五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(云南专用)07：二次函数（学生版）

专题07二次函数一、考点01高次多项式的化简求值和大小比较1．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记．(1)若，，求的值；(2)若，，比较与的大小．2．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求的值；(2)比较与的大小．3．（2022·云南·中考真题）已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求的值．4．（2021·云南·中考真题）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．（1）求b、c的值：（2）求证：；（3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．二、考点02抛物线与x轴交点问题5．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．6．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数，当时，函数值y的取值范围是，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”．【举例】：对于函数，当时，函数值y的取值范围是，我们称1到3（含1、3）这段取值范围是函数的一个“2倍取值范围”．【问题】：已知二次函数（b、c均为常数）的图象经过点，其对称轴为直线．(1)求二次函数的解析式；(2)若对于实数，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m和n的值．7．（2025·云南临沧·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，．(1)求二次函数的解析式．(2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值．8．（2025·云南昆明·三模）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．直线与二次函数图象交于点P和Q（点P在点Q的左边），与二次函数的对称轴交于点H．(1)求该二次函数的解析式；(2)若线段被二次函数的对称轴分成的两条线段的长度比为，求直线l的解析式．9．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B．(1)求m的值；(2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．10．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线是过点，当，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求抛物线的解析式；(2)比较与的大小．11．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的解析式为（b为常数）．(1)若当时，，求b的值：(2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围．12．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，设抛物线与一次函数的图象交点的横坐标为，设．(1)求抛物线的解析式；(2)记，请比较与的大小．13．（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数．(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．(2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式．14．（2025·云南玉溪·三模）已知抛物线交x轴于，，交y轴于C，点是第四象限内抛物线上的一个动点．(1)求a，b的值；(2)①若m为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标；②若点在该抛物线上，且，，求的值．15．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线．(1)求b的值；(2)若点在抛物线上且，求证：点A、B、C三点共线；(3)点、在抛物线上（），记抛物线在P、Q之间的部分为图象G（包含P、Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值．16．（2025·云南玉溪·三模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．任务一：建立函数模型（1）求出y与x的函数表达式；任务二：设计销售方案（2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，且不低于成本价，该蔬菜的销售单价为多少元时，才能使日销售利润最大？最大日销售利润是多少？17．（2025·云南昆明·模拟预测）已知二次函数图象过点，当时，y随x的增而增大，当时，y随的x的增大而减小，该二次函数图象与函数的图象交于点，设，．(1)求二次函数解析式．(2)以下三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由．18．（2025·云南临沧·三模）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对标轴为直线．(1)求该二次函数的表达式；(2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．19．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系中，抛物线．(1)已知抛物线的对称轴是直线，求该抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中，若点的横坐标为整数，则称这样的点为横整点．抛物线与直线交于两点，将抛物线在两点之间的部分记作曲线（不含两点），若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值范围．20．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴；(2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小．21．（2025·云南红河·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．(1)求二次函数的解析式；(2)是二次函数与一次函数图象交点的横坐标，，求的值．22．（2025·云南文山·模拟预测）已知二次函数．(1)若，求该二次函数图象的对称轴；(2)当二次函数图象过点时，求证：．23．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线．(1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；(2)已知该抛物线经过，两点．若，判断与的大小关系，并说明理由．24．（2025·云南昭通·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，实数是抛物线与轴交点的横坐标，且，．(1)求的值；(2)请你猜想与的大小关系，并说明理由．25．（2025·云南昆明·模拟预测）某水果批发商以每千克元的价格购进一批水果，规定其售价每千克不低于成本价且不高于元．经市场调查发现，水果的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间为一次函数关系，部分数据如下表：每千克售价x（元）日销售量y（千克）(1)求与之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当每千克水果的售价定为多少元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大？最大利润为多少元？26．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求的值．27．（2025·云南昆明·二模）已知抛物线与y轴交于点．(1)求c的值；(2)若m是抛物线与x轴交点的横坐标，且满足的值为60，请求出抛物线的对称轴．28．（2025·云南西双版纳·二模）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．(1)若，求二次函数的顶点坐标；(2)若对于，有，求实数的取值范围．29．（2025·云南楚雄·二模）已知二次函数为常数，且(1)若函数图象过点，求a的值．(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值．30．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．31．（2025·云南楚雄·二模）习近平总书记指出“中医药学是中华文明的瑰宝．要深入发掘中医药宝库中的精华，推进产学研一体化，推进中医药产业化、现代化，让中医药走向世界．”2023年，云南省林下中药材种植面积达400万亩．某种优质中药材成本每千克800元，某药材公司试销一段时间发现：这种中药材每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的关系如下表：（元/千克）950100010501100（千克）250200150100(1)请根据表中的数据写出与之间的函数解析式；(2)根据有关部门规定，该药材每千克售价不允许超过1200元．该药材公司每周获利元，试写与之间的函数解析式，并求出药材公司每周的最大利润．32．（2025·云南大理·二模）已知二次函数（是常数且）．(1)若，求出该函数图象的顶点坐标；(2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值．33．（2025·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点．(1)求抛物线表示的二次函数的解析式；(2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标．34．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，其对称轴为直线．设是二次函数的图象与轴交点的横坐标，．(1)求，的值；(2)以下结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．35．（2025·云南楚雄·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．数与形反映了事物两个方面的属性．数形结合思想是中学数学中一种重要的数学思想，用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．请用所学的数学知识来解决下列问题．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为图象．(1)求证：图象与轴只有一个交点．(2)若点在图象上，且，求的取值范围．(3)在（2）的条件下，当取最大的整数时，在线段上方的图象上是否存在一点，使点到线段的距离最大？若存在，请求出点的坐标及点到线段的最大距离；若不存在，请说明理由．36．（2025·云南楚雄·二模）已知抛物线的对称轴是直线，且图象经过点．设该抛物线与轴交点的横坐标为．(1)求抛物线的函数解析式；(2)记：，比较与的大小．37．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．(1)若，，求此二次函数的解析式；(2)若，，为正实数，设，试判断是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．38．（2025·云南楚雄·二模）已知关于x的函数(1)若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式；(2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值．39．（2025·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（a为常数，）．(1)当时，求该二次函数的值；(2)若二次函数与直线有唯一交点，设，求T的值．40．（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求抛物线的解析式；(2)比较与3的大小．41．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大.设n是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标.(1)求b，c的值；(2)求代数式的值.42．（2025·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)试说明点在该抛物线上；(2)已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都有，求m的取值范围．43．（2025·云南文山·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求抛物线的解析式；(2)比较与的大小．44．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线（）与轴交于点．(1)当，，求该抛物线与轴交点坐标；(2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有四个，求整数的最小值．45．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点．(1)若抛物线与轴的公共点为，抛物线与轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；(2)当时，设二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值．46．（2025·云南德宏·一模）已知抛物线的对称轴是直线．(1)求的值；(2)若满足方程，设，求代数式的值．47．（2025·云南楚雄·二模）已知，是抛物线上的两个不相同的点．(1)求该抛物线与轴的交点坐标；(2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值．48．（2025·云南红河·三模）已知二次函数的图象上，时，取得最小值为．点、是二次函数的图象上任意两点，设．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．49．（2025·云南红河·三模）商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：(1)求与之间的函数解析式；(2)若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？50．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线的图象经过点，对称轴是直线，为抛物线与轴一个交点的横坐标．(1)求，的值；(2)求的值．51．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线．(1)若抛物线经过点时，求a的值；(2)若点，在此抛物线上，求的值．52．（2025·云南临沧·二模）已知二次函数（m为常数）．(1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式．(2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值．53．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的图象经过点．(1)求a的值；(2)点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标．54．（2025·云南昆明·二模）某超市需购进某种商品，每件的进价10元．设该商品的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间部分数值对应关系如下表：销售单价（元/件）1012141618日销售量（件）180168156144132(1)当时，你认为一次函数、反比例函数，哪个更符合与之间的关系，请求出与之间的函数关系式；(2)设该商品的日销售利润为元，当该商品的销售单价（元/件）定价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？55．（2025·云南昆明·二模）已知二次函数（是常数）的图象过点．(1)求的值；(2)设抛物线与轴的交点为，设．请判断，，哪个成立？并说明理由．56．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求该抛物线的解析式；(2)将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，记，求的最小值．57．（2025·云南昭通·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线交y轴于点C，经过点A、B、C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长；(3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M、N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论．58．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，．(1)求抛物线的解析式．(2)若