山西省长治市潞州区长治市第二中学校2026届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

山西省长治市潞州区长治市第二中学校2026届高一数学第二学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知的三边满足，则的内角C为（）A． B． C． D．2．已知，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．3．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A． B． C． D．4．函数，是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为()A． B． C． D．6．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（）A．或 B．或C． D．7．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为()A． B． C． D．8．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）海里/小时．A． B．C． D．9．已知函数，则不等式的解集为()A． B． C． D．10．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12 B．－14 C．10 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的取值范围是_______；12．如果是奇函数，则=.13．数列中，为的前项和，若，则____．14．已知，则_________．15．中，，，，则________.16．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及相应的值.18．已知时不等式恒成立，求实数的取值范围．19．正四棱锥中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.20．已知函数的最小正周期是.(1)求的值及函数的单调递减区间；(2)当时，求函数的取值范围.21．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】原式可化为,又,则C=,故选C.2、D【解析】

由，，计算可判断；由，，计算可判断；由，可判断；作差可判断．【详解】解：，当，时，可得，故错误；当，时，，故错误；当，，故错误；，即，故正确．故选：．【点睛】本题考查不等式的性质，考查特殊值的运用，以及运算能力，属于基础题．3、B【解析】

随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率．【详解】随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4、A【解析】

判断函数函数，的奇偶性，求出其周期即可得到结论.【详解】设则故函数函数，是奇函数，由故函数，是最小正周期为的奇函数.故选A.【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题.5、A【解析】

由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.【详解】因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.6、A【解析】

先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．【详解】易求得线段的方程为，得，由直线的方程得，当时，，此时，；当时，，此时，．因此，实数的取值范围是或，故选A．【点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．7、C【解析】

求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率.【详解】同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有：共有36种，点数之和为5的基本事件有：共4种；所以所求概率为.故选C.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养.8、C【解析】

先求出的值，再根据正弦定理求出的值，从而求得船的航行速度.【详解】由题意，在中，由正弦定理得，得所以船的航行速度为（海里/小时）故选C项.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.9、B【解析】

先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.10、A【解析】

由直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．【详解】∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴2m﹣4×5=0，解得m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣1．故答案为：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．【详解】设向量与向量的夹角为，因为，所以，即，因为，所以，即，所以的取值范围是．【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．12、－2【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴=-2考点：本题考查了三角函数的性质点评：对于定义域为R的奇函数恒有f(0)=0.利用此结论可解决此类问题13、【解析】

由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【详解】因为，所以，又因为所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以由等比数列的求和公式得，解得【点睛】本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题．14、.【解析】

在分式中分子分母同时除以，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式，故答案为.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的次分式齐次式：当分式是关于角的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角弦的二次整式时，先除以，将代数式转化为关于角弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以，可实现弦化切.15、7【解析】

在中，利用余弦定理得到，即可求解，得到答案.【详解】由余弦定理可得，解得.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、1【解析】

根据程序框图，依次计算运行结果，发现输出的S值周期变化，利用终止运行的条件判断即可求解【详解】由程序框图得：S=1,k=1;第一次运行S=1第二次运行S=第三次运行S=1当k=2020，程序运行了2019次，2019=4×504+3，故S的值为1故答案为1【点睛】本题考查程序框图，根据程序的运行功能判断输出值的周期变化是关键，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）的最小值为，此时.【解析】

通过倍角公式，把化成标准形式，研究函数的相关性质(周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值及最值相对于的变量)，从而本题能顺利完成【详解】（1）因为.所以函数的最小正周期为.（2）当时，，此时，，，所以的最小值为，此时.【点睛】该类型考题关键是将化成性质，只有这样，我们才能很好的去研究他的性质.18、【解析】

讨论的取值范围，分别计算，最后得到答案.【详解】解：（1）当时，恒成立，符合题意（2）当时，不合题意舍去（3）当时，综上所述【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，忽略二次系数为0的情况是容易发生的错误.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）取的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（2）连接交于，则为的中点，结合为的中点，得，可得（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，可得，设，求解三角形可得异面直线和所成角的余弦值．【详解】（1）取的中点，连接、，是的中点，且，在正四棱锥中，底面为正方形，且，又为的中点，且，且，则四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；（2）连接交于，则为的中点，又为的中点，，又，（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，，设，则，，，则，因此，异面直线和所成角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．20、(1)，减区间为；(2)【解析】

（1）利用倍角公式将函数化成的形式，再利用周期公式求出的值，并将代入区间，求出即可；（2）由求得，利用单位圆中的三角函数线，即可得答案.【详解】(1)，，；，，的单调递减区间为.(2)由得，利用单位圆中的三角函数线可得：，∴.【点睛】本题考查三角恒等变换中倍角公式的应用、周期公式、值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度范围的限制.21、：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=1，d=1，从而得到{a