，过点P作于F，如图，则，∵，，∴∴∴∴∴∴即，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴的周长，∵的周长，∴，即．当点P在上时，即，过点P作于F，如图，则，∵，∴∴∴∴∴即；同理，∴∴∴，，∴的周长，∵的周长，∴综上，；．（2）解：的图像，如图所示，当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大．（3）解：由图可知：当时x的取值范围为且．【点睛】本题词考查一次函数和反比例函数图象性质，画函数图象，一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，注意分类讨论和结合的思想的应用是解题的关键．6．（24-25九下·重庆二外·中考二模）如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为．(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）【答案】(1)；(2)见解析(3)【来源】重庆市第二外国语学校2024-2025学年九年级下学期中考二模数学卷【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，勾股定理，画函数图象得到，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．（1）利用勾股定理可得，则可得到，由平行线的性质可得，再解求出和的长，进而确定点P在和上的运动时长，再分点P在和上两种情况分别求出，即可得到，根据题意可得的长，再利用三角形面积公式可得的长，据此可得；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）求出的交点横坐标，再结合函数图象即可得到答案．【详解】（1）解：在中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∵动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，，∴当时，点P在线段上运动，当时，点P在线段上运动，如图1所示，当时，∵，∴，∴，∴∴；如图2所示，当时，则此时有，∴，∴；∵动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，∴，∵，，∴，∴，∴，即；（2）解：如图所示函数图象即为所求；由函数图象可得，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；（3）解：联立得：，解得（已检验）或（舍去），联立得，解得（已检验）或（舍去），∴由函数图象可知当时x的取值范围为．7．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图1，矩形中，，，动点以的速度从点沿折线运动，连接，同时，动点以的速度从点出发沿运动，当点停止运动时点也随之停止运动．过点作于点，设点的运动时间为，记的面积为，记与的周长比为，请回答下列问题：(1)请直接写出分别与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围：．（近似值保留一位小数，误差不超过）【答案】(1)；(2)图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．(3)或【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题【分析】（1）分和两种情况，根据矩形的性质及解直角三角形的知识可求得与的函数关系式，根据“动点从点出发，沿折线方向运动，当点停止运动时点也随之停止运动．”可分别求得自变量的取值范围；（2）根据与的函数关系式可画出两函数的图象，可写出一条函数的性质；（3）根据函数图象，可得两函数的交点的横坐标约为和，因此可求得当时的取值范围．【详解】（1）解：当时，由题意得，则以为底，为高，，，当时，，如图，过作，，，，，，，综上；，，，周长，由题意得，则，周长，与的周长比为，则；（2）解：①画的图象：列表：描点，连线，如图②画的图象，列表：描点，连线如图：性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（3）当时，联立，解得或（舍去），所以当时，两个函数的交点的横坐标为，当时，联立，解得或（舍去）所以当时，两个函数的交点的横坐标为，综合图像可知，时，的取值范围为或【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，一次函数和反比例函数的图象与性质，画一次函数和反比例函数的图象，函数与不等式等知识，熟练掌握矩形的性质及解直角三角形的知识是解题的关键．8．（2025·重庆西大附中·三模）如图，在矩形中，，．动点以每秒个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，、两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为

(1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．【答案】(1)，；(2)见解析；(3)．【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学【分析】根据矩形的性质可以求出，当时，点在上运动时，，当时，，时，可得：，可得：；根据函数解析式画出函数图象即可；由函数图象可知，当时，．【详解】（1）解：在矩形中，，，，，，，当时，作于点，如下图所示，

，，，，，，；当时，如下图所示，，；综上所述，

，，，，；（2）解：画函数图象，如下图所示，

当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）解：由图象可知，当时，．9．（2025·重庆南开中学·二模）如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为．(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）．【答案】(1)，，；(2)见解析，当时，函数值随自变量的增大而增大；（答案不唯一）(3)【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题【分析】（1）分点P在与点P在上两种情况，即可求得；分别求出的面积与的面积，即可求得；（2）根据一次函数与反比例函数的图象画出两个函数的图象即可；利用一次函数的性质即可写出的一条性质；（3）根据所画的函数图象即可求解．【详解】（1）解：在矩形中，，∴；当点P在上时，则，此时，；当点P在上时，则，此时，；即；的面积为，而，，∴的面积为，∴，其中；（2）解：画图如下：当时，函数值随自变量的增大而增大；（3）解：由图象知，当时，．【点睛】本题考查了矩形的性质，求动点问题的函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．10．（24-25九下·重庆九十五中·三模）如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿着的路线运动，动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿着的路线运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，与的长度之比为．(1)请直接写出，的函数解析式及自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质；(3)根据图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）【答案】(1)，(2)函数图像见解析：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）(3)【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算，函数的图象和性质，动点问题的函数图象，分类讨论是解题的关键．（1）根据勾股定理得到，当时，当时，根据三角形的面积公式得到；根据题意得到；（2）根据题意画出函数图象，由函数图象得到函数的性质即可；（3）根据函数图象即可得到结论．【详解】（1）解：在中，，，，，当时，则，；当时，则，，综上所述，；，，即；（2）解：函数图象如图所示；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一）（3）解：由函数图象得，当时，的取值范围为．11．（24-25九下·重庆一中·二模）如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点（不与、重合），过点作交于点．设，点，的距离为，的周长的周长之比为．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2）．【答案】(1)(2)图见解析，随x增大而增大，随x增大而减小(3)【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．（1）先利用勾股定理得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案；（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：函数图象如下所示：由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；（3）解：联立得，解得或，由函数图象可知，当时，．12．（24-25九下·重庆杨家坪中学·第二次定时作业）如图1．在中，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒的面积为的面积与的比值为．(1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；(3)根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）【答案】(1)，；(2)图见解析，性质：当时，函数取得最大值为6；(3)时，的取值范围为．【来源】重庆市杨家坪中学2024-2025学年九年级下学期第二次定时作业数学试题【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键．（1）点分两种情况：点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可；（2）画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；（3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定在下面的范围即可．【详解】（1）解：当点在线段上时，，∴，当点在线段上时，，∵，，∴，作于点，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：列表：x0123626631描点，连线，的函数图象，如图，性质：当时，函数取得最大值为6；（3）解：观察图象，时，的取值范围为．13．（24-25九下·重庆江津中学·定时作业）如图，在矩形中，，，E是上一点，连接，过点E作交于点F．设（点E不与A，C重合），面积的与的面积之比为，的长为．(1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质．(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）【答案】(1)；(2)图象见解析，随着x的增大而减小(3)或【来源】重庆市江津中学校2024-2025学年九年级下学期第二次定时作业数学试题【分析】（1）过点作交于，根据勾股定理求出的长，运用等积法求出的长，运用相似三角形的判定与性质求出的长，即可求解；（2）据（1）所得函数解析式画出函数图象，再根据图象写出性质即可；（3）根据函数图象写出x的取值范围即可；【详解】（1）解：过点作交于，如图，在矩形中，，，∴,由勾股定理得，,∵，∴，∴，∴；∵,∴，∴，即，∴；（2）解：画的图象：列表，x⋯1236⋯y⋯6321⋯描点，连线，如图：画的图象：列表，x⋯26⋯y⋯31⋯由函数图象可知，随着x的增大而减小；（3）解：由图象可知，当时，x的取值范围为或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，矩形的性质，解直角三角形，利用三角函数求出函数解析式是解题的关键．14．（24-25九下·重庆巴川中学·中考一模）如图，在中，，，，点为上一动点，过点作于点．设的长度为，点的距离为的周长与的周长之比为．(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；分别写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)，(2)作图见解析，随的增大而增大，随的增大而减小(3)【来源】重庆市巴川中学校2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试题【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出函数解析式是解题的关键．（）利用勾股定理求出，由可得，据此即可求解；（）根据（）所得函数解析式画出函数图象，再根据图象写出性质即可；（）根据函数图象写出的取值范围即可；【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，；（2）解：画函数图象如下：由函数图象可知，随的增大而增大，随的增大而减小；（3）解：令，即，解得：（负值舍去），由函数图象可得，时的取值范围为．15．（2025·重庆巴蜀中学·二模）如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为．(1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)；(2)图象见解析；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）(3)或（误差不超过0.2即可）【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，画动点问题的函数图象，能运用数形结合的思想求得时x的取值范围是解题的关键．（1）根据题意列函数关系式即可；（2）画出函数图象，结合函数图象写出函数的一条性质即可；（3）结合函数图象，写出x的取值范围即可．【详解】（1）解：在矩形中，，，点E是边的中点．，当点在上时，此时，可得，则，；当点在上时，此时，可得，，综上，；的面积为，；（2）解：函数图象如图所示，函数的性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）；（3）解：列方程，解得，经检验，是原方程的解，，时，；列方程，解得（舍去），经检验，是原方程的解，，时，；故答案为：或（误差不超过0.2即可）．16．（2025·重庆八中·三模）如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．【答案】(1)，(2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一）(3)【来源】2025年重庆市第八中学校九年级中考三模数学试题【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理：（1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，∴，∴，∴；如图所示，当点P在上时，过点D作于H，∵，∴，∵，∴，由对称性可得当点P在上时，；综上所述，；（2）解：列表如下：…12………16………12…126…如图所示函数图象即为所求；由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．（3）解：联立得，此时，原方程无解；联立得，解得或由函数图象可知，当时，．17．（2025·重庆八中·一模）如图1，在矩形中，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点的运动时间均为秒（），记的面积为，点到的距离为．(1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．【答案】(1)；；(2)见解析；当时随的增大而增大，当时随的增大而减小(3)【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．（1）分两种情况讨论，当时，作于点，利用正弦函数的定义求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；求得，根据，据此求解即可；（2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质；（3）数形结合，即可求解．【详解】（1）解：当时，作于点，如图，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，当时，如图，∵，∴，综上，；∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：列表：01235680606321描点，连线，作出函数图象如下：函数的一条性质：当时随的增大而增大，当时随的增大而减小；（3）解：当时的取值范围：．18．（24-25九下·重庆一中·一模）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向运动，当点运动到点时停止运动，过点作于点．设点运动的路程为，线段与的长度和记为，线段与的比值记为．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．【答案】(1)（）；（）(2)见解析，性质：在上随的增大而减小，在上，随的增大而减小；(3)或【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟测数学试题【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理以及函数表达式的确定和函数图象相关知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例关系求出函数表达式，再根据表达式绘制图象并分析性质．（1）先利用勾股定理求出斜边的长度，再通过相似三角形的性质分别求出关于的函数表达式．（2）根据函数表达式绘制函数图象，并分析其性质．（3）结合函数图象确定时的取值范围．【详解】（1）解：在中，，，，，，已知，则．，．，自变量的取值范围是，已知，，自变量的取值范围是；（2）函数图象如图所示：，性质：在上随的增大而减小，在上，随的增大而减小；（3）通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的的取值范围，大致为或．【点睛】（2）绘制函数图象并分析性质－绘制的图象当时，；当时，，解得。通过这两个点和可画出一次函数的图象，－绘制的图象采用列表，描点，连线的方法，例如当时，；当时，等，在这个区间内画出反比例函数的图象，性质：在上，随的增大而减小。（3）确定时的取值范围通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的的取值范围即可。19．（2025·重庆巴蜀中学·一诊）如图1，菱形中，，，动点P以的速度从点B出发，沿折线方向运动，同时，动点Q也以的速度从点A出发沿射线运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点P作于点H，设点P的运动时间为x，记的长度为，记点P运动的总路径长与的长度之比为，请回答下列问题：(1)请直接写出、分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围：．（近似值保留一位小数，误差不超过）【答案】(1)，（）(2)图象见解析，当时，函数的图象关于直线轴对称(3)【来源】2025年重庆市巴蜀中学九年级一诊数学试题卷【分析】（1）分和两种情况，根据菱形的性质及解直角三角形的知识可求得、与x的函数关系式，根据“动点P从点B出发，沿折线方向运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．”可分别求得自变量x的取值范围；（2）根据、与x的函数关系式可画出两函数的图象，可写出一条函数的性质；（3）根据函数图象，可得两函数的交点的横坐标约为和，因此可求得当时x的取值范围．【详解】（1）解：当时，由题意得，，，，四边形是菱形，，，，，，，，，当时，，，四边形是菱形，，，，，，，解得，，，，即（）