二次函数y＝±x²的图象与性质课件北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版数学九年级下册第二章

二次函数2.2.1二次函数y＝±x²的图象与性质①一次函数y=kx+b(k≠0)xyob<0b>0b=0xyob<0b>0b=01.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？2.2.1二次函数y＝±x²的图象与性质

教学过程幻灯片分页内容第1页：情境导入——回顾旧知，聚焦新探究1.回顾旧知：上节课我们认识了二次函数的定义，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数是二次函数。其中最简形式是y=ax²（b=0，c=0），今天我们重点探究a=1和a=-1时的情况，即y=x²和y=-x²的图象与性质。2.生活联想：展示投篮上升再下落的轨迹、抛物线形拱桥的正反面视图，提问：这些曲线的形状有什么关联？能否用我们即将探究的函数描述？3.引出课题：今天我们深入学习——二次函数y＝±x²的图象与性质第2页：探究新知1——用描点法绘制y=x²的图象【回顾描点法步骤】：列表→描点→连线（光滑曲线）1.列表：自变量x可取任意实数，为方便绘制，选取关于原点对称的x值，计算对应y值：|x|...|-3|-2|-1|0|1|2|3|...||y|...|9|4|1|0|1|4|9|...|2.描点：在平面直角坐标系中，准确描出各对应点（-3,9）、（-2,4）、（-1,1）、（0,0）、（1,1）、（2,4）、（3,9）...3.连线：用平滑的曲线从左到右顺次连接各点，注意图象向两端无限延伸，得到的曲线叫做抛物线。第3页：探究新知2——归纳y=x²的图象性质【小组讨论】观察y=x²的图象，思考并交流以下问题：1.图象的开口方向是什么？（向上）2.图象是否是轴对称图形？若是，对称轴是什么？（是，对称轴为y轴，即直线x=0）3.图象的顶点在哪里？这个点是图象的最高点还是最低点？（顶点为(0,0)，是图象的最低点）4.增减性：当x<0时，y随x的增大而如何变化？当x>0时，y随x的增大而如何变化？（x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大）5.最值：当x取何值时，y有最值？最值是多少？（x=0时，y有最小值0）【总结】y=x²的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点为(0,0)（最低点），x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大，x=0时y最小值=0。第4页：探究新知3——猜想与验证y=-x²的图象1.合理猜想：对比y=x²，猜想y=-x²的图象形状、位置会有什么变化？（引导学生猜想：形状仍是抛物线，可能开口方向向下，与y=x²关于x轴对称）2.验证操作：用描点法绘制y=-x²的图象

（1）列表：选取与y=x²相同的x值，计算y值：|x|...|-3|-2|-1|0|1|2|3|...||y|...|-9|-4|-1|0|-1|-4|-9|...|

（2）描点：描出（-3,-9）、（-2,-4）等对应点

（3）连线：用平滑曲线连接各点，得到y=-x²的抛物线3.猜想验证：观察图象，发现y=-x²的图象与y=x²的图象关于x轴对称，开口方向向下，验证猜想成立。第5页：探究新知4——归纳y=-x²的图象性质【自主探究】参照y=x²的性质探究方法，分析y=-x²的图象，完成以下问题：1.开口方向：向下2.对称性：是轴对称图形，对称轴为y轴（直线x=0）3.顶点：(0,0)，是图象的最高点4.增减性：x<0时，y随x的增大而增大；x>0时，y随x的增大而减小5.最值：x=0时，y有最大值0【小组交流】核对探究结果，分享探究思路，强化对性质的理解。第6页：对比归纳——y=x²与y=-x²的图象与性质异同【表格对比】整理y=x²与y=-x²的核心性质，明确异同点：|函数|开口方向|对称轴|顶点坐标|最值情况|增减性（x<0）|增减性（x>0）||------------|----------|----------|----------|----------------|----------------|----------------||y=x²|向上|y轴（x=0）|(0,0)|x=0时，y最小=0|随x增大而减小|随x增大而增大||y=-x²|向下|y轴（x=0）|(0,0)|x=0时，y最大=0|随x增大而增大|随x增大而减小|【异同总结】1.相同点：图象均为抛物线，对称轴都是y轴，顶点都在原点(0,0)，都关于y轴对称。2.不同点：开口方向相反（y=x²向上，y=-x²向下）；最值类型相反（y=x²有最小值，y=-x²有最大值）；增减性在对称轴两侧相反。第7页：巩固应用——典型例题与练习【例题1】已知点A(-2,y₁)、B(1,y₂)在y=x²的图象上，比较y₁与y₂的大小。（解析：代入计算得y₁=4，y₂=1，故y₁>y₂；或利用对称性，A(-2,4)与(2,4)对称，x>0时y随x增大而增大，2>1，故y₁>y₂）【例题2】若点P(m,4)在y=-x²的图象上，求m的值。（解析：代入得4=-m²，此方程无实数解，故点P不在该图象上）【练习1】函数y=-x²的图象顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而增大。（答案：(0,0)；x<0）【练习2】已知点C(-3,y₃)、D(2,y₄)在y=-x²的图象上，则y₃与y₄的大小关系是______。（答案：y₃<y₄）第8页：课堂小结与拓展1.知识梳理：-图象：y=x²和y=-x²的图象都是抛物线，关于y轴对称，顶点在原点。-性质：核心关注开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值五个方面，关键区分a=1和a=-1时的差异。-方法：掌握用描点法绘制抛物线的步骤，学会通过观察、对比、猜想、验证探究函数性质。2.思想方法：数形结合思想（图象直观反映性质）、类比探究思想（由y=x²类比探究y=-x²）、对比归纳思想。3.拓展展望：下节课我们将探究y=ax²（a≠±1）的图象与性质，看看a的绝对值变化会对抛物线产生什么影响。②

反比例函数Oxy2.通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线.3.那么二次函数

y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？你会用描点法画二次函数

y=x2的图象吗?1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x…-3-2-10123…y=x2…

…

9410194二次函数

y=x2

和

y=-x2

的图象和性质1合作探究24-2-4O369xy

函数图象画法列表描点连线2.描点：根据表中

x，

y的数值在坐标平面中描点(x，y)3.连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．24-2-4O369xyx…-3-2-10123…y=x2…9

4

1

0

1

4

9

…

问题1

你能描述图象的形状吗？二次函数

y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.观察思考当

x

<

0

时，y

随

x

的增大而减小；当

x

>

0

时，y

随

x

的增大而增大.24-2-4O369xy问题2

图象与

x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0，0).问题3

当

x<0时，随着

x值的增大，y值如何变化？

当x>0时呢？问题4

当

x

取何值时，y

的值最小？最小值是什么？x=0

时，ymin=0.－33o369xy对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是图象的最低点，为

(0，0).问题5

图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？这条抛物线于

y轴对称，y轴就是它的对称轴.y24-2-4O-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

做一做：画出函数y=－x2的图象，并仿照y=x2的性

质说出y=－x2有哪些性质？合作探究抛物线关于y轴对称.顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.24-2-4O-3-6-9x图象是一条开口向下的抛物线.当x

<

0

时，y

随x的增大而增大；当x

>

0

时，y

随x的增大而减小；当x

=

0

时，ymax

=

0.yy＝x2y＝－x2图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在

x轴上方开口向下,在

x轴下方关于

y轴对称，对称轴方程是直线

x＝0顶点坐标是原点（0，0）当

x=0时，y最小值

=0当

x=0时，y最大值

=0

在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳yOxyOx

例1

若点

A(-3，y1)，B(-2，y2)是二次函数

y=-x2图象上的两点，那么

y1与

y2的大小关系是________.y2＞y1

例1变式若点

A(-1，y1)，

B(2，y2)是二次函数

y=-x2图象上的两点，那么

y1与

y2的大小关系是__________.y1＞

y2典例精析例2已知：如图，直线

y＝3x＋4与抛物线

y＝x2交于A、B两点，求出

A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得所以两函数的交点坐标为

A(4，16)和

B(－1，1)．∵直线

y＝3x＋4与

y轴相交于点C(0，4)，即

CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.

1.两条抛物线y=x2与y=

-x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A.顶点坐标均为(0，0)B.对称轴均为

x=0

C.开口都向上D.都有(0，0)处取最值C2．若点

A(2，m)在抛物线y=x2上，则点

A关于y轴对称点的坐标是

．(-2，4)aS-1-2-3O1233216549873．设正方形的边长为a，面积为S，试作出S随a的变化而变化的图象．解：S=a2(a>0)列表：a0123…S…0149描点并连线．S=a2

4.已知二次函数

y

=

x2，若

x≥m

时，y

最小值为

0，求实数

m

的取值范围．解：∵二次函数y

=

x2，∴m≤0．∵当x≥m时，y最小值=0，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，5.已知

是二次函数，且当

x＞0时，y随

x的增大而减小，则

a=________.解析：由题意可知3∴a=3.又∵当

x＞0时，y随

x的增大而减小，解得

a=3或

a=-3.∴y=-x2或

y=5x2.返回(0，0)1.如图为二次函数y＝x2的图象，它与x轴的交点坐标是________，当x＞0时，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)，当x＜0时，y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”)；抛物线的顶点坐标是______；

当x＝____时，函数取得最小值，为______；抛物线的对称轴是______；抛物线的开口向______(填“上”或“下”).增大减小(0，0)00y轴上返回2.<返回3.D二次函数y＝－x2的图象大致是(

)返回4.－1高返回5.③抛物线y＝x2与y＝－x2相同的性质是_______．(填序号)①开口向上；②有最高点；③顶点是原点；④当x<0时，y随x的增大而增大．返回6.x函数