2025北京汇文中学高一12月月考数学试题及答案

试题2025北京汇文中学高一12月月考数学第一部分选择题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（）A. B.C. D.5.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.6.设函数.已知，，且的最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.47.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（）（参考数据：）A.305 B.483 C.717 D.8798.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（）A.B.是以2为周期的周期函数C.在区间上单调递减D.若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则9.已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小值是10.悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（）A. B.函数的值域C.，恒成立 D.方程有且只有一个实根第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为______．12.已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______．13.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为______．14.已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______．15.设，函数给出下列四个结论：①当时，；②当时，存在最小值；③若在区间上单调递增，则的取值范围是；④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设集合．（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，求．17.设函数．（1）当时，求的值；（2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（3）当时，的最小值为3，求m的值．18.在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点（1）求的值；（2）求的值、19.设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定．（1）求的解析式及单调递增区间：（2）若在区间上的值域为，求的取值范围条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：的图象关于直线对称．20.某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求出S关于的函数解析式；（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）21.设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集．条件①：；条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得．（1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）；（2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值：（3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值．

参考答案第一部分选择题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案DBBCABCDAC第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由题意得，解得，故函数定义域为.故答案为：12.【答案】设（且），将代入得，解得，负值舍去，故该指数函数的解析式为.故答案为：13.【答案】因为在上单调递增，若，则，又为第一象限角，取，则，由为假命题，则，令，，则，满足题意.故答案为：（答案不唯一）.14.【答案】正数满足，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，，故，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：，15.【答案】当时，，，故①正确；当时，时，单调递减，时，单调递增，，则，图象如上所示，所以当时，不存在最小值，故②错；当时，，解得，当时，成立，所以若在区间上单调递增，则的取值范围为，故③正确；当时，取，，，因为，所以，所以存在负数，使得，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且．由韦达定理，得，解得，故．（2）由，可得，所以．由（1）知，，所以或，故或．17.【答案】（1）当时，，所以.（2）在区间上的单调递增，证明如下：在上任取，且，则，因为，，所以，所以，即，所以，即，所以，即在区间上的单调递增.（3）时，由（2）可得在上单调递增，所以，所以.18.【答案】（1）因为角的终边与单位圆交于点所以解得．因为，所以．由三角函数的定义知，．（2）原式=19.【答案】（1）选条件①②：由条件①知，，所以，即．由条件②知，．因为，所以，所以令，解得，故的单调递增区间为选条件①③：由条件①知，，所以，即．由条件③知，，所以,因为，所以，以下同选条件①②，选条件②③：由条件②知，．因为，所以，即由条件③知，，所以，此时不唯一，不符合要求（2）因为，所以．因为且在区间上的值域为，所以，解得，故的取值范围是20.【答案】（1）依题意，当时，，所以，所以，，则（万元），.（2）若，不等式化为，解得又，所以隔热层的厚度不能超过6厘米.21.【答案】（1）对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②，所以不是集合的和谐子集.对于集合，满足和谐子集的条件①，且对集合中任意三个元素，不存在，使得，满足条件②，所以是集合的和谐子集.综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集.（2）将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类：被3除所得的余数为0的元素有6：被3除所得的余数为1的元素有4，7：被3除所得的余数为2的元素有5，8．因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合，否则，或者，与已知矛盾．设为集合中元素的个数，则．构造集合，因为，所以集合是集合的和谐子集，故集合中元素个数的最大值是4.（3）不妨设集合中的最小元素是，则存在唯一非负整数数对，使得，其中．将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类：被除所得的余数为1的元素有；被除所得的余数为2的元素有；…被除所得的余数为的元素有；被除所得的余数为的元素有；