必修一学案第2章4匀变速直线运动的速度与位移的关系

4匀变速直线运动的速度与位移的关系

学习目标知识脉络（教师独具）

i.理解匀变速直线运动的速度与位移

的关系.（重点）

2.会应用速度与位移的关系式分析有

厂|推导过程|

关问题.（难点）匀变速百线运动的一|公式|_p_%2=2/

速度与位移的关系

3.掌握匀变速直线运动中，位移、速lit用条件I

度、加速度和时间之间的相互关系.（重L西一1二呼I

点）

4.能用匀变速直线运动的规律解决追

及相遇等问题.（重点、难点）

［自主预习•探新知］

［知识梳理］

1.公式：v2—vi=2ax.

2.推导

速度公式v=vo-\-at.

位移公式X=VQt+\cit.

可得到速度和位移的关系式：v2~vi=2gjc.

［基础自测］

1.思考判断

（1）匀变速直线运动中位移增大时速度一定增大.（X）

（2）匀加速直线运动中速度的二次方於一定与位移工成正比.（X）

（3）公式方一痴=2,a只适用于匀变速直线运动.（，）

（4）初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大.（X）

（5）匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素有关.

2_z

2.关于公式X=号四，下列说法正确的是（）

A.此公式只适用于匀加速直线运动

B.此公式适用于匀变速直线运动

C.此公式只适用于位移为正的情况

D.此公式不可能出现〃、x同时为负值的情况

B［公式4=号上适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也

适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，

选项B正确，选项A、C错误；当物体做反方向上的匀加速直线运动时，a、X

同时为负值，选项D错误.］

3.如图2-4-1所示，一辆正以8m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1m/s?

的加速度匀加速行驶，则汽车行驶了18m时的速度为()

【导学号：84082055］

A.8m/sB.12m/s

C.10m/sD.14m/s

C［由v2—vi=2ax和oo=8m/s,

a=Im/s2,x=18m可求出：

r=10m/s,故C正确.］

［合作探究攻重难］

14All

速度与位移的关系式

厂适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于

匀变速直线运动.

2.公式的矢量性：公式中a)、。、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的

正方向，一般选。U方向为正方向.

(1)物体做加速运动时，。取正值；做减速运动时，。取负值.

(2).>0,说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0,说明物体位移的

方向与初速度的方向相反.

3.两种特殊形式

⑴当vo=O时，庐=为尤(初速度为零的匀加速直线运动).

(2)当v=0时，一涕=2公.(末速度为零的匀减速直线运动).

卜例［］一隧道限速108km/h.一列火车长100m,以144km/h的速度行驶，

驶至距隧道200m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道.若

隧道长500m.求：

(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小；

(2)火车全部通过隧道的最短时间.

思路点拨:①火车匀减速运动的位移为200m,而匀速通过隧道的位移为100

m+500m=600m.②火车到达隧道口的速度为108km/h时匀减速运动的加速

度为最小.

【解析】(1)火车减速过程中

w=144km/h=40m/s,x=200m,

v=108km/h=30m/s

当车头到达隧道口速度恰为108km/h时加速度最小，设为a

由v2—vi=2ax

2,

得2A-

(30m/s)2—(40m/s)2,

=—2X200m—=一175m/s--

(2)火车以108km/h的速度通过隆道，所需时间最短，火车通过隧道的位移

为

10()m+500m=600m

,1x600m”

由x=°/得/=5=而嬴=20.

【答案】(1)1.75m/s2(2)20s

［针对训练］

1.一滑雪运动员从85m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8m/s,末速

度是5.0m/s,滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？

【解析】利用速度与位移的关系公式和速度公式求解.

由v2—vi=2ax得

V2—V^ie

“=/[=0.128m/s，.

V-VO

由。=次>+<〃得t="=25s.

【答案】25s

—.....................

匀变速直线运动的几个推论

在匀变速直线运动中，某段位移工的初末速度分别是。0和。，加速

度为。，中间位置的速度为苣，则根据速度与位移关系式，对前一半位

4M««S

移。21一v3=2或，对后一半位移v,即母一捕=/一喏,所以u|=

捕+。2L皿、、/J、rjXt

1―.由数学知识知：啥否=[-.

2.由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例

(1)17末、27末、3r末、…、〃了末瞬时速度之比

：。2：。3：…：Vn=\：2：3：…：几

(2)17内、27内、3r内、…、〃7内的位移之比4M««2

XI:X2:X3:…：Xn=卜：22：32：…：/：2.

(3)第一个7内，第二个T内，第三个7内，第〃个T内位移之比

X\Xu:Xm::Xn—1：3：5：…：(2〃-1).

(4)通过前人前2x、前3.L•位移时的速度之比

V\"V2-V3':Vn=\:啦：小：…：

(5)通过前X、前2r、前3x…的位移所用时间之比

力：及：白：…：力=1:啦：小：…：由.

(6)通过连续相等的位移所用时间之比

t\:tn:仙：…:tn=]：(6-1)：(小一啦)：…：(或_.〃一]).

》例原一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s

末的速度为4m/s.求：

(1)第6s末的速度;

(2)前6s内的位移;

(3)第6s内的位移.

思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动.②注意区别前6s和第

6s的确切含义.

【解析】(1)由于第4s末与第6s末的速度之比

v\:。2=4:6=2:3

3

故第6s末的速度V2=^VI=6m/s.

(2)由V\=ati得

v\4m/s,,)

a=~h=~=}m/s-

所以第1s内的位移

1)

xi=^aX(Is)'=0.5m

第1s内与前6s内的位移之比

Al：1?：6，

故前6s内小球的位移X6=36XI=18m.

(3)第1s内与第6s内的位移之比

Xi：即=1：(2X6-1)=1：II

故第6s内的位移由=1\xi=5.5m.

【答案】(1)6m/s(2)18m(3)5.5m

规律方法

有关匀变速直线运动推论的选取技巧

(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线

运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论.

(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀

加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化.

I针对训练I

2.(多选)如图2-4-2所示，一冰壶以速度。垂直进入两个矩形区域做匀减速

运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区

域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质

点)()

【导学号：84082056]

图242

V\:02=2:1V\:。2=\分：1

/1：/2=1“2t\:72=(<2-1)：1

BD[初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为

1：(^2-1),故所求时间之比为(也一1)：1,所以C错误，D正确；由。=〃/可

得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1：yj2,则所求的速度之比为

y/2：1,故A错误，B正确.]

追及相遇问题

1.追及问题

(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置.

码上打一月

(2)追及问题满足的两个关系:着精彩》谩

①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的

时间相等.

②位移关系：X2=xo+r,其中油为开始追赶时两物体之间的距离，川表示

前面被追赶物体的位移，工2表示后面追赶物体的位移.

(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相

撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为0=02.

2.相遇问题

(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置.

(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移

的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇.

(3)临界状态：避免相互碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两

者的相对速度为零.

》例目一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3mH的加速度

开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车.

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此

时距离是多少？

（2）什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？

【解析】（1）解法一（物理分析法）汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行

车的速度恒定.当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者间的距离将越来越大，

而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度，两车间的距离就将缩小，因此两者

速度相等时两车相距最远.由VA=at=Vq得，='=2S,Axmax=ofif—Z67/2=6IB.

Clz

解法二（用数学求极值方法求解）

设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远.

1333

有自/-5"=61-卞=—；（/—2>+6

上式所有物理量均采用国际单位制单位

由二次函数求极值的条件知，/=2s时，Ar最大，Axmax=6m.

解法三（用图象法求解）

自行车和汽车的1M图象如图所示，由图可以看出：在相遇之前，在/o时刻

两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车的位移（三角形面积）之差（即横

线阴影部分面积）最大，所以，力=①=2s,A.rnm=zX2X6m=6rn.

exz

v/（m-8"1）

6^——Vfl

（2）由图可以看出：在A）时刻以后，由汽车的0-/图线与自行车的图线组

成的三角形面积（竖线阴影部分面积）与横线阴影部分的面积相等时，两车的位移

相等，所以数学关系可得相遇时/=2/o=4s,。'汽=2。0=12m/s.

【答案】（l）2s6m（2）4s12m/s

规律方法」

解决追及与相遇问题的三种方法

（1）物理分析法

抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的

隐含条件，在头脑中建立是一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，

找出位移关系.

(2)图象法：将两者的速度一时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象

求解.

(3)数学分析法：设从开始至相遇时间为人根据条件列方程，得到关于/的

一元二次方程，用判别式进行讨论，若△>(),即有两个解，说明可以相遇两次；

若△=(),说明刚好追上或相遇；若△<(),说明追不上或不能相遇.

［针对训练］

3.甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它

们行驶的速度分别为16m/s和18nvn大小为3m/s2,乙车紧急刹车时的加速度

G大小为4m/s2,乙车司机的反应时间为0.5s,求为保证两车在紧急刹车过程中

不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？

【导学号：84082057］

【解析】设甲车刹车后经时间/甲、乙两车速度相等，则

16—«i/=18—e?2(z—0.5),所以1=4s,

2

x中=161-%/=40m,xc=［18X0.5+18X(/-0.5)0.5)］m=47.5

m,AA=X乙一xq，=7.5m.即甲、乙两车行驶过程中至少应保持7.5m距离.

【答案】7.5m

［当堂达标•固双基］

1.美国“华盛顿号”航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知I“F-18

大黄蜂”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5m/s2,起飞速度为50m/s,

若该飞机滑行100m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为()

A.30m/sB.40m/s

C.20m/sD.10m/s

B［由笳一那=2〃s,代入数据解得oo=40m/s,RJE确.］

2.(多选)甲与乙两个质点向同••方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线

运动，乙做匀速直线运动.开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于

同一位置时，下列判断正确的是()

A.两质点速度相等

B.甲与乙在这段时间内的平均速度相等

C.乙的瞬时速度是甲的2倍

D.甲与乙的位移相同

BD［由题意可知，二者位移相同，所用的时间也相同，则平均速度相同，

—Vv

再由。=E=0”所以甲的瞬时速度是乙的2倍，故选B、D.］

［教师备选］

某质点做直线运动，速度。与位移x的关系式为。2=9+24均为国际单位).则

质点2s末的速度是()

A.5m/sB.3m/s

C.11m/sD.10m/s

A［根据变速直线运动的导出公式：v2—vi=2ax,公式。2=9+您可以转化

为。2—9=2丫，可知该运动是匀加速首线运动，初速度为3m/*,加速度为Im/C

则2