上海市卢湾高级中学2026届高一下数学期末综合测试试题含解析

上海市卢湾高级中学2026届高一下数学期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．4．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是()A．若，，则B．若，，则C．若，，则是异面直线D．若，，，则6．已知m个数的平均数为a，n个数的平均数为b，则这个数的平均数为（）A． B． C． D．7．已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，则AC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．98．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．9．把十进制数化为二进制数为A． B．C． D．10．设，且，则下列各不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．______．12．方程在区间上的解为___________．13．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．14．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.15．若，则的取值范围是________.16．已知向量，若，则_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边，.18．求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。19．如图，平行四边形中，是的中点，交于点.设，.(1)分别用，表示向量，；(2)若，，求.20．已知公差大于零的等差数列满足：．（1）求数列通项公式；（2）记，求数列的前项和．21．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，且，，.（1）求证：平面；（2）若点为线段上一点，且，求四棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.2、C【解析】

由，则只需将函数的图象向左平移个单位长度.【详解】解：因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题.3、A【解析】

分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间；由求减区间.4、B【解析】

试题分析：由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．5、A【解析】

利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.【详解】对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.对于B，若，，则或，故B错误.对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.6、D【解析】

根据平均数的定义求解.【详解】两组数的总数为：则这个数的平均数为：故选：D【点睛】本题主要考查了平均数的定义，还考查了运算求解能力，属于基础题.7、B【解析】

分别在△ABC和△ACD中用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．【详解】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BCcosB＝89﹣80cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝CD2+AD2﹣2AD×CDcosD＝34﹣30cosD，∴89﹣80cosB＝34﹣30cosD，∵A+C＝180°，∴cosB＝﹣cosD，∴cosD，∴AC2＝34﹣30×（）＝1．∴AC＝2．故选B．【点睛】本题考查了余弦定理的应用，三角形的解法，考查了圆内接四边形的性质的应用，属于中档题．8、D【解析】

根据图象可得最小正周期，求得；利用零点和的符号可确定的取值；令，解不等式即可求得单调递减区间.【详解】由图象可知：又，，由图象可知的一个可能的取值为令，，解得：，即的单调递减区间为：，本题正确选项：【点睛】本题考查利用图象求解余弦型函数的解析式、余弦型函数单调区间的求解问题；关键是能够灵活应用整体对应的方式来求解解析式和单调区间，属于常考题型.9、C【解析】选C.10、D【解析】

根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果.【详解】对于选项A，若，显然不成立；对于选项B，若，显然不成立；对于选项C，若，显然不成立；对于选项D，因为，所以，故正确.故选:D.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

,,故答案为.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.12、【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.13、【解析】

∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.14、或.【解析】

设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程【详解】设直线的方程为.因为点在直线上，所以①.因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以②.由①②可知或解得或故直线的方程为或，即或.【点睛】本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题15、【解析】

利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．【详解】由，得所以，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．16、【解析】

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．【详解】因为向量，若，∴，则.故答案为：1．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．【详解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因为，且，所以，，又，所以，.（2）因为的面积，所以，①由余弦定理得，，所以，②联立①②解得，.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．18、（1）（2）或【解析】

（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线。（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题。19、（1），（2）2【解析】

（1）由平面的加法可得，又根据三角形相似得到，再根据向量的减法可得的不等式.

（2）由平面向量数量积运算得，然后再将条件代入可得答案.【详解】（1）.由∽,又所以,即（2）由，【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．20、(1)(2)【解析】

（1）由题可计算得，求出公差，进而求出通项公式（2）利用等差数列和等比数列的求和公式计算即可。【详解】解：（1）由公差及，解得，所以，所以通项（2）由（1）有，所以数列的前项和．【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列和等比数列的求和公式，属于简单题。21、（1）见解析（2）6【解析】

（1）连接交于点，得出点为的中点，利用中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面；（2）过作交于，由平面，得出平面，可而出，结合，可证明出平面，可得出，并计算出，利用平行线的性质求出的长，再利用锥体的体积公式可计算出四棱锥的体积.【详解】（