2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第08讲 平面向量的概念及其线性运算 （解析版）

第08讲平面向量的概念及其线性运算内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：核心概念精准辨析【核心要点】向量的本质是“既有大小又有方向的量”，把握“方向”与“大小”两个维度，是区分各类向量概念的关键.概念名称严格定义规范表示与核心性质名师易错提醒向量具有大小和方向的量（又称矢量），区别于只有大小的数量（标量）①几何表示：有向线段（为起点，为终点）；②字母表示：，，（黑体表示向量）；③模：或，取值范围为向量不可比较大小，仅模可比较零向量长度（模）为0的向量①记作；②方向任意；③性质：，与任意向量平行，，不可与数字0混淆，单位向量长度为1个单位长度的向量①与非零向量同向的单位向量：；②同一方向有且只有一个单位向量单位向量不唯一，不同方向有不同单位向量平行（共线）向量方向相同或相反的非零向量①表示：；②扩展：零向量与任意向量平行；③传递性：非零向量平行具有传递性向量共线≠直线共线，向量可平移相等向量长度相等且方向相同的向量①表示：；②性质：可平移重合，满足传递性、对称性、反身性必须同时满足“长度相等+方向相同”相反向量长度相等且方向相反的向量①表示：的相反向量为；②性质：，，零向量的相反向量是自身知识点2：线性运算规律精讲【核心思路】向量线性运算的本质是“等效替换”，加法看“合成”，减法看“分解”，数乘看“缩放与转向”，所有运算均遵循“方向优先，大小跟进”原则.2.1向量加法■定义：求两个或多个向量和的运算，核心是“等效合成”.■两大运算法则（高频考点）：三角形法则：首尾相接，起点到终点；即，可推广到多个向量：；适用场景：任意向量（含共线向量）.平行四边形法则：共起点，对角线为和；以，为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线为；适用场景：不共线向量（共线向量无法构成平行四边形）.■运算律（化简核心依据）：交换律：（与顺序无关）；结合律：（可分组化简）；2.2向量减法■定义：减法是加法的逆运算，规定（转化为加法求解）.■核心法则：共起点，减向量终点指向被减向量终点；即（记忆口诀：“终减起，指向被减”）.■模的不等关系（高考常考不等式）：；等号成立条件：①左等号：与同向（或其中一个为）；②右等号：与反向（或其中一个为）.2.3向量数乘■定义：实数与向量的积是一个向量，记作，核心是“缩放向量+控制方向”.■三大核心性质（必考）：模的关系：（的绝对值控制缩放倍数）；方向关系：时，与同向；时，与反向；时，（方向任意）；特殊结论：或.■运算律（化简关键）：结合律：（先缩放再缩放=一次性缩放）；第一分配律：（实数相加，再乘向量=分别乘再相加）；第二分配律：（向量相加，再乘实数=分别乘再相加）；2.4共线向量定理（核心难点）■定理内容：向量与向量共线的充要条件是存在唯一实数，使得.■三大关键解读（名师总结）：条件限制：必须注明，否则不唯一（若，，无；若，无数）；双向性：①充分性：若，则；②必要性：若，则存在唯一使；应用场景：证明三点共线、求解向量系数、判断向量平行.知识点3：高频易错点突破【名师点睛】易错点本质是“概念混淆”或“规律滥用”，以下为高考高频易错清单，附辨析思路：1.零向量与数字0混淆；错例：；正例：；辨析：是向量（有方向），0是标量（无方向），运算对象必须统一.2.单位向量唯一性误判；错例：与共线的单位向量是；正例：有两个，；辨析：单位向量仅定长度，不定方向，共线包含同向和反向.3.平行向量传递性滥用；错例：若，，则；辨析：平行传递性仅适用于非零向量，零向量方向任意，无法传递方向关系.4.向量与有向线段等同；错例：就是向量；辨析：有向线段是向量的几何表示（有固定起点），向量可自由平移（无固定起点），二者是“表示与被表示”关系.5.向量比较大小；错例：；正例：；辨析：向量有方向，方向无优劣，无法比较大小，仅模（长度）可比较.6.数乘方向判断失误；错例：与方向相同；辨析：需看符号，同向，反向，无固定方向.7.共线定理遗漏；错例：若，则存在使；辨析：遗漏时，结论不成立，这是高考阅卷高频扣分点.知识点4：必记常考结论【提分关键】熟记以下结论，可快速求解选择、填空题，简化解答题步骤：1.三点共线结论：，，三点共线，存在实数，，使，且（为平面内任意不共线点）；特例：若为中点，则.2.重心性质：设的重心为（三条中线交点），则①；②（为中点）；③（为任意点）.3.向量化简常用结论：①；②；③；④若，则（同向取“+”，反向取“-”）.4.单位向量相关：①任意非零向量可表示为（为同向单位向量）；②若，为相反单位向量，则，.5.共线向量推论：若，，则，即非零共线向量可传递共线关系.【题型1向量的概念及其表示】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段：(1)向量a的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且a=3(2)向量b的模为4，方向与y轴的正方向反向；(3)向量c的方向与y轴的正方向同向，模为2．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）由向量的相关定义作图即可；（2）由向量的相关定义作图即可；（3）由向量的相关定义作图即可.【详解】（1）由题意xA=3cos120∘（2）由题意xB=4cos−90（3）由题意xC=2cos90∘例2．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量：（1）密度；

（2）体积；

（3）速度；

（4）能量；（5）电阻；

（6）加速度；

（7）功；

（8）力矩．你能找出更多向量的例子吗？【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等【分析】直接利用向量的定义得答案．【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量．密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量；而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等．变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题：①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小说法正确的是（填序号）.【答案】④【分析】由向量的概念判断即可.【详解】解：向量是既有大小，又有方向的量，它不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的.则只有④正确，故答案为：④变式2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（

）A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【分析】由向量的概念逐个判断即可；【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；速度，重力既有大小又有方向，是向量，故选：D.【题型2向量的模长】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：(1)AB；(2)CD；(3)EF．【答案】(1)3(2)26(3)2【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.【详解】（1）AB=（2）CD=（3）EF=例2．（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1）(1)正北方向，且模为2的向量AE；(2)长度为22，方向为北偏西45°的向量BF(3)向量BF的负向量CF.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】根据向量的方向和模长画出AE和BF，利用相反向量画出CF.【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出AE，如下：（2）根据平面向量的方向和模长，画出BF，如下：（3）根据相反向量的定义，画出CF，如下：变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设▱ABCD的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？【答案】答案见解析【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可.【详解】▱ABCD所有的边可以构成以下向量：AB、BA、BC、CB、CD、DC、DA、AD.它们的模分别为：|AB|BC变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与|AB|相等的向量共有多少个？（除（2）如果扩展到3×4的矩形呢？（除AB外）【答案】（1）39个；（2）39个【分析】数出与|AB【详解】（1）每个1×2的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与|AB|相等，但（2）每个1×3的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与|AB|相等，但【题型3零向量与单位向量及相等向量】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？【答案】单位圆【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可．【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的，因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是个单位圆．例2．（24-25高一下·上海·课后作业）若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a//b；③|aA．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【答案】D【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤.【详解】①｜a｜＞｜b｜不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②a∥b，则a与b为共线向量，故不正确；③|a④｜b｜=1，故正确；⑤aa是单位向量，b故选：D.变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形ABCDEF的中心，写出满足条件的向量.

(1)与OA相等的向量；(2)与OB相等的向量；(3)与OC的模相等且平行的向量（除OC外）.【答案】(1)OA(2)OB(3)AB、ED、FO、CO、BA、DE、OF【分析】根据向量相等的定义直接求解即可.【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以OA=（2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以OB（3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以AB、ED、FO、CO、BA、DE、OF变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点A1、A2或A3，表示该“马”走“一步”的向量为AA1、A

【答案】AA1，AA2，AA【分析】根据相等向量的定义即可判断AA1，AA2，【详解】解：AA1，AA如图，马在点B走一步的向量为：BB

【题型4共线向量】例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（

）A．若a=bB．若a//bC．若a,bD．若a=b，则【答案】A【分析】对A，由相等向量的定义判断；对B，举反例b=【详解】对于A，若a=b，则a=对于B，若b=0，则对于C，若a,b是共线的单位向量，则a=对于D，若a=b，则故选：A.例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（

）A．若a，b是共线的单位向量，则aB．若a=bC．若a≠b，则a，D．若a//b，b【答案】B【分析】对于A，由题意a=b或【详解】对于A，若a，b是共线的单位向量，则a=b或对于B，若a=b，则对于C，若a=−b≠0，满足a≠对于D，设a,c是两个不共线的非零向量，b=0，满足a//故选：B.变式1．（23-24高一下·上海·期中）若a，b都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．a=b B．如果aC．a//b D．如果a//b【答案】D【分析】利用单位向量，向量相等及向量共线的定义进行判断即可.【详解】因为a，b都是单位向量，所以a=b=1，且a所以选项A和选项C错误；如果a//b，a与b方向相同或相反，且所以选项B错误，选项D正确.故选：D.变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a、b是任意两个向量，下列条件：①a=b；②|a|=|b|；③a、b的方向相反；④a=0或b=0；⑤【答案】①③④【分析】a∥b：a与b方向相同或相反；a=b：a与b方向相同且模长相等；|a|=|b|：a与b长度相等；0：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若p⇒q，则p是【详解】a与b平行则a与b方向相同或相反，对于①：若a=b，a与b方向相同，则a∥b；若a∥b，则a与对于②：若|a|=|b|，a与b长度相等，与方向无关，则a与b不一定平行；若a与b平行，则对于③：若a、b的方向相反，则a∥b；若a∥b，则对于④：若a=0或b=0，则a∥b；若对于⑤：若a与b都是单位向量，则|a|=|b故答案为：①③④【题型5向量的加法运算】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量a表示“向东走2km”；向量b表示“向西走1km”；向量c表示“向南走2km”；向量d表示“向北走1km”，试说明下列向量所表示的意义：(1)a+(2)a+(3)a+(4)c+【答案】(1)向东走4km(2)向东南走22(3)向东北走2km(4)向南走3km【分析】由向量a表示“向东走2km”；向量b表示“向西走1km”；向量c表示“向南走2km”；向量d表示“向北走1km”，根据向量的加法法则即可求解各小问.【详解】（1）由题意，因为向量a表示“向东走2km”，则a+（2）因为向量a表示“向东走2km”，向量c表示“向南走2km”，所以a+c表示“向东南走（3）因为向量a表示“向东走2km”；向量b表示“向西走1km”；向量d表示“向北走1km”，所以a+b+（4）因为向量c表示“向南走2km”，向量d表示“向北走1km”，所以c+例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量a、b、c，作出下列向量；(1)a+b，b+(2)a+b+【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可.【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得a+b，b+（2）根据向量加法的平行四边形法则可得a+b+变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量a、b和c所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件a+b+c=0．反过来，如果a+【答案】不一定，理由见解析【分析】通过举反例即可说明．【详解】a+b+c=0，则向量例如，c=−2a=−2b，满足a+b+当a、b和c不共线且不为0时，满足a+b+c=0，变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式：①AB+②AC=③OA+④AB+其中等式成立的个数为．【答案】3个【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解.【详解】AB+DC+OA+AB+故答案为：3个.【题型6向量的减法运算】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量a、b、c，作出下列向量：(1)a+c−(2)a−b+【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】根据向量的加减法法则即可作图．【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点O，作OA=a,如图所示，在平面内任取一点P，作PD=b,作EF=a，则（2）如图所示，在平面内任取一点O，作OA=b,作OC=−OB，CD=如图所示，在平面内任取一点P，作PE=a,作FG=b，则例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求：(1)AB+(2)AB+(3)AB−【答案】(1)2(2)1(3)2【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解；（2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解.【详解】（1）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1，所以AB+（2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1，所以AB+（3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1，所以AB−变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；(1)AB+(2)AB−(3)AB+【答案】(1)0(2)0(3)AB【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果.【详解】（1）AB+（2）AB−（3）AB+变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知a,b，分别求作【答案】答案见解析【分析】将a,【详解】将a,如图，BA=【题型7向量的数乘运算】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量x：(1)2x(2)2a(3)13【答案】(1)x(2)x(3)x【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解；（2）直接利用平面向量的加减混合运算求解；（3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的x．【详解】（1）由2x得2x即5xx=−（2）由2a得2a得x=（3）由13得13∴56可得x=例2．（24-25高一上·上海·课前预习）在△ABC中，已知D是BC的中点，G是△ABC的重心，记AB=a，AC=b，试用a、b表示AD、【答案】AD=12a【分析】画图运用向量的线性运算法则,结合重心性质计算即可.【详解】如图所示，AD=根据重心性质知道，AG:GD=2:1，则AG=GC=变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知AB=a，AC=b，AD是中线，G为重心，则AD=；AG=

【答案】12a【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得AD，再由重心的性质得到AG=【详解】因为AD是中线，所以D为BC的中点，所以BD=所以AD=又G为△ABC的重心，所以AG=故答案为：12a变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量：（1）12(3（2）(2AB+【答案】3a+【分析】（1）由向量的加减法运算可得；（2）由向量的加减法运算可得.【详解】（1）12（2）(2=(2−1−1)AB故答案为：3a+1【题型8向量运算在几何中的应用】例1．（24-25高一上·上海·课后作业）在△ABC中，D为BC上的点，且BD=12DC，E为AD上的点，且AE=2ED，若AB=e1，AC=【答案】CE【分析】利用e1与e2线性组合表示出AE，根据【详解】根据题意得BC=所以BD=所以AD=所以AE=所以CE=

故答案为:CE=例2．（24-25高一上·上海·课前预习）已知△ABC，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，则AD+BE【答案】0【分析】运用向量的加法运算法则计算即可.【详解】边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，则AD=故答案为：0.变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知G是△ABC的重心，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，求证：GD+【答案】证明见解析【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为G是△ABC的重心，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，所以2GD=−GC，2所以2GD所以GD+变式2．（25-26高三上·上海·月考）设M是△ABC所在平面上的一点，且MB+32MA+32MC【答案】1【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解.【详解】因为D是AC中点，所以MB=−所以DM⃗故答案为：13【题型9证明三点共线】例1．设e1→，e2→，e3→不共面，已知AB→=λe1→+2e2→A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12【分析】首先表示出AC→，由A，C，D三点共线，可得AC→∥CD→【解答】解：由题意可知，已知AB→=λe1→则AC→又A，C，D三点共线，则AC→则存在实数t使得AC→=tCD→，即（λ+3）e1→+4e2→+（μ﹣1）e3→=t又e1→，e2所以λ+3=3t4=−2tμ+1=t，解得λ=−9t=−2μ=−3，所以故选：C．【点评】本题主要考查向量共线的性质，涉及平面向量基本定理，属于基础题．例2．已知e1→与e2→是两个不共线的向量，AB→=3e1→+2e2→A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5【分析】根据向量共线的性质求解即可．【解答】解：e1→与e2→是两个不共线的向量，AB→则BD→=CD→−CB→=（3﹣由A，B，D三点共线，可得存在实数λ，使得AB→=λ即3=λ(3−k)2=−λ(2+k)，解得k故选：B．【点评】本题主要考查向量共线的性质应用，属于基础题．变式1．e1→，e2→是平面内不共线两向量，已知AB→=e1→+keA．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【分析】求出向量BD→，再利用向量共线列式求出k【解答】解：由CB→=3e得BD→由A，B，D三点共线，得AB→又AB→=e得11=k故选：B．【点评】本题考查向量的加减运算，考查共线向量基本定理的应用，是基础题．变式2．设e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，已知AB→=2e1→+ke2→，BC→=e1A．−12 B．2 C．8【分析】根据题意求出BD→，由A，B，D三点共线，可知存在λ，使得AB→=λBD【解答】解：因为BC→=e1→+3e2→，因为A，B，D三点共线，AB→=2e1所以存在λ，使得AB→=λBD→，即2e1→+ke因为e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，所以故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的平行向量以及平面向量的线性运算，属于基础题．【题型10向量共线定理的应用】例1．在△ABC中，D是BC的中点，AE→=12AD→．若A．−12 B．−14 C．【分析】根据D是BC的中点，E为AD的中点，可得BE→=12（BA→+BD→）【解答】解：由AE→=12AD→，可得E为线段结合BD→=12BC→，可得根据题意BE→=λAB→+μBC→，可得λ=−12故选：B．【点评】本题主要考查了向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题．例2．在△ABC中，设AB→=a→，AC→=b→，若点A．13a→−16b→ 【分析】根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可．【解答】解：因为△ABC中，AB→=a→，AC→=b所以MD→=MC→+故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．变式1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且BP→=2A．13 B．16 C．12【分析】根据向量的线性运算求解即可．【解答】解：因为M是边BC的中点，所以BM→因为P是AM上一点，所以存在λ，使得AP→因为BP=(1−λ)BA所以由平面向量基本定理，有1−λ=23λ2=故选：A．【点评】本题主要考查平面向量基本定理，属于中档题．变式2．如图，在△ABC中，已知BD→=12DC→，AE→=2EC→，P是线段A．37 B．67 C．1 【分析】设AP→=λAD→且0＜λ＜1，应用向量加减、数乘的几何意义得【解答】解：设AP→=λAD→且0＜又AE→=23AC由B，P，E共线，则2λ3+λ所以m+n=2λ故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属于中档题．1.1基础概念体系（区分关键：方向+大小）概念类别核心特征（必记）易错区分点向量有大小（模）、有方向；表示：、不可比较大小，仅模可比较特殊向量（零/单位）零向量：，方向任意；单位向量：，同向单位向量零向量≠数字0；单位向量不唯一（多方向）向量关系（平行/相等/相反）平行（共线）：方向相同/相反；相等：大小相等+方向相同；相反：大小相等+方向相反向量共线≠直线共线；相等需“双向满足”1.2线性运算核心法则（运算本质：等效替换）加法：①三角形法则（首尾相接，起点→终点：）；②平行四边形法则（共起点，对角线为和）；运算律：交换律、结合律减法：逆运算（）；法则：共起点，减向量终点→被减向量终点（）；核心不等关系：数乘：是向量；性质：，方向由符号决定（同向，反向）；运算律：结合律、两个分配律1.3核心定理与必记结论（应用核心）共线向量定理：与共线，存在唯一，使；关键：必须注明高频结论（速记）：①三点共线：共线且；②重心性质：，；③向量化简：，共线向量1.4核心解题方法（题型突破工具）1.向量化简：凑角法（平移向量，凑首尾相接/共起点）2.共线问题：定理法（紧扣，找唯一）3.模长范围：不等式法（直接用）4.系数求解：待定系数法（结合三点共线简化）2.2题型突破技巧（速记）看到“三点共线”：立刻想到且，设系数列方程看到“模长范围”：直接写出模的不等关系，判断向量方向（同向/反向）确定等号是否成立看到“向量化简”：优先平移向量凑“首尾相接”，无法凑则用“共起点减法”转化看到“参数求解”：用待定系数法设未知系数，结合共线定理或结论列等式求解一、单选题1．（24-25高三下·上海·月考）若向量a与b方向相反，则下列等式中必定成立的是（

）A．|a|+|b|=|a−b| 【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论.【详解】因为向量a与b方向相反，所以|a|+|b故选：A.2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若OA=a，OB=b，则∠AOB平分线上的向量A．a|a|+b|b| 【答案】A【分析】运用单位向量概念公式，结合菱形性质，平行四边形法则可解.【详解】a|a|、b|b|都是单位向量，所以所以a|a|+b|b|所指的方向即为a|故选：A.3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c，则①AD=−A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【分析】我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD=AC+CD=②BE=③CF=CA+故选：C．4．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（

）A．向量又称有向线段B．平行向量一定相等C．平行向量一定共线D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量【答案】C【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断.【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，A选项错误.平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，B选项错误.平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，C选项正确.向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的x轴、y轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以x轴、y轴不是向量，D选项错误.故选：C.二、填空题5．（24-25高一上·上海·课后作业）化简：（1）OB−OA（2）BC−BD（3）AB−AC（4）OA−OD（5）AB−AD（6）NO+OP【答案】ABDC00CB0【分析】根据平面向量加减运算法则得到答案.【详解】（1）OB−OA=（3）AB−（4）OA−（5）AB−（6）NO+故答案为：AB，DC，0，0，CB，06．（2025高三·上海·专题练习）与向量a→同方向的单位向量a【答案】a【分析】略.【详解】略7．（24-25高二·上海·课堂例题）设e1、e2是平面内不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3【答案】−【分析】利用空间向量平行的坐标结论可解.【详解】CB=e1+3e若A、B、D三点共线，则存在唯一λ，使得AB=λ即2e1+ke2故答案为：−88．（24-25高一下·上海·期中）已知向量a与b不平行，ka−b与a+2【答案】−12【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解.【详解】由于ka−b与a即ka−b=λa故k=λ−1=2λ，解得k=−故答案为：−9．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形ABCD为菱形，其中∠ABC=120°，AB=1，则BC−【答案】1【分析】由菱形的性质结合条件可得△ABD为边长为1等边三角形，由向量减法运算即可得到答案.【详解】四边形ABCD为菱形，其中∠ABC=120°，AB连接BD，所以△ABD为边长为1等边三角形，所以BC故答案为：110．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，则AB−AD【答案】1【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案.【详解】因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD，又因为∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形，即BD=AB.所以AB→故答案为：111．（24-25高一下·上海浦东新·月考）化简AE+EB【答案】AC【分析】根据向量加法运算律计算即可.【详解】AE+故答案为：AC12．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简OP−QP+【答案】OQ【分析】利用平面向量的加法运算求解.【详解】解：OP−=OP=OS=OP=OQ故答案为：OQ13．（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形ABCD中，AD=2AB，M,N分别为AD、BC的中点，在以A,B,C,D,M,N为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量：（1）与AB相等的向量：；（2）BM的负向量：；（3）与AM共线的向量：.【答案】MN、DCMB、DNMA、MD、DM、AD、DA、BN、NB、NC、CN、BC、CB【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可．【详解】（1）与AB相等的向量：MN、（2）BM的负向量：MB、（3）与AM共线的向量：MA、故答案为：①MN、DC②MB、14．（24-25高一上·上海·课后作业