2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破06 平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式 （原卷版）

重难点突破06平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：与模有关的数量积最值问题一、必备知识1.数量积核心公式：（为与的夹角，）2.模的核心性质：；（三角不等式）3.最值关联逻辑：当、为定值时，的最值由最值决定；当夹角固定时，最值由模的取值范围决定二、必备解法1.定模定角型：直接代入数量积公式，利用求最值.例：若，，则的最大值为，最小值为2.定模变角型：抓住模为定值的条件，分析夹角的取值范围，再求的最值，代入公式计算.关键是通过图形或题意确定的边界3.变模定角型：根据题意确定模的取值范围（如），结合固定夹角，将转化为关于模的一次或二次函数，利用函数单调性求最值4.模长约束型：若存在（定值），可平方展开得，结合已知模的条件求解的范围三、常见误区1.忽略夹角的取值范围，直接用求最值，导致结果偏差.例：两向量夹角实际仅为，却错误代入计算最小值2.误用三角不等式，未注意“同向”“反向”的取等条件，导致模的范围判断错误3.忘记的转化技巧，面对模长平方类条件时无从下手知识点2：与夹角有关的数量积最值问题一、必备知识1.夹角公式变形：，，且在上单调递减2.数量积与夹角的关联：；；3.最值逻辑：夹角最值对应最值，进而转化为数量积的最值；反之，数量积的范围可通过夹角公式反推夹角范围二、必备解法1.已知夹角范围求数量积最值：由得（因单调递减），结合、的定值或范围，代入数量积公式求最值2.已知数量积范围求夹角最值：先确定的范围，即的范围，再利用的单调性反求的最值3.含变量夹角的最值问题：设夹角为变量，将表示为的函数（），结合的实际约束范围（如几何图形中角的限制），利用三角函数单调性求最值三、常见误区1.混淆的单调性，错误认为增大时增大，导致夹角与数量积的对应关系颠倒2.忽略（同向）和（反向）时的特殊情况，未验证这两个边界的数量积是否为最值3.计算时，遗漏或的计算，直接用数量积代替，导致夹角范围判断错误知识点3：基底法求解数量积的最值问题一、必备知识1.基底定义：选平面内两个不共线的向量、作为基底，平面内任意向量均可表示为（、为实数）2.基底法核心：将所求数量积的两个向量均用基底表示，再利用数量积运算律展开，转化为关于基底数量积和系数的表达式3.运算律支撑：；二、必备解法1.步骤1：选基底.优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等腰三角形的两腰、矩形的邻边等2.步骤2：分解向量.将所求数量积的两个向量、分别用基底、表示，即，3.步骤3：展开运算.计算4.步骤4：求最值.若展开后含变量（如动点对应的系数），将表达式转化为关于变量的函数（一次、二次函数或三角函数），结合变量范围求最值三、常见误区1.基底选择不当，选了共线向量或模长、夹角未知的向量，导致后续运算无法推进2.向量分解错误，遗漏系数或分解形式错误（如将错误表示为，实际应为）3.展开数量积时，误用运算律，如错误认为，忽略的含角项知识点4：坐标法求解数量积的最值问题一、必备知识1.坐标运算公式：若，，则；2.坐标法核心：建立合适的平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，把数量积问题转化为代数运算问题（函数最值、不等式求解等）3.建系原则：优先让更多向量的坐标简化（如让定点在坐标轴上、对称中心在原点等）二、必备解法1.步骤1：建坐标系.根据题意选择合适的坐标原点和坐标轴，常见技巧：①固定点（如线段端点、顶点）放在原点；②对称图形以对称轴为坐标轴；③水平、竖直方向为坐标轴2.步骤2：求坐标.确定所有相关点的坐标，进而写出对应向量的坐标（动点坐标用变量表示，如、）3.步骤3：算数量积.代入坐标运算公式，将表示为关于变量的代数函数（如）4.步骤4：求最值.结合变量的取值范围（由几何图形或题意确定，如动点在线段上则坐标满足线性约束），利用函数单调性、二次函数配方法或不等式（如基本不等式）求最值三、常见误区1.坐标系建立不合理，导致向量坐标复杂，增加运算量且易出错2.动点坐标的变量范围确定错误，如动点在圆上却未考虑圆的方程约束，导致函数定义域偏差3.计算数量积时，混淆坐标运算公式，错误写成（与向量叉乘混淆）知识点5：平面向量系数的最值问题一、必备知识1.核心模型：已知（、为系数，、为已知向量），结合的约束条件（如模长范围、与某向量垂直等），求、的最值或、的最值2.关联工具：基底法、坐标法、不等式（基本不等式、柯西不等式）、函数思想3.线性约束逻辑：若、不共线，中、唯一确定，约束条件可转化为关于、的方程或不等式二、必备解法1.基底法转化：将代入约束条件（如），展开后得到关于、的方程（如二次方程），结合几何意义（如圆上点的坐标范围）求系数最值2.坐标法转化：建立坐标系，将、、转化为坐标，得到的坐标与、的关系式，结合约束条件列出、的不等式组，用线性规划或函数思想求最值3.不等式法求解：若已知、、，可利用柯西不等式或基本不等式求系数和或积的最值4.几何意义法：将、看作平面内的点，约束条件转化为点的轨迹（直线、圆、线段等），系数最值对应轨迹上点的横纵坐标或其组合的最值三、常见误区1.未明确、是否共线，直接套用唯一分解定理，导致系数关系错误（共线时、不唯一）2.使用基本不等式或柯西不等式时，忽略等号成立的条件，导致最值无法取到知识点6：数量积中的极化恒等式与最值问题一、必备知识1.极化恒等式核心公式：①平面内任意向量、，有；②若为线段的中点，则（三角形极化恒等式，为平面内任意点）2.适用场景：涉及“向量数量积”与“中点”“线段长度”相关的最值问题，尤其适合解决动点到两定点的数量积最值3.几何意义：的最值等价于的最值（因为定值），即动点到中点的距离最值二、必备解法1.通用型极化恒等式用法：当已知或的范围时，代入，将数量积转化为两个模长平方的差，再结合模长范围求最值2.三角形型极化恒等式用法（核心）：①确定定点、，取中点，计算（定值）；②将转化为；③分析动点的轨迹，求的最值（最大值、最小值）；④代入转化式求的最值3.特殊场景技巧：若动点在圆上，为定点，则的最值为圆心到的距离加减圆的半径；若动点在线段上，则的最值为到线段两端点的距离三、常见误区1.误用极化恒等式，将三角形型公式错误记为，符号颠倒导致结果错误2.未正确识别适用场景，对不涉及“中点”“两定点”的数量积问题强行使用极化恒等式，增加解题难度3.求最值时，忽略动点的轨迹约束（如仅在某条线段或圆弧上），错误取到轨迹外的距离值4.忘记极化恒等式的推导前提（平面内任意向量），在空间向量中错误套用公式【题型1与模有关的数量积最值】例1．a,b,c起点重合，a例2．平面向量a,b满足a=1,b=A．1 B．33 C．12 变式1．已知OA=OB=3，AB=32，点C4,2，A．53 B．253 C．5变式2．在平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|=2，|AB|=2A．16,20 B．16,22 C．18,22 D．[8,12]【题型2与夹角有关的数量积最值】例1．两个非零向量a，b，满足a+b=2a−b，则向量例2．已知a,b均为单位向量，且|a+2b|<|3aA．0,2π3 B．2π3,变式1．P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量AP=xAB+yAC，且1≤x≤2，1≤y≤2.设向量AP与AB的夹角为α，则A．64 B．63 C．57变式2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知平面向量a、b，满足a=1，b=2，若对任意模为2的平面向量c，均有a⋅c+b⋅A．0,π3 B．π3,2π【题型3基底法求数量积的最值】例1．已知△ABC满足AB=3，BC=6，∠ABC=60°，M，N为直线BC上的动点，且S△AMN=33，则AM例2．在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=π3，E为边CD上的动点（包括端点），F为BC的中点，则AE⋅A．12,1 B．0,12 C．变式1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,∠DAB=120°,|AB|=4,|AD|=2，其中点M在线段OB上且满足AM⋅CM=−209变式2．在△ABC中，AC=3,∠BAC=π3,AC⋅BC=3，则AB=；若BD=【题型4坐标法求数量积的最值】例1．（2025·上海闵行·一模）若点P是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则PA⋅BC例2．在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM⋅BC=0，则变式1．如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则EM⋅变式2．（24-25高三上·上海·月考）已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则AB⋅AM的最小值为【题型5平面向量系数的最值】例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且AP=λAB，若CP⋅AB≥A．12,1 C．2−22,1例2．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，且AB⋅AC=4，则|CA|=；若在线段变式1．设θ为两个非零向量a，b所成的角，已知对任意t∈R，|a−tb|的最小值为变式2．在△ABC中，BA=a,BC=b，若O为其外心，满足ABBC⋅BC【题型6极化恒等式与最值】例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为23，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MBA．9 B．10 C．11 D．12例2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包括边界），O为BC的中点，则PA⋅PO的取值范围是变式1．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，E,F为BC上的动点，且EF=2，则AE⋅

变式2．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则PA⋅PB的取值范围是一、核心基础1.数量积公式：（为与的夹角，）2.模的关联：；（三角不等式）3.运算律：分配律；展开律二、题型模块（必备知识+核心解法+常见误区）题型1：与模有关的数量积最值必备知识：数量积公式、模的性质、三角不等式核心解法：定模定角：用直接求；定模变角/变模：结合夹角/模的范围转化为函数最值；模长约束：平方展开关联数量积常见误区：忽略夹角范围、误用三角不等式取等条件题型2：与夹角有关的数量积最值必备知识：（在单调递减）核心解法：已知夹角范围→求范围→代入数量积公式；已知数量积范围→反推范围→求夹角最值常见误区：混淆单调性、遗漏特殊情况题型3：基底法求数量积最值必备知识：向量基底分解、数量积运算律核心解法：选已知模/夹角的向量为基底→分解目标向量→展开数量积→转化为函数最值常见误区：基底选择不当、向量分解错误、误用运算律题型4：坐标法求数量积最值必备知识：向量坐标运算（）核心解法：建坐标系（简化向量坐标）→写向量坐标（动点用变量表示）→算数量积为代数函数→结合变量范围求最值常见误区：建系不合理、动点范围错误、混淆坐标运算公式题型5：平面向量系数的最值必备知识：向量分解定理、线性约束逻辑核心解法：基底/坐标法转化为系数方程→不等式法（柯西/基本不等式）→几何意义（轨迹上点的坐标最值）常见误区：忽略向量共线性、不等式等号条件缺失、可行域判断错误题型6：极化恒等式与最值必备知识：通用式：；三角形式：（为中点）核心解法：转化数量积为模长平方差→求动点到中点的距离最值常见误区：公式符号错误、误用场景、忽略动点轨迹约束一、填空题1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设平面向量a,b,c满足：a=2，b=c，a2．（25-26高二上·上海·开学考试）平面上，已知向量a,b满足a=2, b=3．若存在单位向量c，使得3．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量a、b、c满足a=c=1且a⊥c，向量b满足b4．（25-26高三上·上海·期中）已知a,b,c为空间中三个单位向量，且a⋅b=b⋅c=c⋅5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=23，点M是线段AC一个动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则BP⋅

6．（25-26高三上·上海·期中）a=3,b=4,a⋅b=4，若平面向量c7．（25-26高三上·上海松江·期中）已知|a|=1,|b|=1且a⋅b=0，若向量c8．（2025·上海嘉定·一模）已知向量OA→=1,7，OB→=5,1，OP→=2,1，K9．（2025·上海静安·一模）如图，已知AB是半圆O的直径，直径长为2，点C,D均在半圆O上，且都不与点A,B重合，A,B,C,D