五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(安徽专用)13：规律探索与逻辑推理（学生版）

专题13规律探索与逻辑推理（原卷版）1．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为；（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为．2．（2025.安徽·中考真题）综合与实践【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．【项目准备】（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为．自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm．【项目分析】（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．（3）方式确定：（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）．根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元．由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元．方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．类似于方案一的成本计算，令方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元．【项目实施】根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：奇数的倍数表示结果一般结论

______按上表规律，完成下列问题：（）（

）（

）；（）______；(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：若均为偶数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．若均为奇数，设，，其中均为自然数，则______为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．由可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】【规律发现】请用含的式子填空：(1)第个图案中“”的个数为；(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．6．（2021·安徽·中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少？ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023·安徽合肥·二模）中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式：；2．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】【规律发现】请用含的式子填空：（1）第个图案中，“”的个数为；（2）第个图案中，“”的个数可表示为；【规律应用】（3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由．3．（2025·安徽合肥·三模）【问题提出】因式分解：【问题探究】为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：①②由①知，继续添加下一项得：（1）仿照②，把代数式进行因式分解．【发现规律】（2）推广到一般形式：______；【问题解决】（3）化简：______．4．（2025.安徽合肥.一模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；按照上述规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：__________________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．5．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．6．（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律：第1个等式，第2个等式：第3个等式：第4个等式：按照以上规律，完成下列问题：(1)写出第5个等式：________．(2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明．7．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：．（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．8．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示：类型两个相邻奇数的平方差两个相邻偶数的平方差表示结果___________．．．．．．．．．．．．一般结论___________

(1)完成上述表格内容；(2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下：①设两个相邻奇数分别为：（为正整数），则：；②设两个相邻偶数分别为：（为正整数），则：___________而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确．9．（2025·安徽宣城·三模）数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下．(1)当x为正整数时：；；；；……按照以上规律，回答下列问题：（ⅰ）__________=____________；（ⅱ）_________=___________．(2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性．10．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律．观察归纳：；；．；；．；；．；；．…规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除．规律应用：(1)请用上述方法验证266能否被7整除．(2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容：xx的表示按（2）中操作得到的差，记为M（x）217

945____________………(3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除．11．（2025·安徽阜阳·三模）某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题．【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系．【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差．【项目研究的过程】（1）特例观察：；；；___________________；…（2）等式左边的算式可表示为的形式，观察这些式子可以发现：①数a，b十位上的数字相同，不妨设为且为正整数）；②若设数个位上的数字为且为正整数），则个位上的数为______________；③将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数，将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数；…（3）在（2）的前提下，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为______________【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m，n的等式归纳“这种特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明．12．（2025·安徽合肥一模）观察以下等式：第1个等式：第个等式：第3个等式：第个等式：第5个等式：······按照以上规律．解决下列问题：写出第个等式____________；写出你猜想的第个等式：(用含的等式表示)，并证明．13．（2025.安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系：第1个图第2个图第3个图第4个图……根据图形及等式的关系，解决下列问题：(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；(2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；(3)运用上述规律计算：．14．（2025·安徽阜阳·二模）阅读与思考：站队问题问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：当只有、两人时，此时站法有：、两种．探究二：当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位．进行如下分析：此时站法有6种．探究三：当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下的一位同学只有一种选择，故站法共有（种）．任务：(1)探究二中问题的分析方法为_____；(2)按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法；(3)现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？15．（2025·安徽合肥·二模）在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：

（1）探索新知：①第个图形需要_________枚棋子；②第个图形需要__________枚棋子．（2）思维拓展：小明说：“我要用枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？如果能摆出，请问摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由．16．（2025·安徽合肥·二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去…．(1)第4次操作后共得到等边三角形的个数为______，第n次操作后共得到等边三角形的个数为______；(2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，，求：（ⅰ）______；（ⅱ）______．17．（2025·安徽合肥·二模）某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；…按照以上规律，解决下列问题：(1)图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______；(2)若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？18．（2025·安徽淮北·三模）数学兴趣小组开展探究活动，很快就发现这3个数的平均数是，他们继续探究这3个数的平均数与的关系．他们发现如下结论．表112345．．．．．．表212345_____．．．．．．继续探究，他们发现，表1中N可改写，改写后可得表2．按照表1和表2的规律，回答下列问题：(1)补充表2．(2)请你猜想的平均数与之间存在的等量关系（用含的式子表示），并证明你的猜想．19．（2025·安徽合肥·一模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……根据上面等式的规律，回答下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．20．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：【归纳猜想】（1）______．（2）______．【拓展应用】（3）求的值．21．（2025·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种