2026年高一数学寒假自学课（沪教版）专题01 指数对数运算+指对幂函数的图像与性质 （原卷版）

专题01指数对数运算+指对幂函数内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点：（一）指数运算1.实数指数幂的定义正整数指数幂：（n个a相乘，）零指数幂：（核心限制：）负整数指数幂：（，）分数指数幂：当，且时，；（注：时，分数指数幂不一定有意义，如无意义）2.根式的核心性质（，；为偶数时，需满足）的化简：为奇数时，；为偶数时，3.指数运算法则（核心公式）对任意正数，任意实数，有：（二）对数运算1.对数的定义（指数与对数互化核心）如果（其中，，），则.常用对数：自然对数：（）2.对数的基本性质负数和0没有对数（真数）；对数恒等式：；3.对数运算法则若，，，，则：（）4.换底公式及推论换底公式：（且，）推论：；（）（三）指对幂函数的图像与性质1.指数函数：（，）核心性质当时当时定义域（全体实数）（全体实数）值域（正实数集）（正实数集）单调性在上单调递增在上单调递减定点过定点过定点奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数2.对数函数：（，）与指数函数互为反函数，图像关于直线对称.核心性质当$a>1$时当时定义域（正实数集）（正实数集）值域（全体实数）（全体实数）单调性在上单调递增在上单调递减定点过定点过定点奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数3.幂函数：（，重点研究有理数）核心共性：过定点定义域与值域：由决定（例：时定义域；时定义域；时定义域）单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减奇偶性：由决定（例：、为奇函数；为偶函数；非奇非偶）二、核心概念比较（易混淆点区分）（一）指数函数vs幂函数对比维度指数函数（，）幂函数（）解析式核心差异底数为常数，指数为变量底数为变量，指数为常数底数/变量限制底数必满足且变量的限制由决定（如时）图像共性过定点过定点，第一象限必有图像（二）指数函数vs对数函数对比维度指数函数（，）对数函数（，）核心关系互为反函数，图像关于直线对称定义域与值域定义域，值域定义域，值域单调性同底数下单调性一致：递增，递减同底数下单调性一致：递增，递减定点过过（定点关于对称）三、易错辨析（高频易错点汇总）（一）指数运算易错点1.忽略零指数、负指数前提：如误认有意义，或未考虑.辨析：非零数的零指数幂为1，负指数幂是倒数，底数必不为0.2.根式化简混淆奇偶指数：如的错误.辨析：偶数根结果非负，奇数根结果与被开方数符号一致.3.分数指数幂滥用：如的错误.辨析：为偶数时需，否则无意义.（二）对数运算易错点1.忽略真数正性：如求定义域时未强调.辨析：真数必为正数，是对数定义的核心前提.2.滥用对数运算法则：如的错误.辨析：运算法则仅适用于积、商、幂，不适用于和、差.3.换底公式遗漏限制：如未注意新底数且.辨析：新底数需满足对数底数的通用限制，保证对数有意义.（三）函数性质易错点1.混淆指幂函数形式：如误将当作幂函数.辨析：变量在指数上为指数函数，在底数上为幂函数.2.对数函数单调性判断错误：如认为“底数越大越递增”.辨析：单调性由底数范围决定，递增，递减.3.幂函数定义域判断错误：如误将定义域视为.辨析：定义域由决定，需结合根式意义分析.四、重点记忆内容（必背核心）（一）核心公式1.指数运算法则：、、（，）2.对数运算法则：、、（，）3.换底公式：（推论：）（二）关键性质1.指数函数：过，值域，单调性由决定.2.对数函数：过，定义域，与互为反函数.3.幂函数：过，单调性由符号决定.（三）解题核心要点1.运算前先判断底数、真数限制条件（如、）.2.比较函数值大小：同底数用单调性，不同底数用中间值（0或1）过渡.3.解决函数问题：优先考虑定义域，再分析单调性、奇偶性.【考点1指数的运算与化简】例1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知10m=2, 10n（2）正实数a满足a12−a−变式1．（25-26高一·上海·假期作业）已知x+1(1)x−1(2)x3变式2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数a>0，b>0，化简：2a2【考点2对数的运算性质】例2（25-26高一上·上海松江·期中）若方程x2+xlog26+log23=0变式1.（25-26高一上·上海·期中）a、b为正实数，若ax=b2y=3，a+变式2.（25-26高一上·上海·期中）若实数x，y满足7x=9，11y=【考点3换底公式】例3.（25-26高一上·上海·期中）已知lg2=a，10b=3，用变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知x,y,z均为正实数，若3x=4y=变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数a，b，m满足：4(1)若m满足方程：m2+m−12=0，求(2)若12a+1【考点4幂函数的定义域值域问题】例4.（24-25高三上·上海·月考）设a∈−1,0,12,1,2,3，若幂函数y=x变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数y=x−m2+2m+3（m变式2.（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数y=xa的图像过点2,2【考点5幂函数的单调性奇偶性】例5.（25-26高一上·江苏南通·期中）若幂函数fx=xm2+2m−3变式1.（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数f(x)=(m2+3m+3)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(a+1)<f(3−2a)，求a的取值范围.变式2.（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数f(x)=xm2−4m的图象关于y轴对称，且(1)求m；(2)若f(a+2)<f(1−2a)，求a的取值范围．【考点6指数函数的定点问题】例6.（25-26高一上·上海·期中）函数y=ax+2025+2027变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知常数a>0，a≠1，假设无论a为何值，函数y=ax−2+2变式2.（24-25高一下·上海·月考）已知常数a>0且a≠1，如果无论a取何值，函数y=ax−2的图像恒过定点P，则P【考点7指数型函数的定义域】例7.（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)y=2(2)y=5(3)y=3变式1.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数y=a2−2ax，则实数（2）指数函数y=ax(a>0)的图像经过−2,116变式2.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)y=2(2)y=0.1【考点8指数型函数的单调性】例8（25-26高三上·上海·期中）已知函数fx=ax,x<017−ax+4a,x≥0变式1.（25-26高一上·上海静安·月考）若函数fx=−x2+ax,x>1,a变式2.（2023高一上·上海·专题练习）若函数fx在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有ffx−【考点9指数型函数的值域与最值】例9.（24-25高一上·上海·月考）已知a<b，若函数y=2x−4,x∈a,b的值域为0,4变式1.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数f(x)=a2x−2ax(1)若a=2，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值；(3)若a=2，且fx+4>m⋅2x对任意变式2.（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数y= 2x，   x≤m−2【考点10指数型函数的奇偶性】例10（2024上海课堂例题）（1）记fx=4x+1（2）是否存在正数a，使函数y=a变式1.（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数fx=2ax−1+b(1)求函数y=fx(2)是否存在常数b，使函数y=fx【考点11指数型函数性质综合】例11.（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数fx=12x与gx=x2变式1.（24-25高一上·上海·期末）对于定义在0,+∞的两个函数y=fx和y=gx，若函数y=fx+gx满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数y=fx(1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在0,+∞上的P①gx=−4x，②gx=−x−1，(2)设常数m∈R，若gx=m和fx=12x(3)设常数k∈R，若gx=kx和fx=2x+x2+1变式2.（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间a,b上的函数fx，若P(1)已知fx=12x，gx=(2)设a>0且a≠1，函数fx=a2x+3−a⋅ax(3)若Qfx=minfta≤t≤xx∈a,b，存在最小正整数k，使得Pfx−Qfx≤kx−a对任意的x∈a,b成立，则称函数【考点12对数型函数的定义域】例12.（25-26高一上·上海·月考）函数y=lg5x−6+2变式1.（2025高三上·上海·专题练习）函数y=log2x变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）若函数y=lnx2−kx+k的定义域为R，则实数【考点13对数型函数的单调性】例13.（24-25高一下·上海金山·月考）函数fx=ln变式1.（23-24高一上·上海·期末）已知函数f(x)=(a−1)logax+b（a>0A．函数fx的单调性只与a有关，与b无关 B．函数fx的单调性只与b有关，与C．函数fx的单调性与a、b都有关 D．函数fx的单调性与变式2.（25-26高三上·上海静安·月考）已知函数f(x)=log12(ax2−4x+6)(a∈R【考点14对数型函数的奇偶性】例14（24-25高一上·上海·期末）已知函数f(x)=log411−x变式1.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数y=lg(1)求函数的定义域；(2)证明：函数图象关于y轴对称．变式2.（2024高一·上海·专题练习）已知函数f(x)=lg1+x1−x的定义域为集合A，集合B=(a,a+1)(1)求实数a的取值范围；(2)求证：函数y=f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点15对数型函数的值域与最值】例15.（24-25高一下·上海·月考）已知常数a>0且a≠1，若函数y=1+logax的定义域和值域都是1,2，则变式1.（24-25高一上·上海·月考）已知函数fx=lnax+1+lnx−1变式2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数y=log3x【考点16指对幂的比较大小】例16（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足1+2x=3y=5z，则A．x>y>z B．y>z>xC．y>x>z D．x>z>y变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若a>b>c>1，则下列不等式不成立的是．（填写所有不成立的不等式的序号）①logab>logac；②log变式2.（24-25高一上·上海·单元测试）已知0<a<b<1<c，m=logac，n=logbc，则【考点17对数型函数性质综合问题】例17（24-25高一上·上海松江·期中）若函数fx的定义域为D，且对任意x1,x2∈D，都有(1)当fx=2(2)当a≥2时，证明：fx=lg(3)如果定义域为R的函数fx=lg2x变式1.（2024高一·上海·专题练习）已知函数fx=3−2log(1)如果x∈1,2，求函数h(2)求函数Mx(3)如果对任意x∈1,2，不等式fx2变式2.（23-24高三上·上海杨浦·月考）设函数f(x)=log2x+ax+b(a>0)在区间[t,t+2](t>0)上的最大值为Mt(a,b)，若一、单选题1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数f(x)=ex−1−e1−xA．[−1,4] B．[−4,1]C．(−∞,−1]∪[4,+∞2．（25-26高一上·上海·期中）对任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如π=3，1A．0 B．1 C．−2020 D．−2021二、填空题3．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718...为自然对数的底数，k,b为常数）．若该牛奶在0℃的保鲜时间是64小时，在20℃的保鲜时间是32小时，则该食品在4．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数y=xn的部分图像，已知n取12、2、−2、−12这四个值，则与n=12对应的曲线为．（从C5．（25-26高一上·上海·月考）若log23=a,2b=56．（25-26高一上·上海·期中）若函数fx=ax−3,x≤0lgx+17．（2025·上海杨浦·一模）已知定义在R上的函数y=fx为奇函数，且gx=28．（25-26高一上·上海·期中）不等式ax−2<a9．（25-26高一上·上海·期中）下列命题中真命题的是（填上所有你认为正确的命题序号）．（1）当n=0时，函数y=x（2）幂函数y=xn的图象都经过0,0和（3）若幂函数y=xn的图象关于原点成中心对称，则（4）幂函数的图象不可能在第四象限．10．（25-26高一上·上海·期中）已知a2x=m（m>0且m≠1），则11．（25-26高三上·上海·期中）定义在区间0,+∞上的函数fx满足：①对任意a∈R，fxa=afx；②f三、解答题12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数gx=log(1)求函数y=fx(2)已知y=fx,x∈1,9，求y=13．（25-26高三上·上海·期中）已知f(x)=log(1)当a=2时，求函数f(3x−2)的定义域及不等式f(3x−2)>0的解集；(2)若函数g(x)=f(x)+log2x14．（25-2