2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破05“四心”的向量表示与奔驰定理+等和线 （解析版）

重难点突破05“四心”的向量表示与奔驰定理+等和线内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：必备核心知识1.三角形四心的定义与向量表达（1）重心（G）定义：三角形三条中线的交点，也是重心（质量均匀时的受力中心）核心向量性质：（充要条件）；（O为平面内任意点）坐标性质：若、、，则比例性质：重心分中线比为（，D为BC中点）；重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍（2）外心（O）定义：三角形三条垂直平分线的交点，也是外接圆圆心核心向量性质：（R为外接圆半径，充要条件）；（垂直平分线性质）坐标性质：外心是垂直平分线的交点，可通过求两条垂直平分线方程联立求解特殊三角形：直角三角形外心在斜边中点，锐角三角形外心在三角形内，钝角三角形外心在三角形外（3）内心（I）定义：三角形三条角平分线的交点，也是内切圆圆心核心向量性质：（a、b、c分别为BC、AC、AB的边长，充要条件）；坐标性质：（加权平均坐标）比例性质：内心到三边距离相等（等于内切圆半径r）；角平分线分对边比为邻边比（，D为BC上的内心投影）（4）垂心（H）定义：三角形三条高线的交点核心向量性质：、、（高线垂直性质，充要条件）；（欧拉公式推论，O为外心）特殊三角形：直角三角形垂心在直角顶点，锐角三角形垂心在三角形内，钝角三角形垂心在三角形外欧拉关系：欧拉公式，锐角三角形中在内部，在内部，在上且2.奔驰定理（面积与向量关系）核心公式：对于平面内任意一点P，若A、B、C不共线，则（点P在内部）拓展公式（点P在外部）：对应区域面积取负，即（具体符号由P所在区域决定）简化应用：若P为特殊点（四心），可直接代入得四心的向量性质（如重心时，即得）3.等和线定理（向量系数和问题）定义：在平面内，若（、为不共线基底），则所有满足（k为常数）的点P都在过点O且与平行的直线上，该直线称为“等和线”核心结论：当等和线过O点时，，此时P与O重合，当等和线过A点时，，此时，当等和线过B点时，，此时，等和线与平行，且k的值与等和线到O点的距离成正比（k越大，距离越远，同向时k为正，反向时k为负）知识点2：必备实用解法1.四心问题解题方法（1）重心问题：坐标法+向量分点法步骤：①若已知三点坐标，直接用重心坐标公式求解；②若已知向量关系，利用转化为目标向量；③涉及中线比例时，用分点公式（D为BC中点）名师技巧：强调“重心问题优先建系”，通过坐标将向量问题转化为代数计算，降低抽象性（2）外心问题：垂直向量法+距离公式法步骤：①利用垂直平分线性质，列向量垂直方程（如）；②若已知边长，用距离公式列方程；③直角三角形直接用斜边中点为外心的性质快速求解技巧总结“外心问题关键抓垂直与等距”，优先处理特殊三角形（直角、等腰）（3）内心问题：角平分线定理+加权向量法步骤：①已知边长时，用角平分线定理求分点比例，再用向量分解；②涉及内切圆半径时，结合面积公式（p为半周长）关联向量条件；③建系时用内心坐标公式直接代入计算名师技巧：推荐“内心问题用加权向量快速定位”，避免复杂的角平分线方程求解（4）垂心问题：垂直向量点积法+欧拉公式法步骤：①核心是利用，将高线转化为向量点积为0的条件；②已知外心时，用欧拉公式快速关联垂心与外心；③直角三角形直接用直角顶点为垂心的性质技巧总结“垂心问题优先找垂直向量”，避免直接求高线方程的繁琐计算2.奔驰定理解题方法步骤：①判断点P与的位置关系（内部/外部），确定面积符号；②将已知向量关系与奔驰定理公式对比，建立面积比例关系；③利用面积比例求解未知量（如点的坐标、向量系数）名师技巧强调“奔驰定理是面积与向量的桥梁”，遇到三角形内点的向量系数问题，优先想到奔驰定理，可快速简化计算简化应用：若已知，则3.等和线定理解题方法步骤：①确定基底、（不共线），将目标向量表示为的形式；②找到对应的等和线，分析等和线的平移方向（同向/反向）；③根据图形边界条件（如点P在某线段上），确定k的最值或取值范围名师技巧：总结“等和线解题三步骤：定基底、找等和线、求k范围”，遇到向量系数和问题，直接用等和线平移法，无需复杂代数运算拓展技巧：若基底不是从O点出发，先将向量转化为共起点基底（如，可转化为，此时，等和线对应）知识点3：常见实际误区1.四心向量表达式混淆误区：将重心的与内心的混淆，忽略内心表达式中的边长权重；将垂心的错记为规避：结合定义记忆，重心是平均向量（无权重），内心是加权平均（权重为边长），垂心是高线垂直（对应边的向量点积为0）；用特殊三角形验证（如等边三角形四心重合，代入表达式验证）2.奔驰定理符号错误误区：忽略点P的位置（内部/外部），统一用正面积代入公式，导致结果错误；将奔驰定理中的面积比例与向量系数比例搞反规避：先画图判断P在内部还是外部，内部所有面积为正，外部对应区域面积为负；牢记“向量系数比等于对应面积比”（）3.等和线基底与方向错误误区：等和线定理应用时，基底不共起点仍直接套用公式；混淆等和线的k值符号（同向为正，反向为负）；忽略点P的边界限制，导致k范围求解错误规避：应用等和线前，务必将向量转化为共起点基底；通过图形判断等和线与基底的方向关系，确定k的符号；结合题目中“点P在某线段上”“在某三角形内”等条件，确定等和线的平移边界4.特殊三角形四心性质误用误区：将直角三角形的外心（斜边中点）错记为直角顶点；将钝角三角形的外心、垂心当成在三角形内部；忽略等边三角形四心重合的性质，进行复杂计算规避：牢记特殊三角形四心位置：直角三角形外心在斜边中点、垂心在直角顶点；锐角三角形四心均在内部；钝角三角形外心和垂心在外部；等边三角形四心重合，可直接用重心性质求解5.向量点积与垂直关系混淆误区：在垂心问题中，将错写为；忽略向量点积为0是垂直的充要条件，仅用几何直观判断垂直，导致漏解规避：明确“高线垂直”是顶点与对边的垂直，对应向量是“顶点到垂心的向量”与“对边向量”的点积为0；所有垂直关系均需转化为向量点积为0的代数条件，避免几何直观的误差【题型1重心】例1．在△ABC中，边BC长为4，D为BC的中点，AD长为22，点G、O分别为△ABC的重心和外心，则AG⋅【答案】4【分析】利用重心性质表示出AG=【详解】因为G为重心，则有AG=又O为外心，故AO在AB方向上的投影向量为12AB，且AO在AC方向上的投影向量为根据数量积的几何意义得AO故AG⋅又因为2AD=AB故AB2+AC故答案为：4例2．已知△ABC所在平面内的动点M满足AM⃗=xAC⃗+yAB⃗，且实数x，y形成的向量a=x−A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】利用向量共线的坐标公式通过a=x−12,y与b=−1,2向量共线，经过整理得到y=1−2x，将其代入AM=xAC+yAB，经过整理得到，AM−AB=x【详解】a=x−12,y即2x+y=1，解得y=1−2x，将y=1−2x代入AM=xAC+y即AM−AB=x取AC的中点E，则有BC+故BM=2xBE，所以动点M的轨迹必经过故选：D.变式1．已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+λAB+AC，则点A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断.【详解】由OP=OA+λ设△ABC边BC的中点为D，则AD=所以AP=2λAD，因此所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心.故选：C.变式2．已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足5OP=2+λOA+A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．△ABC的外心【答案】C【分析】取AB中点为D，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断.【详解】先设AB的中点为D，则2OD

又因为5OP而4+2λ+由三点共线的充要条件知P,C,D三点共线，则点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选：C．【题型2外心】例1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC+2ccosB=a2，acosC+3A．−233 B．233 【答案】C【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可.【详解】∵2bcos得2sin即2sin而sinA≠0，所以a=2∵acos由正弦定理，得sinA∴3sinAsin∴3sinA−cos因为A∈0,π，所以A−π设△ABC的外接圆半径为R，则2R=a∴R=233∴OB⃗故选：C例2．设O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+λABABcosBA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】根据数量积的运算可得AP⋅BC=0【详解】OP⃗则OP⋅BC−故AP⊥BC，即点P的轨迹经过△ABC的垂心.故选：D变式1．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP，且A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】取AB中点D，根据条件化简得AB⊥PD，所以点P在AB中垂线上，所以PA=PB=PC，所以【详解】

如图，取AB中点D，∴CB∵AB⋅(∴AB∴2AB∴2AB∴AB⊥PD，∴点P在AB中垂线上.∴AP⃗=所以AP∴P为△ABC的外心.故选：A.变式2．已知O为△ABC所在平面内一点，若aOA+bOB+cOC=0，其中内角A,B,C的对边分别为a,b,cA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用OB=OA+AB，【详解】因为OB=OA+所以a+b+cOA所以AO=又因为AB=ce1，AC=be2，其中（*）式可进一步化为AO=而e1+e所以AO平分∠BAC．同理，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O是△ABC的内心，故选：B．【题型3内心】例1．已知A,B,C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP=13[(1−λ)OA+(1−λ)OBA．△ABC的内心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．△ABC的外心【答案】C【分析】本题可通过向量的线性运算，将OP→的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点P【详解】设AB的中点为D，则2OD∵OP→∴OP→而2(1−λ)3∴P,C,D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心，故选：C.例2．已知点O为△ABC所在平面内一点，若AC2−AB2=2AO⋅A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】B【分析】M为BC的中点，由AC2−AB2=2AO⋅【详解】点O为△ABC所在平面内一点，若AC2设M为BC的中点，AC2则有AO−AM⋅所以动点O在线段BC的中垂线上，则点O的轨迹必通过△ABC的外心.故选：B变式1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为△ABC的内心，若acosB−bcosA=c−b，且AI=A．33 B．3 C．3−3 【答案】D【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到sinB=2sinBcosA，求得cosA=12，得到A的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得【详解】因为acosB−bcos又因为sinC=可得sinB=2sinB因为A∈(0,π)，所以如图所示，设S△BIC=S1,S△AIC则BDCD所以BCCD=S过点D作DE//IC,DF//IB，则ID又由IDIA=S所以−S1S即S1因为I为△ABC的外心，设△ABC的内切圆的半径为r，可得12可得BC⋅IA+又因为AI=33IB+λ由正弦定理得sinA:又因为A=π3，可得sinB=12，因为B∈(0,π)所以sinAsinC=3故选：D.变式2．已知点O是△ABC内任意一点，AC=b，AB=c且OD=OA+λbb+cAB+A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心【答案】A【分析】设AE=bb+cAB+cb+cAC，分析得到AE是【详解】因为OD=所以AD=λ设AE=因为bb+c+cb+c=1，所以点E由角平分线的性质得AE是∠A的角平分线，而AD=λAE，所以点D的轨迹经过故选：A．【题型4垂心】例1．在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内的一点，A．若P为△ABC的重心，则x+y=12 B．若P为△ABCC．若P为△ABC的垂心，则x+y=716 D．若P为△ABC【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用PB⋅【详解】在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为△ABC内的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,4)，B(−3,对于选项A：若P为△ABC的重心，则x0=0−3+33=0所以AP=若AP=xAB+y解得x=y=13，所以对于选项B：若P为△ABC的外心，其必在直线AO上，所以PB⋅对于选项C：若P为△ABC的垂心，其必在AO上，设P(0,m)，则CP⋅AB=此时AP=若AP=xAB+y解得x=y=732，所以对于选项D：若P为△ABC的内心，设内切圆半径为r，则12×6×4=12×r×此时AP=若AP=xAB+y解得x=y=516，所以故选：A.例2．在△ABC中，AB=AC，点O为△ABC的垂心，且满足AO=xAB+yAC，cos∠BAC=A．−12 B．－1 C．14【答案】D【分析】一方面：根据已知得出AC=3【详解】由题意可知△ABC是以A为顶角的等腰三角形，如图所示：AD⊥BC，BE⊥AC，则AD∩BE=O，在直角三角形△ABE中，cos∠BAC=AEAB设AO=λ则λ1AO=所以x+3y=4x=2x+y=1，所以故选：D.变式1．已知H是△ABC的垂心，满足AH=14AB+1【答案】−【分析】由向量的线性运算，可得AH=HB+2【详解】由AH=14化简得AH=HB+2−AH2=故答案为：−1【题型5奔驰定理】例1．在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC⋅OA+S△OAC⋅OB+S△OAB⋅OC=0即称为经典的“奔驰定理”，若△ABCA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=12a⋅h2，S△OAC故选：B例2．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA⃗+SB⋅

A．−63 B．−66 C．【答案】B【分析】根据SA⋅MA⃗+SB⋅MB⃗+SC⋅MC【详解】

如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E.由M为△ABC的垂心，3MA⃗+4得SA:S又S△ABC=SA+SB设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到SA:S变式1．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S1、S2、S3，则S1⋅OA+S2⋅OB+SA．23 B．13 C．23【答案】A【分析】由O是垂心，可得tanA⋅OA+tanB⋅【详解】∵O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，∴S=tan同理可得S1:S3=又S1∴tanA⋅又OA+2⋅∴tanA:不妨设tanA=k，tan∵tanA=∴k=−2k+4k1−2k⋅4k，解得k=7当k=−78时，此时tanA<0，tan故k=78，则tanB=278于是sinBcosB故选：A.变式2．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA、SB、SC，则有SAOA+SBOB+SCOC=0

A．若OA+OB+OC=B．若OA+2OBC．若O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则tanD．若OA=OB=2，∠AOB=5【答案】D【分析】对于A，假设D为AB的中点，连接OD，由已知得O在中线CD上，同理可得O在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，由垂心的性质、向量数量积的运算律OB⋅AC=OB⋅OC−OB⋅【详解】对于A：如下图所示，

假设D为AB的中点，连接OD，则OA+OB=2OD=CO同理可得O在另外两边BC,AC的中线上，故O为△ABC的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA则有SA若OA+2OB+3对于C：由四边形内角和可知，∠BOC+∠BAC=π，则OB同理，OB·因为O为△ABC的垂心，则OB⋅所以OCcos∠BAC=OAcos∠BCA则OA:令OA=m由SA=1同理：SB=1综上，SA根据奔驰定理得tan∠BAC⋅对于D：由|OA|=|OB又2OA+3由SC=1可得，所以S△ABC故选：D.【点睛】关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.【题型6等和线】例1．已知ΔABC的一内角A=π3，O为ΔABC所在平面上一点，满足OA=OBA．23 B．1 C．43 【答案】A【详解】解：由题意可知，O为ΔABC外接圆的圆心，如图所示，在圆O中，劣弧BC所对的圆心角为π3，点B，C为定点，点A为优弧BC则点A,B,C,O满足题中的已知条件，延长AO交BC于点D，设AO=λAD，由题意可知：由于B,C,D三点共线，据此可得：mλ则m+n=λ，则m+n的最大值即λ=|由于|AO|为定值，故|AD因为AD=AO+OD，所以当OD⊥BC时，此时AB=AC，ΔABC为等边三角形所以λ=|故选A．【点睛】本题主要考查向量基本定理的应用，利用三点关系，得到mλ例2．已知在Rt△ABC中，A=π2，AB=3，AC=4，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设AQA．1312 B．1512 C．1712【答案】C【详解】如图:

设AQ或AQ的延长线交BC于D,过Q作QC1//BC交AC或AC的延长线于过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于B0,与AC的延长线交于C过A作AQ0⊥B0C0,垂足为Q0,交BC于K，此时圆P的圆心为P0,BC=5,AK=125所以x+y=AQ当Q在BC的下方时,x+y<1;当Q在BC上时,x+y=1,当Q在BC的上方时,x+y>1,根据平面几何知识,可知当Q为Q0、D为K时，AQ所以：x+y的最大值为：AQ故选：C．【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.变式1．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AD=CD=12AB，若P为△ABC三条边上的一个动点，且AP①满足m=12的点②满足m+n=1的点P有且只有1个；③能使m+n取最大值的点P有且只有1个；④能使2m+n取最大值的点P有无数个.【答案】③④【详解】解：当P在边BC上时，如图，取AB中点O，连接OC，则OC⊥AB设BP=λBC，∴=1−∴m=1−∴m+n=1+λ2当P在边AB上时，n=0，m+n∈0,1，当P在边AC上时，设AP=λAC，∴AP∴m=λ∴m+n=3λ2∈0,①当m=12时，n=1，此时点P就是点C；或n=0，此时点P在②当m+n=1时，有m=1,n=0或m=13,n=③m+n的最大值为m+n=32，此时m=1④2m+n的最大值为2m+n=2，当P在边BC上时，恒有2m+n=2，这样的点P有无数个，故正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查了向量的线性运算，及分类讨论思想，是一道难度较大的题目.一、三角形四心核心心类型定义核心向量式关键性质重心（G）中线交点；坐标为三点平均；分中线比外心（O）垂直平分线交点直角三角形外心在斜边中点内心（I）角平分线交点坐标为边长加权平均；到三边距离相等垂心（H）高线交点（同理）欧拉公式：二、奔驰定理核心核心公式（P在内）：应用：向量系数比=对应面积比三、等和线定理核心定义：中，对应与平行的直线核心结论：：过O点；：过A/B点与等和线到O的距离成正比四、解题方法精髓1.四心：重心用坐标法；外心抓等距/垂直；内心用加权向量；垂心抓点积为02.奔驰定理：向量系数→面积比3.等和线：定基底→找等和线→求k范围五、记忆要点四心向量式勿混淆（内心带边长权重）奔驰定理注意P的位置（内外面积符号）等和线需共起点基底一、单选题1．点P是锐角△ABC内一点，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．点P是△ABC的垂心 B．点P是△ABC的重心C．点P是△ABC的外心 D．点P是△ABC的内心【答案】B【分析】由已知判断点P在直线AD上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.【详解】记BC的中点为D，则AP=λ(所以，点P在直线AD上.A选项：若点P是△ABC的垂心，则AD⊥BC，所以AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，A正确；B选项：若点P是△ABC的重心，则点P在BC边的中线上，无法推出AD⊥BC，B错误；C选项：若点P是△ABC的外心，则点P在BC边的中垂线上，所以AD⊥BC，所以△ABC为等腰三角形，C正确；D选项：若点P是△ABC的内心，则AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，又S△ABD=S故AB=AC，D正确.故选：B2．若O，M，N在△ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|,MA⋅MB=MBA．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心【答案】D【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：因为|OA所以OA＝所以O为△ABC的外心；因为MA⋅所以MB⋅（MA即MB⋅CA＝0，所以MB⊥同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，所以M为△ABC的垂心；因为NA+所以NA+设AB的中点D，则NA+所以−NC=2所以C，N，D三点共线，即N为△ABC的中线CD上的点，且NC=2ND，所以N为△ABC的重心．故选：D．3．已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2AB⋅AO=AB2，A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】B【分析】由2AB⋅AO=AB2，利用数量积的定义得到AO⋅cosAB【详解】解：根据题意，2AB⋅AO所以AO⋅cosAB,AO=1所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心．故选：B．4．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，O为△ABC的外心，且有c+a=233b，ccosA−3+acosA．1 B．-2 C．0 D．−【答案】A【分析】根据已知，利用正弦定理、余弦定理、圆的性质以及向量的运算进行计算求解.【详解】由题可知，ccosA−所以sinCcosA+因为A+B+C=π，所以sinB=3又c+a=233b，所以因为B∈0,π，所以B∈2π3，因为因为O为△ABC的外心，取AC中点D，所以BD⊥AC，根据圆的性质可知，直线BD过点O,如图，在△ABC中可知，BD=33AD，又正弦定理有：2OB=所以OB=2BD，所以OB与AC相互平分，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AO=BC=AC−故选：A.5．已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=6，AO=16AB+A．5 B．53 C．6 D．【答案】D【分析】根据外心求出AO⋅AC，利用条件得出【详解】设AC的中点为D，由O为△ABC的外心可得，OD⊥AC，AO⋅又AO⋅AC=(所以AB⋅又AB⋅AC=故sin∠BAC=则△ABC的面积为12故选：D.6．已知O为△ABC所在平面内一点，动点H满足：OH=OA+λABAB2sin2B+A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项.【详解】AB2sin2B=2由正弦定理得ABsinC令ABsin因为OH=所以OH所以AH=等式两边点乘BC得AH⋅BC=所以点H的轨迹一定过△ABC的垂心，故选：D．7．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足aPA+bPB+cPCA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】由题可得AP=bca+b+cABAB+ACAC，可得点P在∠BAC的角平分线上，同理点P【详解】因为aPA⇒aPA⇒a+b+c⇒AP=1a+b+c所以点P在∠BAC的角平分线上.同理可得：点P在∠ABC的角平分线上.所以点P为△ABC的内心.故选：B二、填空题8．下列叙述正确的是.①PG=13(PA+PB②PA⋅PB=③ABPC+BC④(OA+OB)⋅AB=(OB【答案】（1），（2）【详解】试题分析：①PG=13(PA+PB+PC)⇔G为ΔABC的重心，特别地②PA⋅PB=PB⋅PC=③|AB|PC+|BC|PA+|CA④(⇔|OA|=|OB|=|OC考点：平面向量基本定理及三角形性质9．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP，且【答案】外心【分析】首先取AB中点D，连接CD，根据向量的运算得到P线段AB的中垂线上，根据AP=CP，得到P线段【详解】取AB中点D，连接CD，如图所示：所以AB⇒AB⋅CD−CP又因为AP=CP，所以点P在线段所以P为△ABC的外心.故答案为：外心10．已知点O为△ABC所在平面内一点，若AC2−AB2=2AO⋅【答案】外心【分析】M为BC的中点，由AC2−AB2=2AO⋅【详解】点O为△ABC所在平面内一点，若AC2设M为BC的中点，AC⃗则有AO−AM⋅所以动点O在线段BC的中垂线上，则点O的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：外心11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=27【答案】6【分析】根据诱导公式，正弦定理及半角公式可得出B=π3，再根据向量数量积公式得到AB=4【详解】因为sinA+C2=acosB2=bsincosB2=sinB=2sinB2cos因为AO⋅所以AB=4．在△ABC中余弦定理得，b所以a=6．所以△ABC的面积为S=1故答案为：612．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=5，AC=4，则下列各式正确的有．①AG⋅BC=−3③OH=OA+【答案】①③④【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.【详解】对于①，△ABC重心为G，有AG=故AG⋅对于②，△ABC外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有AO⋅AB∴AO⋅对于③，由欧拉线定理得2OG=GH，即OH故OA+OB+OC=(OG+GA对于④，由OH=3OG得MH−所以AB+故答案为：①③④.13．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，AB=4，AC=2，则下列各式中正确的序号是．①2GO+GH=0

②AG⋅【答案】①③④【分析】根据欧拉线定理可判断①；利用向量的加、减运算可判断②；利用向量的数量积可判断③；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断④．【详解】解：对于①，由题意得GO=−12对于②，由G是△ABC的重心，设M为BC中点，可得AG=所以AG⋅对于③，过△ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，如图，易知D，E分别是AB，AC的中点，则AO=|=|AE对于④，因为G为△ABC的重心，所以GA+故OA+所以由欧拉线定理可得OH=3所以OH=故答案为：①③④．14．点G是△ABC的重心，点M，N分别在边AB和AC上，且满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1.若AM=λAB，△AMN与△ABC【答案】34或3【分析】由题意得AG=13AB+13AC，然后分别用【详解】因为AG=xAM+yAN且G是△ABC的重心，则AG=S△AMN由AM=λAB得AMAB=λ，所以AG=所以13λ+20λ27=1故答案为：34或315．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b=2，cos2A=cosB+C，点P是△ABC的重心，且AP=2【答案】2【分析】根据条件，利用倍角公式及诱导公式，得到cosA=12，从而有A=π3，延长AP交BC于E【详解】因为cos2A=cosB+C，则2解得cosA=12或cosA=−1，又又点P是△ABC的重心，且AP=273，如图，延长AP交BC于E，则E为BC又AE=12所以7=14c在△ABC中，由余弦定理a2=b解得a=23

故答案为：2316．如图，正△ABC与正△A1B1C1组成“六芒星”，O为“六芒星”的中心，P为“六芒星”上一点（边界上），且【答案】−5,5【分析】作出辅助线，得到x+y=1，结合图形确定x+y取最值的点P的位置，根据平行关系求出OA:ON，从而求出结果.【详解】连结C1D,AA1，并记它们的交点为N，记由等和线知当点P在直线C1D上时，有作一系列与C1D平行的直线与“六芒星”相交，记任意与C1D平行的直线与线段AA1相交于点Q，则x+y的绝对值为OQ与ON长度