2025北京顺义一中高一6月月考数学试题及答案

试题2025北京顺义一中高一6月月考数学2025.06（考试时间120分钟满分150分）一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知是虚数单位，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，则下列向量与平行的是（

）A． B． C． D．3．已知，，则（）A． B． C． D．4．已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．5．下列结论正确的是A．若直线平面，直线平面，则B．若直线平面，直线平面，则C．若两直线与平面所成的角相等，则D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则6．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则()A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝C．ω＝4，φ＝ D．ω＝2，φ＝－已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（

）A．， B．，C．， D．，8．已知等腰△ABC中，，，点P是边BC上的动点，则（

）A．为定值10 B．为定值5C．不为定值，与点P位置有关 D．为定值129．下图为青岛五四广场主题钢雕塑，由艺术家黄震设计，名为“五月的风”.该雕塑以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，寓意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源.雕塑形状可视为有公共底面的两个相同圆锥的组合体，且圆锥的底面半径和圆锥的高均为15米，据此可知的表面积为（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米10．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为，当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（

）A．y=sin B．y=sinC．y=sin D．y=sin二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11．已知复数（为虚数单位），则的模为．12.已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是_______.13．在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则____14．梯形中，，，，，点在线段上运动.（1）当点与点重合时，.（2）的最小值是.15．在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②直线与平面所成的角的大小不变；③二面角的大小不变；④是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．在中，.（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值.17．如图，在菱形ABCD中，，.(1)若，求x和y的值；(2)若AB=3，，求的值.18．如图，正方体的棱长为2．

(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求二面角的正弦值．19．已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知：条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象相邻的两个对称轴之间的距离为；条件③：函数的图象可由函数的图象平移得到.(1)求的解析式；(2)若在区间上的最大值为2，求的最小值.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.

(1)求证：为棱的中点；(2)若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积.21．对于三维向量，定义“F变换”：，其中，，，.记，.(1)若，求及；(2)证明：对于任意，经过若干次F变换后，必存在，使；(3)已知，，将再经过m次F变换后，最小，求m的最小值.

参考答案一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【答案】B【分析】根据复数的乘法运算，即可得到本题答案.【详解】由题意得：.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则.属于容易题.2．【答案】B【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出合适的选项.【详解】由已知，，，，，B选项中的向量满足条件，故选：D.3．【答案】C【分析】由可得，从而求得.【详解】因为，则所以有，因为，所以，解得.故选：C．4．【答案】B【分析】根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得母线长，进而得到圆锥的高求解.【详解】解：设圆锥的母线为l，由题意得，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：B5．【答案】A【详解】试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A．考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．6．【答案】D【详解】由已知条件得，π＝，因而ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin＝sin的图象，由题意知g(x)为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.故选D.8.【答案】A【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式计算即可求解．【详解】设7个数为，则，，所以，所以，则这个数的平均数为，方差为．故选：A．9．【答案】A【分析】令的中点，利用等腰三角形性质及数量积的定义求解.【详解】令的中点，由，得，,，所以.故选：A10．【答案】B【分析】根据圆锥体的侧面积公式求解即可.【详解】由题，半径，高，则母线，所以圆锥的侧面积为，所以的表面积为，故选：B11．【答案】C【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而结合待定系数法可求函数的解析式，注意秒针是顺时针走动．【详解】解：由题意，函数的周期为，设函数解析式为（因为秒针是顺时针走动），初始位置为，，时，，，可取，函数解析式为故选：C．二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.12.【答案】13．【答案】【分析】由正弦定理可知，再化简即得解.【详解】由正弦定理可知，因为为三角形的内角，所以，故，又为锐角三角形，所以，所以，14．【答案】0/【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，即可求解；（2）根据是等腰直角三角形，设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值.【详解】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，当点与点重合时，，，，，，，；（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，设，，，，当时，的最小值是.故答案为：；.15．【答案】①③④【分析】根据线面平行判定定理可得平面，然后结合锥体的体积公式及线面角的定义可判断①②，根据二面角的定义可判断③，由题可得平面，进而可得点的轨迹是平面与平面的交线可判断④.【详解】对①，由题可知，平面，平面，所以平面，因此到平面距离不变，又，故三棱锥的体积不变，①正确；对②，因为到距离不变，但长度变化，因此直线与平面所成的角的大小变化，故②错误；对③，二面角的大小就是平面与平面所组成二面角的大小,因此不变，故③正确；对④，由正方体的性质可知平面，所以平面，到点和距离相等的点在平面上，所以点的轨迹是平面与平面的交线，故④正确；综上真命题的编号是①③④.故答案为：①③④.解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【详解】（1）因为，所以.（2）因为，由正弦定理得，所以.因为的面积为，即，所以.所以.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量基本定理化简即可得出答案.（2）根据题意先求出的值，再利用、表示出，结合（1）即可求出的值.【详解】（1）所以（2）由题意知：所以18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案；（2）由线面垂直的判定定理可得答案；（3）设，由已知条件可得即为二面角的平面角，在中计算可得答案.【详解】（1）在正方体，且，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面∴平面；（2）∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，∴，∵正方形ABCD中，，又∵平面，平面，，∴平面；（3）∵在正方形ABCD中，设，连接，∴，，∵中，，为等腰三角形，∴，∴即为二面角的平面角，∵在中，，∴，即二面角的正弦值为.

19．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简得，若选①，将点代入求得，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定，可得答案；选③，根据三角函数图象的平移变化规律可得，可得答案；（2），根据函数最值和单调性求解即可【详解】（1）由题意得，，选①：由条件：，即，，选②：由条件：又选③：的图象可由函数的图象平移得到的周期与的周期相同的周期，则的周期（2），即20．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，可得为棱的中点；（2）证明平面，四棱锥的高为，计算底面梯形的面积，即可计算四棱锥的体积.【详解】（1）因为四边形是矩形，所以.又平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以，即.又为棱的中点，所以为棱的中点.（2）因为四边形是矩形，所以.因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，平面，所以.因为为等边三角形，为棱的中点，所以.因为平面，，所以平面，即点到平面的距离为，因为，所以.等边三角形中，，则直角梯形的面积，所以四棱锥的体积.21．【答案】(1)；.(2)证明见解析(3)505【分析】（1）直接按照“F变换”规则逐步计算和，再根据和的定义求解；（2）采用反证法，通过分析变换过程中的变化情况来证明；（3）先根据已知条件求出和的值，再分析每次“F变换”后向量模长的变化规律，从而确定的最小值.【详解】（1）已知，根据“F变换”规则，其中，，，可得：根据，可得；根据，可得.（2）设,假设对任意，，则，，均不为.经过一次“F变换”后，.所以，即又因为，所以.所以，这与矛盾，故假设不正确