2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第10讲 平面向量的坐标表示 （解析版）

第10讲平面向量的坐标表示内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量基本定理基础概念平面向量基本定理：若、是同一平面内不共线的两个向量.则对该平面内的任意向量.存在唯一一对实数.使得：其中.不共线的称为平面向量的一组基底.重点记忆1.基底的条件：不共线（零向量不能作为基底）；2.表示的唯一性：给定基底后.是唯一的.易错辨析❌错误：“平面内只有一对不共线向量能作为基底”✅正确：平面内有无数组基底（任意不共线的两个向量都可作为基底）.常考结论若与不共线.且.则（“唯一表示”的推论）.知识点2：向量正交分解与坐标表示基础概念1.正交分解：将向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合（通常取轴、轴正方向的单位向量、）.2.坐标表示：若.则向量的坐标为（分别为在轴、轴上的投影）.3.位置向量：起点在原点的向量.其坐标与终点坐标相同；若、.则.概念比较概念区别点的坐标表示点的位置（如）向量的坐标表示向量的大小与方向（如）易错辨析❌错误：“向量的起点一定在原点”✅正确：向量是自由向量.坐标仅由“终点-起点”的坐标差决定（起点不在原点时.坐标仍为）.知识点3：向量线性运算的坐标表示设...则：1.加法：2.减法：3.数乘：重点记忆向量相等的坐标条件：且.常考结论1.中点坐标公式：若是、的中点.则；2.共线向量的坐标条件：（均非零）.知识点4：向量数量积与夹角的坐标表示基础公式1.数量积：2.向量的模：3.夹角公式：设与的夹角为（）.则：4.垂直条件：易错辨析❌错误：“则夹角为锐角”✅正确：时.夹角可能为（同向共线）.需排除共线情况才是锐角；同理.需排除才是钝角.常考结论1.投影公式：在方向上的数量投影为；2.模的运算：（平方展开法）.【题型1基底的概念与辨析】例1．（24-25高一下·上海·月考）下列命题中，正确的命题个数是（

）①若a∥b，则一定存在唯一的实数λ，使得②若a·b=③a·④若a，b可以组成平面向量的一个基，则a+b，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】取b=0分析说明①②，利用向量数量积及向量模的性质判断③，利用向量共线基本定理验证向量【详解】①当b=0时，若a=但此时a=λb对任意实数此时λ不唯一，所以①错误；②当b=0时，a·b=③a·其中cosa④若向量a，b可以组成平面向量的一个基底，则向量a，b不共线，设向量a+b，则存在实数λ，使得a因为向量a，b不共线，所以λ=1λ=−1所以不存在实数λ，所以a+b，所以a+b，故选：A．例2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是▱ABCD两条对角线的交点，下列组合中：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为表示平行四边形ABCD所在平面所有向量的基的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④【答案】B【分析】根据基底的定义判断即可.【详解】①AD→,AB③CA→,DC故所在平面所有向量的基的是①③.故选：B.变式1．（23-24高一下·上海·期末）若e1,eA．e1+e2与e1C．3e1−e2与2【答案】C【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项．【详解】对于A，不存在实数λ，使得e1+e2=λ对于B，不存在实数λ，使得e1+2e2=λ对于C，因为3e1−e2对于D，不存在实数λ，使得e2=λe1+故选：C．变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知e1、e2是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（A．e1与−e2 B．3e1与2e2 C．e【答案】D【分析】由基的定义可判断选项正误.【详解】因e1、e2是平面上的一组基，则e1D选项，e1与2故选：D【题型2用基底表示向量】例1．（24-25高一下·上海·月考）在平行四边形ABCD中，点M，N满足CM=2MD，BN=3NC，若AB=a，AD=b【答案】23【分析】根据向量的线性运算可得.【详解】∵CM=2MD，BN=3CN=所以MN=故答案为：2例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形ABCD中，两条对角线的交点是M，设AB=a,AD=b【答案】−【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简运算，即可求解.【详解】由四边形ABCD为平行四边形且，对角线的交点是M，则MA=−故答案为：−1

变式1．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形ABCD中，DE=2EC，F是BC的中点，记AB=a，AD=b，则EF【答案】1【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解.【详解】依题意，AE=AD+所以EF=故答案为：1变式2．（24-25高一下·上海长宁·期中）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，设a=AB，b=AC，则用a，b【答案】−【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可.【详解】因为E是对角线AC上靠近点C的三等分点，所以AE=则BE=故答案为：−a【题型3平面向量基本定理求参数】例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰△ABC中，A=π2,E,F分别为AB,BC的中点，若BC=λ【答案】−【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，

由题意得，在等腰△ABC中，A=π且E,F分别为AB,BC的中点，则AF=12由平面向量的减法法则可得BC=而λAF则λ2+μ故答案为：−2例2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足DC=2BD，点G在线段AB上，满足3AG=2GB，线段CG(1)用AB和AC表示AD；(2)若AO=tAD，求实数(3)如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设EB=λAE，FC=μAF(λ>0【答案】(1)AD(2)t=(3)9【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算；（2）由（1）得AD=23（3）由题意可得AO=1+λ3AE+【详解】（1）因为DC=2BD，则BD=AD=故AD=（2）由（1）得AD=23AB+13AC，因为由3AG=2GB又因为AO=tAD，所以23t=2综上所述，t=1（3）根据题意AB=同理可得：AC=(1+μ)由（1）可知，AO=所以AO=因为E,O,F三点共线，所以存在实数n，使得EO=n所以AO=所以1−n=1+λ3，n=1+μ所以λμ=1当且仅当2λ=μ=32且即λ=34，故λμ的最大值为98变式1．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点.若DE=λ2AB+2μ【答案】1【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可.【详解】因为E为AO的中点，所以AE=所以DE=又因为DE=所以λ2=1所以λ+μ=1故答案为：18变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若OP=aOP1+bA．a>0，b>0； B．a>0，b<0；C．a<0，b>0； D．a<0，【答案】B【分析】根据向量的加法法则，结合共线即可求解.【详解】由点P落在第Ⅲ部分，所以OP⃗如下示意图，由于OA,OP所以a>0，b<0，故选：B【题型4平面向量的正交分解与坐标表示】例1．（22-23高二上·上海虹口·月考）若向量AB=2i+3j,【答案】3,1【分析】利用向量运算法则进行求解即可.【详解】AC=AB+BC=2故答案为：3,1例2．（24-25高一下·上海·期中）已知AB=1,6，点A−1,−4，则点B【答案】0,2【分析】设Bx,y【详解】设Bx,y，因为A−1,−4，所以又AB=1,6，所以x+1=1y+4=6所以B0,2故答案为：0,2变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形ABCD中，已知A(2,1)、B(−3,2)、C(−1,3)，其对角线交点为M.求：(1)向量AC与BC的坐标；(2)点D与M的坐标.【答案】(1)AC=−3,2，(2)D4,2，【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标.【详解】（1）因为A所以AC⃗BC⃗（2）设Ma,b，因为M为AC中点，A(2,1)、C(−1,3)所以a=2+−12设Dx,y，则AD由▱ABCD得AD=即x−2=2,y−1=1,所以x=4,y=2,即变式2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1+ye2，记OP的斜坐标x,y.则向量a，【答案】19【分析】根据题设有a=−e1【详解】由题设a=−e1+2e所以a+b=故答案为：19【题型5平面向量线性运算的坐标表示】例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量a=−2,1,b【答案】−4,5【分析】根据向量坐标运算求解.【详解】∵a=−2,1∴2a故答案为：−4,5.例2．（24-25高一下·上海·期中）已知A1,2，B3,−4，若AP=3PB，则点A．32,12 B．53,0【答案】D【分析】设点Px,y，由AP=3PB【详解】设点Px,y，由AP=3PB所以x−1=9−3xy−2=−12−3y故选：D.变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量a=3,−2，b=−2,1，c=7,−4，求【答案】λ=1,μ=−2【分析】由c=λ【详解】若c=λa+μ所以7=3λ−2μ−4=−2λ+μ，解得λ=1即λ=1,μ=−2.变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知O为坐标原点，在△ABC中，向量OA=2,3，OB=1,4，且OC=3OA，OD=3OB，OE=2OA+OB．求【答案】C6,9，D3,12，E5,10，C、D【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出OC，OD，OE，即可求出C、D、E三点的坐标，再求出CD，CE，即可判断三点共线.【详解】因为OA=2,3，OC=3OA，则又OB=1,4，OD=3OB，则又OE=2OA+因为CD=3,12−所以CD=3CE，即CD//CE，又直线CD与直线所以C、D、E三点共线.【题型6向量平行垂直的坐标表示】例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量a=x,1，b=x−1,2x，若a【答案】2【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求x，再利用向量模的坐标公式求解即可..【详解】由题，可得a−b=1,1−2x，由∴b=0,2故答案为：2.例2．（25-26高三上·上海·开学考试）已知a=λ,−2，b=1,λ+1，若a【答案】−2【分析】根据平面向量垂直关系的坐标表示求解.【详解】因为a⊥b，所以故λ−2λ+1=0，解得故答案为：−2.变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知k为实数，向量a=(k,−3)，b(1)若a//b，求(2)若a⊥b，求【答案】(1)k=−3或k=6；(2)170【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出；（2）利用a⊥b得到【详解】（1）若a//b，则即k即k=−3或k=6；（2）因为a⊥b，则a⋅所以a−2b=变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量a(1)a+b⊥(2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围：【答案】(1)x=±2(2)x>−2且x≠【分析】（1）根据垂直可得两向量的模的关系，故可求参数的值；（2）根据数量积为正及向量不共线可求参数的范围.【详解】（1）因为a+b⋅a−（2）向量a与向量b的夹角为锐角，故a⋅b>0故x+2>0且2x≠1，故x>−2且x≠1【题型7平面向量数量积的坐标表示】例1．（25-26高三上·上海·期中）已知向量a=3,4，b=1,2，则a在【答案】1155/【分析】应用投影公式结合数量积及模长公式计算求解.【详解】向量a=3,4，则a在b方向上的投影为a→故答案为：115例2．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量a和b满足a=(1,2),b=(−2,0)，则【答案】13【分析】先根据向量数乘和加法的坐标运算求出a+2b的坐标，再根据向量模长公式计算【详解】由a=(1,2),b=(−2,0)根据向量模长公式|a故答案为：13.变式1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量a=12,−3(1)若a∥b，求(2)若a+b=【答案】(1)−(2)15【分析】（1）根据a∥b得到关于θ的方程，结合tanθ=sinθcosθ（2）将等式|a+b|=|b|两边同时平方，通过化简先求解出sinθ−【详解】（1）∵a∥b，∴12×2cos又0<θ<π，∴θ=56（2）∵|a+b|=|b又a=12∴1+2sin∴sinθ−∴2sin∴sinθ−又0<θ<π∴θ−π∴cosθ−∴sinθ+变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量a=(1)若a与b平行，求tanα(2)若a+b与5a【答案】(1)3(2)α=0或2【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解，（2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解.【详解】（1）∵a与b平行，（2）∵a+b与5即5a故3sin即sin由于0≤α<2π，所以π6≤α+π6故α=0或2一、核心知识框架（按逻辑层级）（一）基础前提：平面向量基本定理核心概念：同一平面内.不共线的两个向量、（基底）可唯一表示平面内任意向量（为唯一实数）关键条件：基底需满足“不共线”（零向量不可作为基底）核心性质：表示的唯一性（后续坐标运算的理论基础）（二）核心转化：向量的正交分解与坐标表示正交分解：将向量分解为互相垂直的两个向量（通常取轴、轴正方向单位向量、）坐标定义：若.则（为向量在、轴上的投影）重要推论：位置向量（起点在原点）的坐标=终点坐标；两点向量（、）坐标为概念区分：点的坐标（表示位置）vs向量的坐标（表示大小与方向.与起点无关）（三）核心运算：向量坐标的线性运算已知{.}{.}.运算规则如下：加法：减法：数乘：核心结论：向量相等坐标对应相等（且）（四）进阶应用：数量积与夹角的坐标表示核心公式：数量积：向量的模：（由数量积推导：）夹角公式：（为与的夹角.）垂直条件：衍生公式：投影公式（在方向上的数量投影）：（五）高频拓展：共线与中点相关结论共线向量坐标条件：（均非零）中点坐标公式：若为、中点.则模的运算拓展：（平方展开法.规避夹角直接计算）二、考点分类与备考重点（一）基础必考点（记忆类）平面向量基本定理的表述与基底条件判断向量坐标的定义与的坐标计算线性运算、数量积、模、夹角的核心公式（二）高频计算题（应用类）向量的线性运算（加减、数乘）坐标求解数量积、模长、夹角的计算（直接套用公式.注意计算准确性）利用共线、垂直条件列方程求解参数（如已知求值）（三）易错易混点（辨析类）基底的唯一性误区：平面内有无数组基底.并非唯一向量坐标与起点的关系误区：向量坐标与起点无关.仅由终点-起点坐标差决定夹角判断误区：≠锐角（可能为同向共线）；≠钝角（可能为反向共线）.需排除共线情况共线条件适用误区：需强调均非零.否则恒成立三、记忆口诀与核心要点提炼（一）记忆口诀1.基底条件：不共线.零向量不能算；2.坐标运算：加减看分量.数乘遍乘全；3.数量积：对应相乘加.垂直零为判；4.共线条件：交叉相乘差为零.垂直对应积和零.（二）核心要点提炼“唯一性”是核心：基本定理的唯一表示、坐标的唯一对应.是后续运算的前提“转化思想”是关键：将向量的几何问题（平行、垂直、夹角）转化为代数问题（坐标计算）“公式灵活用”是技巧：模长计算优先平方展开.夹角判断必查共线.参数求解紧扣共线、垂直条件一、单选题1．（25-26高二上·上海·开学考试）设e1, e2是平面向量的一个基．已知非零向量α=x1e1+y1e2, β=x2A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】由e1，e【详解】①根据向量的模的计算公式a=可得α=α2∵e1∴e1，e∴x12e∴命题①错误．②根据向量相等的定义，α=β当且仅当α与即α−β=∵e1∴e1，e∴x1−x2=0且y∴命题②正确．③根据向量平行的定义，若β→=0若β→为非零向量，则α∥β⇔存在的唯一实数即x1e1∵e1,e2是平面向量的一个基，∴∴x1−λx即x1=λx∴x1综上，命题③正确．④根据向量垂直的定义，α⊥β即x1即x1∵e1，e故不一定能得到x1x2∴命题④错误．故选：B．2．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）下列说法中正确的是（）A．已知a→=1,−3,bB．若两非零向量a、b满足a与b共线，则a在b方向上的投影为aC．若两非零向量a、b满足a→+D．平面直角坐标系中，A（1,1）、B（4,2【答案】C【分析】利用平面向量基底的概念可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用平面向量数量积的运算可判断C选项；利用平面向量夹角的数量积表示可判断D选项.【详解】对于A，因为b⃗对于B，两非零向量a、b满足a与b共线，则a在b方向上的投影向量为acos其中e是与b方向相同的单位向量，θ为向量a与b的夹角，当a与b同向时，acos当a与b反向时，acos对于C，因为a+b=所以a2+b2+2对于D，因为BA=−3,−1，BC=故∠ABC为钝角，故D错误.故选：C.3．（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox、Oy构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，e1、e2分别为Ox、Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2，则称有序实数对x,y为向量OP的“广义坐标”，可记作

①x1②a⋅③a∥b的充要条件是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据已知条件及向量的坐标运算即可判断①；利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可判断②；根据已知条件及向量的共线定理即可判断③.【详解】对于①，x1对于②，a⋅故②错误；对于③，对于充分性，若a∥b，当a=0时，即若a≠0，必存在唯一实数λ，使得b=λ所以x2=λx1y对于必要性，若x1y2−x当a≠0，不妨设x1b=所以a∥所以a∥b的充要条件是故选：C二、填空题4．（24-25高一下·上海·期末）已知向量AB=2,2，AC=−1,k−3，若A，B，C【答案】2【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可.【详解】因为A，B，C三点共线，所以AB//又AB=2,2，AC=−1,k−3，所以故答案为：2.5．（22-23高一下·上海黄浦·月考）已知A−3,4，B5,−2，则向量AB【答案】8,−6【分析】根据向量减法的坐标运算及其几何意义，即可得出答案.【详解】由已知可得，AB=故答案为：8,−6.6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量OA=−2,3,OB=1,−1，则【答案】−【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】因为OA=所以OA在OB方向上的投影向量为OA⋅故答案为：−57．（2025·上海杨浦·一模）已知向量a=2,3，b=3,x，且a【答案】−2【分析】由向量垂直坐标表示可得答案.【详解】因a⊥b，则故答案为：−28．（2025·上海长宁·一模）设a=2,3,b=1,0，则向量【答案】2,0【分析】先利用坐标计算a⋅b，b，再利用公式【详解】因a=2,3,b=则向量a在b方向上的投影向量的坐标为a⋅故答案为：2,09．（24-25高一下·上海·期末）若M3,−2,N4,4，且MP=−1【答案】(2,−8)【分析】设点P(x,y)，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得.【详解】设点P(x,y)，则由MP=−12故有x−3=−12(4−x)即P点的坐标为(2,−8).故答案为：(2,−8).10．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量a=(sinθ,1),b=(cos【答案】3【分析】由题意得a,b共线，推得【详解】由题意可知，a//b，因a=(解得tanθ=33故答案为：3.11．（2023·上海崇明·三模）已知a=3,4，b=cosα,sinα，且【答案】43/【分析】由向量平行的坐标关系可得结果.【详解】由a与b平行，可得3sinα=4cos故答案为：4312．（25-26高二上·上海嘉定·月考）△ABC中，D为AB边中点，CE=13CD,AB【答案】2【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.【详解】

由已知，AE=5故答案为：2313．（25-26高三上·辽宁大连·期中）设m，n是两个不共线的向量，且a=m+n，b=m−n【答案】5【分析】将a=m+n，【详解】c=xa+yb，代入a=又c=2m−4n，所以所以x+2y=−1+6=5.故答案为：5.14．（25-26高三上·上海·月考）若a=1,2，b=m,−1，a与b的夹角是钝角，那么实数【答案】m<2且m≠−【分析】根据a与b的夹角为钝角可得a⃗⋅b⃗<0【详解】由于a与b的夹角是钝角，则a⃗⋅b⃗<0由a⋅b=m−2<0由a与b共线，可得2m=−1，即m=−1故实数m的取值范围是m<2且m≠−1故答案为：m<2且m≠−1三、解答题15．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量a=(1)若a与b的夹角为π3，求实数m(2)若实数m=2，向量a+λb与a所成的角是锐角，求实数【答案】(1)1(2)(−4,0)∪(0,+【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解m的值；（2）先求出a+λb的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定【详解】（1）因为a=−1,3所以a⋅b=−m+3=2⋅m（2）由条件，(a+λb)⋅a当m=2时，a+λ(2λ−1)⋅(−1)+3(3若a+λb//a，则所以λ的取值范围是(−4,0)∪(0,+∞16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B、C三点的坐标分别为0,1、1,2、3,4，求AB、BC、AC的坐标，并证明A、B、C三点共线．【答案】AB=1,1，BC=【分析】根据平面向量的坐标表示表示出AB、BC、AC，再由BC=2【详解】因为A0,1、B1,2、所以AB=1,2−0,1=因为BC=2AB，所以BC//AB，又直线BC与直线所以A、B、C三点共线.17．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知平面直角坐标系内，向