分式方程知识点归纳总结

分式方程知识点归纳总结分式方程的定义与概念分式方程的定义分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程叫做分式方程。例如，=3，+=1分式方程的一般形式一般地，分式方程可以表示为=h(x)的形式，其中f(x)、g(x)、h(x)分式方程的解法解分式方程的基本思路解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的根是否为原分式方程的根。这是因为整式方程的解法相对成熟和简单，我们可以利用整式方程的求解方法来解决分式方程的问题。解分式方程的一般步骤1.去分母：找到方程中所有分母的最简公分母。最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积。例如，对于方程+=，分母分别为x1，x+1，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。如上述方程两边同时乘以(x1)2.解整式方程：对去分母后得到的整式方程进行求解。对于(x+1)+2(x1)=3.检验：把求得的整式方程的根代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则这个根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则这个根是增根，原分式方程无解。对于x=，代入最简公分母(x1增根的概念与产生原因增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根。增根产生的原因是在去分母的过程中，方程两边同时乘以了一个可能为0的整式（最简公分母），从而扩大了未知数的取值范围。例如，对于方程−1=，最简公分母是(x2)(x+2)，去分母后得到x(分式方程的应用行程问题在行程问题中，常用的公式是路程=速度×时间例1：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲的速度比乙的速度快2km/h，2h后两人相距36设乙的速度为xkm/根据题意，两人2h后相距36km，再过2h两人又相距36km，说明两人相遇后又相距36km，那么两人4h所走的路程比A、B两地间的距离多36可列方程2(先化简方程左边得2(方程右边得4(则4x移项得8x即4x=68所以乙的速度是17km/工程问题工程问题中，常用的公式是工作总量=工作效率×例2：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作x天后，剩下的工程由乙单独做5天完成，求x的值。甲的工作效率为，乙的工作效率为。根据工作总量为1，可列方程(+先计算括号内的值+=则方程变为x+移项得x=即x=两边同时乘以6得x=销售问题销售问题中，常用的公式有利润=售例3：某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高25作为销售价，共获利6000元。第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利400元。问此商品的进价是多少元？设此商品的进价是x元。第一个月每件商品的利润为25元，第一个月的销售量为件。第二个月每件商品的利润为10元，第二个月的销售量为件。根据第二个月的销售量比第一个月增加了80件，可列方程−=方程左边−=则=80两边同时乘以x得40000=解得x=分式方程的特殊解法换元法当分式方程比较复杂，直接去分母会使方程变得更复杂时，可以考虑使用换元法。例4：解方程+=设=y，则=，原方程可化为y方程两边同时乘以y得−3因式分解得(y解得=1，=当y=1时，=1，即−当y=2时，=2，即−2x经检验，x=分离常数法对于一些分式方程，通过分离常数可以简化方程的形式。例5：解方程−=先对每个分式进行分离常数：=1+，=1+，原方程可化为(1即−=通分得到=，即=，则(x展开得+4移项得+4即−8x=经检验，x=分式方程的增根与无解问题增根问题增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根。例6：若关于x的分式方程+=有增根，求m先将方程两边同时乘以(x2)因为原分式方程有增根，所以(x2)(x当x=2时，代入2(x+2)当x=−2时，代入2(x+2所以m的值为−4或6无解问题分式方程无解包含两种情况：一是化为整式方程后整式方程无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根。例7：若关于x的分式方程+3=无解，求方程两边同时乘以x2去分母得1展开得1+移项得3x=k1+因为原分式方程无解，所以x2=0把x=2代入x=两边同时乘以3得6=k+当k=分式方程与其他知识的综合应用分式方程与不等式的综合例8：已知关于x的分式方程−2=的解为正数，求方程两边同时乘以x3去分母得x展开得x−移项得−x=m因为方程的解为正数，所以x=6m又因为x3≠q0，即x≠综上，m的取值范围是m<6且分式方程与函数的综合例9：已知反比例函数y=的图象与一次函数y=2x1的图象交于点A(a,b先解方程−=方程两边同时乘以x(x1展开得x−移项得−x=−把x=2代入y=2x1得把A(2,3)代入y分式方程的拓展与延伸含字母系数的分式方程含字母系数的分式方程的解法与一般分式方程的解法相同，但在求解过程中需要注意对字母系数的讨论。例10：解关于x的分式方程+=方程两边同时乘以(xa(展开得a(a−移项合并同类项得(a即(a提取公因式x得x[所以x=0或当a+b2经检验，x=0和分式方程组分式方程组的解法通常是通过消元法将其化为整式方程组或单个分式方程来求解。例11：解方程组{+=设=m，=n，则原方程组可化为{给第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3得：{4m将两个方程相加得4m即13m=13把m=1代入2m移项得3n=82，即因为=m=1，所以x=1经检验，{x=综上所述，分式方程是初中