2025北京北师大实验中学高一6月月考数学试题及答案

试题2025北京北师大实验中学高一6月月考数学2025.06.03一、选择题（每小题4分，共32分）1.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（）A.8 B.16 C. D.2.如图，在正方体中，则与所成角为（）A. B. C. D.3.设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（）A.①④ B.②③ C.④⑤ D.②④⑤5.在中，，则（）A. B. C. D.6.在中，若，，，则为（）A. B. C. D.7.在锐角中，，则的一个可能的取值为（）A.1 B.1.5 C.1.8 D.28.如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点，使B.不存在点，使C.对任意点，都有D.存在点，使平面二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知i是虚数单位，化简的结果为_________.10.在中，，则________．11.已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可）①；②；③；④.12.在中，角的对边分别是，若，且，则______，的面积最大值是______．13.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．14.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是________．①直线与直线相交；②当时，为四边形；③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；④当时，截面与，分别交于，则．三、解答题（共44分）15.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；16.在中，，，．（1）求；（2）求的面积．17.已知函数.（1）求的值；（2）求的对称轴；（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.18.如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2．（1）求证：；（2）若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题．（ⅰ）求证：为的中点；（ⅱ）求证：平面．条件①；条件②；条件③．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．附加题（10分）19.设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质．（1）判断下列函数是否具有性质？①，②，③．（2）若函数具有性质，其中，求证：函数具有性质；（3）设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数．若，求的值．

参考答案一、选择题（每小题4分，共32分）1.【答案】C【分析】先计算出每个面的面积，再乘以8即为表面积；【详解】每个面的面积为，所以该图形的表面积为.故选：C2.【答案】C【分析】连接，根据定义，得到即为与所成角，即可求解.【详解】如图所示：连接，由正方体的性质可得，，则即为与所成角，又，所以.故选：C.3.【答案】A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.4.【答案】D【分析】利用三角形的图形性质来判断唯一解的充要条件解题即可.【详解】根据已知，，可知三角形边上的高，所以要使得存在且唯一确定的解，则或，故有②④⑤满足，故选：D.5.【答案】B【分析】本题可根据正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求解.【详解】已知，由正弦定理可得：，因为，所以，得到，即.又因为，所以.故选：B6.【答案】B【分析】利用余弦定理和已知联立求解可得，然后利用平方关系求出，结合正弦定理可得.【详解】由余弦定理得，即，联立，解得，因为，，所以，由正弦定理可得.故选：B7.【答案】B【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得.【详解】在锐角中，，则，又，所以，又，所以，所以，所以.故符合题意的只有B.故选：B.8.【答案】C【分析】A选项，根据异面直线的定义可以判断；B选项，容易发现重合时符合题意；C选项，利用线面垂直得到线面垂直；D选项，先找出平面的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和垂直的问题.【详解】A选项，由于平面，，平面，则一定异面，A选项错误；B选项，根据直三棱柱性质，平面，平面，故，又，，平面，故平面，又平面，故，显然，即，故重合时，，B选项错误；C选项，直棱柱的侧面必是矩形，而，故矩形成为正方形，则，B选项已经分析过，平面，由平面，故，又，平面，故平面，又平面，则必然成立，C选项正确；D选项，取中点，连接，根据棱柱性质可知，和平行且相等，故平面可扩展成平面，过作，垂足为，根据平面，平面，故，显然，故，由，，平面，故平面，若平面，则，过作//，交于，连接，于是共面，又，平面，故平面，由于平面，故，延长交于，易得//，则，而在线段上，这是不可能的，D选项错误.故选：C二、填空题（每小题4分，共24分）9.【答案】【分析】利用复数的除法即可求解.【详解】由故答案为：.10.【答案】或【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得,由于,所以或，故答案为：或11.【答案】①③（或②④）【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案.【详解】选①②，若，，则可能，不正确；选①③，若，，则，正确；选①④，若，，则可能，不正确；选②③，若，，则可能，不正确；选②④，若，，则，正确；选③④，若，，则可能，不正确；故答案为：①③（或②④）12.【答案】①.②.【分析】第一空：由余弦定理即可求解，第二空：由基本不等式求得最大值，即可求解.【详解】由题意得，因，故，由基本不等式：，得，所以，当且仅当时取等号，所以．故答案为，13.【答案】【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，，，，，设，则，，，根据，则，解得：所以塔尖距离底面的高度为米.故答案为：14.【答案】②③④【分析】①，由平面，可知直线与直线不可能相交，即可判断；②，由可得截面S与正方体的另一个交点落在线段上，即可判断；③，由为的中点，为的中点，可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面积，即可判断；④，当时，延长至，使，连接交于，连接交于连接，取的中点，上一点，使，连接，可求得，再利用勾股定理求出，即可判断.【详解】①，因为为线段上的动点，所以平面，由正方体可知平面，所以直线与直线不可能相交，故①错误；②，当时，截面S与正方体的另一个交点落在线段上，如图所示：所以截面为四边形；又面，故//面，故②正确；③，连接，如下所示：

因为为的中点，为的中点，则，故面即为平面截正方体所得截面；在和中，又，故该截面为等腰梯形，又，，故截面面积，故③正确；④，当时，延长至，使，连接交于，连接交于连接，取的中点，上一点，使，连接，如图所示：因为且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，则，由，，所以，则为中点，则，所以，又，可得，所以，则在中，故④正确；故答案为：②③④.三、解答题（共44分）15.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由题意利用线面平行的性质定理即可证明；（2）取的中点，连接，由（1）可证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得平面.【小问1详解】根据题意可得，平面，平面，且平面平面，由线面平行的性质定理可得；【小问2详解】取的中点为，连接，如下图所示：由是的中点，是的中点，可得，且；由（1）知，且，所以，且；所以四边形是平行四边形，即，又平面，平面；所以平面.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解；（2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解.【小问1详解】解：由正弦定理可得：,又，所以，整理得：，因为，所以，而B为三角形内角，故.【小问2详解】解：因为，所以或，又，，所以当时，，不符合题意，故，，由正弦定理得，即，解得，故的面积为：.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）代值计算可得出的值；（2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程；（3）由可得，由可得出，由已知条件可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】因为，则.【小问2详解】.由可得，所以，函数的对称轴方程为.【小问3详解】由，可得，当时，，因为方程在区间上恰有一个解，则，解得，因此，实数的取值范围是.18.【答案】（1）证明见解析；（2）选择条件，答案见解析.【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）选择条件①③，利用线面平行的判定、性质推理得（ⅰ）；利用线面垂直的判定推理得（ⅱ）.【小问1详解】在中，由，得，由，分别为，的中点，得，则，因此，而平面，则平面，又平面，所以.【小问2详解】选条件①：，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，则，而，所以，即为的中点.（ii）因为，由（i）得，则，由（1）得，又平面，所以平面.选条件③：，由，得，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，则，而，所以，即为的中点.（ii）因为，由（i）得，则，由（1）得，又平面，所以平面.条件②，，由（1）可得平面，则过直线的平面与平面相交，所得交线均与平行，给定条件为上述交线，因此这样的点M不唯一确定.附加题（10分）19.【答案】（1）①具有性质；②不具有性质；③具有性质（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用性质的定义判断；（2）利用性质的定义证明；（3）根据函数具有性质，得到，从而